數學的形式化特征及其在物理中的應用研究

劉思千

摘要：物理和數學是現代科學體系中最基礎的兩門學科，物理是對客觀存在的事物和事物的運動規律進行研究，數學是研究空間結構、數量變化的一門科學，也是進行其他學科研究的基礎。數學由于其具有符號化、公式化和程序化的形式化特征，被廣泛應用于物理研究和物理學習中。

關鍵詞：數學；形式化特征；物理

一、數學的形式化特征

任何事物都具有內容和形式兩部分。數學形式化特征指的是用特定的數學語言來描述形式與內容的某些特征。形式化是數學的基本特征之一，即用特定的數學語言包括圖像，符號和文字，來表現空間結構和數量關系[1]。數學的形式化即符號化，公式化，程序化。符號化是指將復雜的數學概念，用簡短、準確的符號來表示。公式化指的是數量之間的某種關系，通過運用符號形成準確的關系式來表示。程序化是指解決數學問題有模式可以遵循。且形式化具有相對固定樣式的數學結論、法則、概念，它具有以下特點：

（1）穩定性

數學結論、法則、概念等內容一旦成為“形式”，就不會因環境、條件的變更而發生變化，具有相當的穩定性。

（2）概括性

數學形式是無數具體事物經抽象概括的結果，應該是研究數量關系或圖形本質屬性的反應。例如用公式概括總結數量之間的關系。

（3）簡潔性

往往東西越簡單就越是深刻，越簡潔的東西就越具有生命力，越具使用價值。數學形式就以其表述方式的簡潔而稱道，公式因其簡短，更容易讓學習者掌握。

（4）廣泛性

數學形式的概括性決定了它具有廣泛性，可真正達到華羅庚教授所說的“數學是一個原則，無數內容，只需一個方法，卻到處有用。

（5）可操作性

按照相關數學形式進行的程式化操作可稱為行為模式。人的行為模式有兩種，一種是需要智力投入、思維參與的行為模式；一種是較少需要智力投入、思維參與的行為模式。在數學學習和解決數學問題的所有活動中，創造性思維的含量只占少部分，運用更多的是程式化的操作。這種操作講究的是熟練、準確、快速、高效。學生大多數解題是按既定法則進行模式化操作。即使是難度較大的需要一定的創造思維，但創造的“根”仍然扎在堅實的基本數學形式的土壤中。基本數學形式是創造的源泉與原型。當然，即便進行的是簡單化、機械化、程序化的操作，也要在其中努力加大智力與思維的含量。

二、數學的形式化特征在物理研究中的應用

1.模擬實驗研究

許多物理問題由于條件的限制或問題的復雜，無法直接對其進行研究。而在這種情況下，模擬替代是一種重要的研究方法[2]。法拉第在進行電磁場規律研究時由于受到數學知識的限制，無法將物理問題轉化為數學問題，找到相應的數學建模，對物理對象進行用數學語言將自己的成就表述出來。雖然提出了“場”的概念，并且內容系統的分析和綜合，對對象進行詮釋和預測，是解決物理問題的最有效途徑。這既要求對物理基本概念和規律有正確的理解，又要求對數學的形式化特征熟練掌握。綜上，物理學研究中，數學方法是一種有效的進行推理和邏輯證明理論和技巧。

例如靜電場的模擬設計。

有些電學儀器，需要特定的電場，使帶電粒子在其中做特定的運動。而在實際測定的時候由于很難直接測定靜電場中各點的電場強度和電勢，實際設計時通常采用模擬的方法進行研究。

無電荷分布的空間（真空）中的靜電場的電勢ψ滿足方程

①

不含電源的各向同性均勻導電介質中的穩恒電流場的電流密度j滿足

②

電流密度j與電場強度E的關系為

③

電場強度E與電勢ψ的關系為

④

由②③④三式同樣得到①式。

可見，運用數學的辦法解決物理問題十分方便。

2.探索未知領域

物理探索中，如果發現新的物理現象與已知的物理現象，在某種對應的屬性上具有相同的數學特征，則它們所遵循的物理規律可能具有相同的數學結構。

例如靜電力與萬有引力。

牛頓曾用數學方法證明：如果平方反比定律有效，質量均勻分布的均勻球殼對其內部的物體沒有引力作用，而且任何不滿足平方反比關系的力都不會有此結果。普利斯特立即大膽的作出假設：電荷間的相互作用與萬有引力一樣，也遵循平方反比規律。經過大量的實驗研究和證明，在1785年確定了庫侖定律：

而地面上物體所受的萬有引力大小為

三、數學的形式化特征在物理學習中的應用

1.引導學生從數學角度理解物理知識

顯然，引導學生從數學角度理解物理知識對強化其數學應用意識有著顯著促進作用。物理源于生活，物理學的大多數定律都是建立在對客觀事物或普遍現象的觀察基礎之上，進而通過借助相關數學知識而最終得出的。也就是說運用數學的方法對其進行計算、分析、研究，然后以數學的語言將其表達出來，形成物理公式。可以說，數學在這一方面展露無遺。

總之，實際當中應當善于引導學生在物理概念、原理和規律的學習中滲透數學知識，結合數學理解物理。這樣才有助于學生更好的理解所學物理知識，更有利于強化其數學應用意識。

2.解決物理問題的好幫手

物理解題中涉及到的數學形式化特征的地方有很多，最常見的如函數換元、數列、排列組合、三角函數等。例如函數換元：在解答一些物理計算題時，復雜運算的涉及是常見現象。函數換元的鮮明優勢在于其能使運算大大簡化，而且實際上出題人在很多時候也考慮到了函數換元的應用，并設置了巧妙的應用角度和切入點。因此學生必須要切實掌握 此方法并在解題過程中注意觀察，靈活運用[3]。

例如：分別位于A、B兩地的王同學和章同學相向而行，兩人均可看作勻速直線運動，王同學比章同學晚出發5分鐘，但在兩人相遇時卻比張同學多走了600米。從相遇的一刻算起，章同學10分鐘后到達B地，王同學3分鐘后到達A地。試求AB兩地之間的距離。

分析題設后我們可設當兩人相遇時的位置距離A地為x，則王同學的速度為x/3；張同學相遇后還需走x+600，其速度為（x+600）/10，于是可列方程：x/[（x+600）/10]=（x+600）/（x/3）+5，將x/（x+600）用字母Y代替，計算量一下子減少很多，這就為快速準確的計算出最終結果提供了保障。

四、結束語

數學的形式化特征為符號化，格式化，程序化，將其運用于物理研究和學習中可以簡化步驟，方便運算。并且在此研究中我們可以得出，由于數學的形式化特征，在兩個物理必象中，如果有相同的數學結果，則可能得出相同的數學結構；如果有相同的數學結構，則必定有相同的數學結果。

參考文獻

[1]王懷琴.略論數學方法在高中物理解題中的應用[J].考試周刊，2010（41）.

[2]鐘贛萍.數學知識在高中物理解題中運用的幾點思考[J].理科考試研究，2014（7）.

[ 3] 林輝慶.高中物理的數學基礎與方法[M].杭州：浙江教育出版社，2016.

（作者單位：西安高新唐南中學）