離散數(shù)學(xué)課程的多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)

王會(huì)英

（河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河北 保定 071000）

0 引言

離散數(shù)學(xué)課程作為計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，是信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的核心課程之一[1]。學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程可以提高學(xué)生的抽象思維能力、嚴(yán)密推理能力以及綜合歸納構(gòu)造能力。為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)據(jù)庫(kù)和人工智能等后續(xù)課程打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并為解決各種實(shí)際問(wèn)題提供關(guān)鍵的技術(shù)支持。因此，對(duì)該課程內(nèi)容的掌握和運(yùn)用其知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題成為教授離散數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵，對(duì)學(xué)生在該專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域的后續(xù)發(fā)展起到至關(guān)重要的作用。

離散數(shù)學(xué)課程涉及數(shù)理邏輯、集合論和圖論等內(nèi)容[2-3]。如此多內(nèi)容擠在一門(mén)學(xué)科里面，造成課程概念繁多，結(jié)構(gòu)松散和系統(tǒng)邏輯較差等問(wèn)題。傳統(tǒng)教學(xué)方式側(cè)重理論教學(xué)，一方面，在定義、定理講解之后，學(xué)生很難記住；對(duì)于難點(diǎn)知識(shí)，學(xué)生更是難以理解。學(xué)生學(xué)起來(lái)多感枯燥無(wú)趣，學(xué)習(xí)之后無(wú)從下手，感覺(jué)距離實(shí)際應(yīng)用很遙遠(yuǎn)。另一方面，教師上課感覺(jué)困難，課堂授課效率低下，傳遞信息量小，教學(xué)任務(wù)重，課時(shí)緊張。因此，唯有改進(jìn)離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式，才能從根本上解決問(wèn)題。

任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)是指在教學(xué)過(guò)程中讓每位學(xué)生主動(dòng)參與到與課程相關(guān)的任務(wù)當(dāng)中。使每位學(xué)生在學(xué)中練，練中學(xué)，從而掌握該門(mén)課程的實(shí)際應(yīng)用技能[4]。進(jìn)一步地，任務(wù)形式應(yīng)該是多維度的，即有多種任務(wù)形式提給供學(xué)生，由他們自主選擇完成。在此活動(dòng)過(guò)程中，教師起到組織和監(jiān)督的作用。這種多維任務(wù)的形式，使教學(xué)結(jié)構(gòu)更加豐富，學(xué)生具有更加靈活的自主選擇權(quán)，更適合不同程度和類(lèi)型的學(xué)生學(xué)習(xí)該門(mén)課程。在離散數(shù)學(xué)課程中運(yùn)用多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)，使學(xué)生從實(shí)踐中理解離散數(shù)學(xué)，提高學(xué)習(xí)興趣，最終提升動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力。

1 離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式改革的研究動(dòng)機(jī)

1.1 教學(xué)方面

第一，離散數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)教學(xué)方式以理論教學(xué)為主[5]。教學(xué)上以講解清楚基本知識(shí)內(nèi)容為主要目標(biāo)。例如，在講解謂詞邏輯時(shí)，一般講清相關(guān)概念和理論，卻未提及這類(lèi)復(fù)雜邏輯知識(shí)的應(yīng)用實(shí)踐，學(xué)生聽(tīng)講后很難記住相關(guān)定義符號(hào)，感覺(jué)離散數(shù)學(xué)知識(shí)雜亂且學(xué)無(wú)所用，唯一的用途是應(yīng)付考試。

第二，教學(xué)目標(biāo)雖然提及“提高學(xué)生動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力”，但未明確說(shuō)明如何操作，目標(biāo)成果以何種形式體現(xiàn)出來(lái)。這同樣對(duì)教學(xué)模式改革造成困難。

第三，陳舊課本內(nèi)容與日新月異的計(jì)算機(jī)發(fā)展形成不可協(xié)調(diào)的矛盾[6]。目前，離散數(shù)學(xué)課程的許多內(nèi)容已經(jīng)取得了長(zhǎng)足的發(fā)展。例如，人工智能技術(shù)已經(jīng)滲入人類(lèi)生活的各個(gè)領(lǐng)域，各種仿生機(jī)器人已經(jīng)成為人類(lèi)生產(chǎn)、生活和娛樂(lè)重要的應(yīng)用技術(shù)之一，數(shù)理邏輯作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)被深入研究。此時(shí)，僅僅對(duì)課本知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生只能學(xué)到數(shù)理邏輯的題目解法，而無(wú)法真正運(yùn)用到諸如機(jī)器人邏輯的動(dòng)手創(chuàng)新等方面，課程目標(biāo)更是無(wú)從談起。

第四，就課程本身特點(diǎn)來(lái)說(shuō)，離散數(shù)學(xué)課程概念多，知識(shí)廣，僅采用試卷形式考查容易造成以偏概全[7]，也不能很好地體現(xiàn)出學(xué)生實(shí)際運(yùn)用知識(shí)的能力。結(jié)果反而偏離了教授課程的初衷。

1.2 學(xué)生方面

學(xué)生差異化是各高校不可回避客觀存在的問(wèn)題，主要體現(xiàn)在學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)體系、興趣愛(ài)好和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)3個(gè)方面。

首先，學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系不同。高考是進(jìn)入高等院校的主要途徑之一，分為多個(gè)平行志愿和多個(gè)批次。省內(nèi)省外報(bào)考同一院校的提檔線也略有差別。因此，招入同一專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，由于高考成績(jī)的差異和選擇批次不同，使得他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)也存在差異。一堂課下來(lái)，有些學(xué)生可以針對(duì)課程內(nèi)容提出較為深刻的問(wèn)題,但有些學(xué)生連課程基本概念都未搞清楚。這一差異通過(guò)試卷成績(jī)可明顯看出。以2014—2015學(xué)年離散數(shù)學(xué)考試成績(jī)?yōu)槔s21%的學(xué)生達(dá)到90分以上；相對(duì)地，亦有約16%的學(xué)生不及格。知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的差異僅通過(guò)期末考試是無(wú)法消除的。

其次，由于對(duì)知識(shí)點(diǎn)的興趣程度不同，學(xué)生對(duì)課程的理解同樣呈現(xiàn)出顯著差異。通過(guò)對(duì)學(xué)生相關(guān)課程的追蹤分析能夠發(fā)現(xiàn)這種差異性的存在。例如，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)課程成績(jī)較優(yōu)秀的學(xué)生，其圖論部分題目的考試成績(jī)相對(duì)較高。如果在教學(xué)過(guò)程中無(wú)法針對(duì)不同類(lèi)型的學(xué)生強(qiáng)調(diào)相應(yīng)的離散知識(shí)，很容易造成興趣各異的學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程效果的下降。

最后，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不同，也是導(dǎo)致離散數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)差異性存在的重要原因。有些學(xué)生從入學(xué)開(kāi)始就以考研為本科學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)，而有些學(xué)生計(jì)劃將來(lái)就業(yè)。如果在教學(xué)過(guò)程中不能體現(xiàn)出學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的差異，必然會(huì)導(dǎo)致部分學(xué)生因?yàn)閷W(xué)習(xí)動(dòng)力不足而掉隊(duì)。

1.3 教師方面

由于教師教育背景和教學(xué)喜好不同，也造成對(duì)離散數(shù)學(xué)課程理解的偏差。一名數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)出身的教師偏好于通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)理論精彩的證明來(lái)講授知識(shí)本身。相反地，一名計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)出身的教師則偏好于通過(guò)應(yīng)用編程實(shí)現(xiàn)來(lái)驗(yàn)證數(shù)學(xué)理論的正確性。這種教師與學(xué)生并不吻合的差異對(duì)離散數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生較大的影響。

因此，對(duì)離散數(shù)學(xué)課程進(jìn)行改革，體現(xiàn)出“動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力”的教學(xué)目標(biāo)，消除學(xué)生和教師的差異性，充分展現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)本課程時(shí)個(gè)性化的特點(diǎn)尤為重要。

2 離散數(shù)學(xué)課程任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)方法

在教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生的特點(diǎn)，教師應(yīng)注意采用多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式。在考核方式上，也需要注意將各類(lèi)任務(wù)完成情況與最終考試按比例分配。多維任務(wù)擠占課堂內(nèi)外時(shí)間的問(wèn)題同樣值得關(guān)注，采用專(zhuān)題教學(xué)的方式可以壓縮傳統(tǒng)課程教學(xué)的時(shí)間比例。詳細(xì)的任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式如圖1所示。

圖1 離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式基本框架對(duì)比

2.1 多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)

針對(duì)具有個(gè)性化差異的學(xué)生，最關(guān)鍵的手段就是分配不同類(lèi)型的任務(wù)，即多維任務(wù)。這些任務(wù)類(lèi)型包括：

A. 與課程相關(guān)的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)大作業(yè)；

B. 與課程相關(guān)的科技論文；

C. 課程學(xué)習(xí)感想。

對(duì)于任務(wù)類(lèi)型A——應(yīng)用實(shí)現(xiàn)大作業(yè)來(lái)說(shuō)，是離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的重要一環(huán)。完成應(yīng)用實(shí)現(xiàn)大作業(yè)任務(wù)的具體步驟為：由2～3名學(xué)生自由結(jié)組，自主選擇一個(gè)與離散數(shù)學(xué)課程相關(guān)的課題，通過(guò)編程或其他計(jì)算機(jī)手段實(shí)現(xiàn)相關(guān)選題，將相關(guān)結(jié)論形成技術(shù)報(bào)告，并在課堂上進(jìn)行展示。在課題選擇上，教師并不提供具體題目，而是扮演組織和監(jiān)督的角色。通過(guò)此類(lèi)個(gè)性化大作業(yè)，學(xué)生們可以根據(jù)自身的特點(diǎn)和愛(ài)好自主選擇感興趣的課題，能夠充分發(fā)揮學(xué)生個(gè)性化特點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生主觀能動(dòng)性。

例如，有組學(xué)生選擇了通過(guò)最短路徑算法實(shí)現(xiàn)校園交通系統(tǒng)的課題。該組共3名成員。愛(ài)好編程的組長(zhǎng)負(fù)責(zé)對(duì)系統(tǒng)具體實(shí)現(xiàn)，并提供實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)。喜歡調(diào)研的一名成員主要負(fù)責(zé)收集數(shù)據(jù)和撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告等工作。另一名學(xué)生更擅長(zhǎng)語(yǔ)言表達(dá)，則根據(jù)該課題完成幻燈片的制作和最終課堂講解展示。該組學(xué)生的表現(xiàn)得到了同學(xué)們的一致好評(píng)。

另外一組表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生選擇了通過(guò)二值邏輯映射實(shí)現(xiàn)數(shù)字邏輯電路設(shè)計(jì)的課題。他們針對(duì)老小區(qū)樓道觸摸式開(kāi)關(guān)設(shè)計(jì)缺陷，即存在半層樓需要摸黑上樓才能觸動(dòng)開(kāi)關(guān)的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一次觸摸，即能打開(kāi)上層樓開(kāi)關(guān)，關(guān)閉下層樓開(kāi)關(guān)，并計(jì)時(shí)關(guān)閉樓道電燈的邏輯電路模擬。

通過(guò)真實(shí)的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)，學(xué)生可以深入理解課程，充分發(fā)揮了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，激發(fā)并調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)積極性。

相對(duì)于體現(xiàn)動(dòng)手能力的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)大作業(yè)來(lái)說(shuō)，任務(wù)類(lèi)型B——科技論文則考查了學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力。此類(lèi)任務(wù)仍要求2～3名學(xué)生自由結(jié)組共同完成。由于論文更強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新性，因此需要學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)深入研究。例如，有組學(xué)生利用連通性知識(shí)對(duì)網(wǎng)絡(luò)傳輸線路脆弱性問(wèn)題作了研究。該組學(xué)生在學(xué)期末課堂展示上對(duì)問(wèn)題精彩地講解體現(xiàn)出對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行過(guò)深入地研究和思考，博得同學(xué)們的稱贊。

學(xué)期末，教師還組織學(xué)生每人提交一份學(xué)習(xí)感想，即任務(wù)類(lèi)型C。通過(guò)對(duì)感想的撰寫(xiě)，學(xué)生能夠回過(guò)頭認(rèn)真思考和總結(jié)離散數(shù)學(xué)課程。通過(guò)感想可以看出，大多數(shù)學(xué)生對(duì)多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式持肯定態(tài)度。他們普遍認(rèn)為該模式“激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程的興趣，提高了動(dòng)手能力，加深了對(duì)知識(shí)本身的理解”。另外，部分學(xué)生對(duì)自己的大作業(yè)或論文進(jìn)行了總結(jié)梳理，進(jìn)一步加深了此部分內(nèi)容的記憶。

另外，通過(guò)課程學(xué)習(xí)感想發(fā)現(xiàn),部分學(xué)生認(rèn)為完成上述任務(wù)存在一定困難，說(shuō)明這部分學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力不夠，較為習(xí)慣傳統(tǒng)教學(xué)的方式，還未完全適應(yīng)這種任務(wù)驅(qū)動(dòng)式新型教學(xué)模式?？紤]到A、B和C 3種類(lèi)型的任務(wù)基本體現(xiàn)為課外任務(wù)，如果增加教師可控式指導(dǎo)的方式，就可以引導(dǎo)此類(lèi)學(xué)生逐步提升動(dòng)手能力。其他學(xué)生也能夠在指導(dǎo)下得到啟發(fā)和鍛煉。

因此，這種多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式仍須體現(xiàn)在課內(nèi)。除了多維任務(wù)在學(xué)期末的課堂展示外，還應(yīng)包括課堂實(shí)驗(yàn)等內(nèi)容[8]，讓學(xué)生在有教師實(shí)時(shí)指導(dǎo)下對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行理解，從而保證學(xué)生能夠高質(zhì)量地完成課外的多維任務(wù)。

2.2 任務(wù)權(quán)重分配

由于任務(wù)是多維度的，由學(xué)生們根據(jù)自身特點(diǎn)來(lái)自主選擇。因此，教師將任務(wù)分為“A+C”和“B+C”兩種組合。任務(wù)類(lèi)型A和任務(wù)類(lèi)型B可以充分體現(xiàn)學(xué)生的興趣差異和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的不同。具體地，愛(ài)好編程和計(jì)劃到IT公司工作的學(xué)生傾向于選擇任務(wù)類(lèi)型A，而愛(ài)好科研和勵(lì)志考研的學(xué)生則傾向于選擇任務(wù)類(lèi)型B。由于在完成課堂教學(xué)、預(yù)復(fù)習(xí)以及大作業(yè)或論文的基礎(chǔ)上才能進(jìn)行學(xué)習(xí)感想的撰寫(xiě)，學(xué)生將進(jìn)一步加深對(duì)課程的印象，因此，任務(wù)類(lèi)型C作為必選任務(wù)分配給學(xué)生。此外，任務(wù)類(lèi)型C還可以緩解部分學(xué)習(xí)主動(dòng)性不高、動(dòng)手能力薄弱的學(xué)生的課程學(xué)習(xí)壓力，讓此類(lèi)學(xué)生在自身認(rèn)知范圍內(nèi)給出對(duì)課程的見(jiàn)解。

考慮到每種任務(wù)類(lèi)型的重要性程度不同，這里對(duì)任務(wù)的權(quán)重進(jìn)行分配（包括傳統(tǒng)教學(xué)中的平時(shí)作業(yè)和期末考試）：對(duì)于任務(wù)類(lèi)型A或B，占總成績(jī)的15%；對(duì)于任務(wù)類(lèi)型C，占總成績(jī)的5%；課堂實(shí)驗(yàn)占總成績(jī)的5%。對(duì)于傳統(tǒng)的教學(xué)模式，目前暫時(shí)保留，并作適當(dāng)調(diào)整：平時(shí)作業(yè)占總成績(jī)的5%；考試成績(jī)占70%。

2.3 教學(xué)內(nèi)容調(diào)整

離散數(shù)學(xué)課程學(xué)時(shí)短，教學(xué)任務(wù)重。因此，在采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式時(shí)，需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，將有利于學(xué)生實(shí)踐與創(chuàng)新的教學(xué)內(nèi)容保留，把不符合實(shí)際操作又會(huì)增加學(xué)生負(fù)擔(dān)的內(nèi)容剔減。又因?yàn)殡x散數(shù)學(xué)課程具有時(shí)間緊、內(nèi)容龐雜和結(jié)構(gòu)松散等特點(diǎn)，部分教學(xué)內(nèi)容采用專(zhuān)題的方式進(jìn)行授課。例如講授圖的關(guān)鍵路徑專(zhuān)題時(shí)，可以將項(xiàng)目網(wǎng)絡(luò)圖與二元關(guān)系中的偏序概念聯(lián)系在一起，讓離散的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)專(zhuān)題產(chǎn)生聯(lián)系，引發(fā)學(xué)生的思考[9]。這種以點(diǎn)帶面的專(zhuān)題形式，既提升教學(xué)效率，又能夠讓學(xué)生更直接地理解相關(guān)內(nèi)容。

3 實(shí)踐效果

離散數(shù)學(xué)基于多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式已經(jīng)開(kāi)展3年（從2014—2015學(xué)年至2016—2017學(xué)年），表1和表2分別列出了學(xué)生在學(xué)習(xí)該門(mén)課程時(shí)純?cè)嚲砜荚嚦煽?jī)及綜合成績(jī)的分布情況。

多維任務(wù)驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式，雖然增加了課程的整體難度。但是通過(guò)綜合成績(jī)的平均分來(lái)看，學(xué)生成績(jī)不僅沒(méi)有受到影響，反而比試卷考試成績(jī)略有提升，其標(biāo)準(zhǔn)差亦有不同程度的降低。這說(shuō)明學(xué)生通過(guò)完成多維任務(wù)，能夠找到自己感興趣的課程知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，使得具有個(gè)性化差異的學(xué)生的成績(jī)提升，并趨于相同。

通過(guò)表1和表2的對(duì)比還可以發(fā)現(xiàn)，在任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式下，受益最大的是原來(lái)考試成績(jī)分?jǐn)?shù)較低的學(xué)生。不及格人數(shù)降低約50%，甚至100%。主要原因是由于部分考試成績(jī)低的學(xué)生具有較好的動(dòng)手能力。通過(guò)完成課程任務(wù)，調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)興趣，所以能夠呈現(xiàn)出好的實(shí)驗(yàn)效果，分?jǐn)?shù)提高是必然結(jié)果。對(duì)于考試成績(jī)較好的學(xué)生，一般同樣能夠出色地完成課程任務(wù)，因此對(duì)此類(lèi)學(xué)生成績(jī)影響較小。根據(jù)學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)，每年僅有不到5%的學(xué)生綜合成績(jī)比試卷考試成績(jī)低。

另外，雖然3年間試卷考試的難易程度存在差別（如第一年考試相對(duì)難度高），任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式的效果并未受到影響。

最后，通過(guò)一位學(xué)生的感想來(lái)總結(jié)和升華任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)的實(shí)質(zhì)：“不要把所有的知識(shí)都強(qiáng)迫自己去記住，應(yīng)該從學(xué)習(xí)中得到樂(lè)趣，自己喜歡的就深入學(xué)習(xí)，不喜歡的了解一下就好”。這充分說(shuō)明，離散數(shù)學(xué)課程的任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)，讓學(xué)生由被動(dòng)接受知識(shí)，變成了主動(dòng)探索知識(shí)。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)離散數(shù)學(xué)課程傳統(tǒng)教學(xué)模式中的弊端提出的基于任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式提供多維任務(wù)供學(xué)生自主選擇，將內(nèi)容枯燥且概念繁雜的離散數(shù)學(xué)課程變成具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的實(shí)踐基礎(chǔ)課程。通過(guò)3年的教學(xué)實(shí)踐表明，任務(wù)驅(qū)動(dòng)式教學(xué)產(chǎn)生了較好的效果，并受到學(xué)生的喜愛(ài)。未來(lái)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)逐步壓縮傳統(tǒng)試卷考試所占的比重，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

表1 試卷考試成績(jī)分布

表2 綜合成績(jī)分布