如何做好幾何學科入門階段的教學工作

趙清艷

平面幾何是研究平面內圖形的性質、大小、位置關系的一門學科，進入平面幾何學習，需要 “由數轉入形”“由運算轉入推理”“由直觀思維和形象思維轉入抽象思維和邏輯思維”.學生往往因定式思維的影響或新思維形成較慢而跟不上教學進度，給幾何學習造成一定困難.

“相交線、平行線”是幾何學習的開始階段，也是幾何證明的入門階段.在這個階段，教師要幫助學生跟上進度，保持興趣，保證質量，可采取如下教學策略：加強學生對幾何語言的理解和掌握；幫助學生系統掌握知識，熟練推理過程；使學生會正確分析、敘述證明過程.

本階段教學的主要目的是讓學生掌握平面內兩條直線的位置關系及基本性質，學會運用這些知識進行基本證明，這也是本階段的教學難點和重點.

學生在這個階段遇到的困難一般包括以下幾個方面：

1.對“幾何語言”認識模糊，互譯不對應，不熟練；

2.對基本的推理過程不熟悉；

3.不善于準確敘述證明過程；

4.對證明題前的分析過程缺乏了解和訓練；

5.不善于選擇合適的方法；

6.對知識缺乏系統的理解和掌握.

筆者針對這些情況進行了初步的分析和研究，采取了如下教學策略：

一、加深理解、加強訓練

1.理解幾何語言中的邏輯關鍵詞

幾何語言包括文字語言、符號語言和圖形語言，三位一體.其中文字語言既科學又簡潔，寓意深刻，字斟句酌，便于理解和記憶，教師要對邏輯關鍵詞加以分析和強調，比如“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”中的“有且只有”就是關鍵詞，“有”表示存在，“只有”表示唯一，意思是肯定有一條直線并且不能多于一條.再如“在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線”中的“在同一平面內”是關鍵詞，要正確理解.不在同一平面內也存在不相交的兩條直線（高中的異面直線）。在幾何學習中經常會出現關鍵詞，例如“如果…那么…”“或”“且”“確定”，等等。幫助學生正確理解關鍵詞有利于提高他們的邏輯思維能力.

2.正確理解文字語言的實質

對于概念性文字語言不能“顧名思義”，如“對頂角”并非“頂點相對的角”；“點到直線的距離”并非“垂線段”；對頂角相等的原意是“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”.幫助學生抓住概念的實質，掌握幾何結論“縮略“的來源是學生學好幾何的關鍵.

3.提高幾何語言的互譯和識圖、畫圖能力

幾何定義、公理、定理、性質是幾何語言互譯的最好載體.反復進行畫圖操作和糾正是提高學生識圖畫圖能力的有效途徑.比如“過一點做已知直線、線段、射線的垂線”，須經過多次畫圖訓練才有可能達標.

二、系統掌握、熟練過程

從學會填充理由，掌握簡單推理證明入手。

幾何證明以“ ∵ ……. ∴ …….”形式出現，這種格式反應了幾何證明的實質是正確的推理，即由已知推出未知的過程.證明的格式主要是三段論式運用，即演繹推理的運用，三段論包括大前提、小前提和結論，比如三段論：

公理：同位角相等，兩直線平行（大前提）

所證明的題目存在：兩條直線被第三條直線所截，一組同位角相等（小前提）

則這兩條直線平行（結論）

關鍵是三段論從一開始就是一種靈活運用的形式，因為沒有固定的格式，所以不能直接把方法教給學生，只能反復訓練，有效指導.

初一教材中的內容大多是由學生填充推理來滲透的，學生只有在學習中注意觀察、認真體會才能熟練推理格式，這就要求學生對題目條件、性質、定義、公理、定理等做到心中有數.例如：

已知：如圖：∠BED=∠B+∠D求證：AB∥CD.

證明：經過點E畫EF∥AB

（經過一點有且只有一條直線平行于已知直線）

∴∠B=∠BEF（兩直線平行，內錯角相等）

∴∠BED=∠B+∠D（已知）

∠BED=∠BEF+∠DEF（畫圖）

∴∠D=∠DEF（等量代換）

∴CD∥EF（內錯角相等，兩直線平行）

∴AB∥CD（兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行）

上述證明過程三次出現平行而理由各不相同，這就要求學生對幾何知識系統化，證明方法系統化，而有些定理甚至不是獨立的，而是以前學過的某些知識的推理，這時就應還它本來面目.

例如“三角形兩邊之和大于第三邊”這一定理就應作為“兩點之間線段最短”這一公理的推理，又如“直角三角形的的兩個銳角互余”是“三角形內角和定理“的變形.另外在計算過程中要強調推理，推理指導計算也是培養推理能力的重要途徑.

三、正確分析、清楚敘述

在證明之前應在頭腦里獨立思考：什么該寫，什么不該寫，什么須先寫，什么要后寫，從邏輯上保證嚴密性和條理性.而分析法和綜合法是培養學生對幾何證明過程的分析能力和敘述能力的直接途徑.分析法是由求證結論出發，逐步尋找求證的條件，推理方向是逆向的：若C成立需B成立，若B成立需A成立……而綜合法就從求證條件出發，逐步推理，得出結論，推理方向是正向的，即把以上形式反過來：由A得B，由B得C.

初一教材要求學生會獨立證明比較簡單的題目，要求學生知道證明一般命題的步驟：（1）審題；（2）畫圖；（3）寫出已知、求證；（4）分析；（5）證明.教師在平時的推理訓練中，應使學生掌握推理的兩種基本形式，即綜合法和分析法，但切記不要直接交代，而應滲透，使潛意識形成習慣.

例如：證明兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么同位角也相等.

首先第一步引導學生把文字語言轉化成符號語言和圖形語言.

已知：如圖，∠AEF=∠EFD

求證：∠GEB=∠EFD

引導學生分析：欲證∠GEB=∠EFD，只需AB∥CD，而已知∠AEF=∠EFD，所以AB∥CD是成立的（分析法），從而得出證明（綜合法）.

證明：∵∠AEF=∠EFD ，（已知）

∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）

∴∠GEB=∠EFD（兩直線平行，內錯角相等）

還可以啟發引導學生另外的證法，讓學生學會選擇和運用有關知識和方法進行證明.在平時證明訓練時，也應注意一題多變，一題多法，以便培養學生的邏輯思維能力和幾何證明能力.

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com