一次函數在方案設計中的應用

程蒙

摘要：一次函數是初中學習中最基本的函數，它的應用非常廣泛，本文就其在經濟活動中的方案設計和選擇問題做了歸納，重點研究其在分配和調運中方案問題，突出函數思想。

關鍵詞：一次函數；方案設計

一次函數是最基本的函數，它與一次方程、一次不等式有密切聯系，在實際生活中有廣泛的應用，尤其利用一次函數的增減性等有關知識可以為某些經濟活動中的方案設計和選擇提供幫助，做出最佳的決策。近幾年來一些省市的中考或競賽試題中也時常出現這方面的應用題，這些試題新穎靈活，具有較強的時代氣息和很強的選拔功能。下面以幾道中考題為例說明一次函數在中考中的重大作用。

一、分配方案的設計

例1某經營世界著名品牌的總公司在我市有甲、乙兩家分公司，這兩家公司都銷售香水和護膚品，總公司現將香水70瓶、護膚品30瓶分配給甲、乙兩家分公司，其中40瓶給甲公司，60瓶給乙公司，且都能賣完，兩公司的利潤（元）如下表：

（1）假設總公司分配給甲公司x瓶香水，求：甲、乙兩家公司的總利潤W與x之間的函數關系式子；

（2）在（1）的條件下，甲公司的利潤會不會比乙公司的利潤高？得出結論并說明理由。

（3）若總公司要求總利潤不低于17370元，請問有多少種不同的分配方案，并寫出方案。

考點：一次函數的應用 專題：函數思想

解：（1）依題意，甲公司的護膚品瓶數為：40-x，乙公司的香水和護膚品瓶數分別是：70-x，30-（40-x）=x-10，W=180x+200（40-x）+160（70-x）+150（x-10）=-30x+17700

故甲、乙兩家公司的總利潤W與x之間的函數關系式是W=-30x+17700

（2）甲公司的利潤為：180x+200（40-x）=8000-20x；乙公司的利潤為：160（70-x）+150（x-10）=9700-10x，8000-20x-（9700-10x）=-1700-10x<0

∴甲公司的利潤不會乙公司的利潤高。

（3）由（1）得 ，解得10≤x≤40，再由W=-30x+17700≥17370，得x≤11

所以10≤x≤11，所以有兩種不同得分配方案。①當x=10時，總公司分配給甲公司10瓶香水、30瓶護膚品，乙公司60瓶香水、0瓶護膚品；②當x=11時，總公司分配給甲公司11瓶香水、29瓶護膚品，乙公司50瓶香水、11瓶護膚品。

【點評】此題考查得知識點是一次函數的應用，關鍵是先求出函數關系式，再對甲、乙公司的利潤進行比較，通過求自變量的取值范圍得出方案。

二、調運方案的設計

例2某市產苦蕎茶、青花椒、野生蘑菇，為了讓這些珍寶走出大山，走向世界，政府決定組織21輛汽車裝運這三種土特產共120噸參加全國農產品博覽會，現有A型、B型、C型三種汽車可供選擇。已知每種型號汽車可同時裝運2種土特產，且每輛車必須裝滿，根據下表信息解答問題。

（1）設A型汽車安排x輛，B型汽車安排y輛，求y與x之間的函數關系式。

（2）如果三種型號的汽車都不少于4輛，車輛安排有幾種方案？并寫出每種方案。

（3）為節約運費，應采用（2）中哪些方案？并求出最少運費。

考點：優選方案問題

解：（1）方法①根據題意得4x+6y+7（21-x-y）=120，化簡得：y=-3x+27；法②根據題意得：2x+4y+2x+（21-x-y）+2y+6（21-x-y）=120，化簡得：y=-3x+27。

（2）由 解得5≤x≤ ，因為x為正整數，所以x=5，6，7，故車輛安排有三種方案，即：方案①A型車5輛，B型車12輛，C型車4輛；方案②A型車6輛，B型車9輛，C型車6輛；方案③A型車7輛，B型車6輛，C型車8輛。

（3）設總運費為W元，則W=1500x+1800 （-3x+27）+2000（21-x+3x-27）=100x+36600，因為W隨x的增大而增大，且x=5，6，7，所以當x=5時， =37100元。

【點評】本題考查的是用一次函數解決實際問題，此類題是今年中考中的熱點問題，注意利用一次函數求最值時關鍵是應用一次函數的性質，即由函數y隨x的變化，結合自變量的取值范圍確定最值。

綜上所述，利用一次函數的性質及不等式的整數解與方程的有關知識可以解決實際生活中許多的方案設計問題，如果同學們能切實理解和掌握這方面的知識與應用，對解決方案問題的數學題是很有效的。

參考文獻

[1].吳克.一次函數與方案設計問題探究[J].初中生世界.2015年2月：49-53.

（作者單位：湖北省十堰市第二中學湖北十堰）