“中考試題中的新定義運算、推理題”復習課教學設計

謝建寶

[摘? 要] 近年來，中考試題中出現了這樣一類題，即由命題者重新定義一種新運算或給出一段閱讀材料，引導學生觀察、分析出其中所蘊含的本質特征，要求學生讀懂題意，進一步解決相關的問題. 這類題是檢測學生數學能力的一種新題型，文章就此類題嘗試復習課教學，與同仁們共同探討.

[關鍵詞] 中考試題;新定義;復習課教學

內容與內容分析

1. 內容

中考試題中的新定義運算、推理題.

2. 內容分析

所謂“新定義運算、推理題”，主要是在問題中定義了中學數學中沒有學過的一些新運算、新概念、新方法等，要求學生讀懂題意后結合已有知識、能力進行理解，根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.

3. 教學重點

基于以上分析，確定本節課的教學重點為：滲透新定義型問題的基本解題策略.

目標與目標解析

1. 目標

（1）理解和掌握問題原型的特點，及其解決問題的方法和思路.

（2）利用新定義、新概念材料中體現的內涵解決問題.

（3）根據問題情境的變化，通過認真思考，合理地進行思想方法的遷移.

2. 目標解析

（1）根據問題提供的具體題意，能分析清楚“新定義運算、推理題”的本質特征，并解決相關問題.

（2）能在“新定義運算、推理題”的基礎上，分析其內涵，解決進一步延伸拓展的問題.

（3）在基礎、拓展題的解題過程中，提煉、升華“新定義運算、推理題”的內涵，進行思想方法的遷移.

教學問題的診斷分析

本節課的復習主題體現在“新定義運算、推理題”上，對學生而言，“新”字是他們復習過程中的難點. 甚至不少學生在心理上存在恐懼感或陰影. 在課堂復習過程中，教師首先要樹立使學生克服上述心理的強烈意識. 在例題、練習題的選用和順序安排中，由易到難的坡度比例要做好，要注重例題的典型性、豐富性和說服力，這樣有利于學生發現問題的共同本質，舉一反三，從而達到解決此類題的目的.

這節復習課的難點是：根據問題，探索解題思路和方法.

教學支持條件分析

課前用紙質教案材料把“課題”相關的要求及列舉的例題和檢測題下發給學生，讓學生先了解“課題”的呈現方式，再利用“班班通”多媒體展示課件（例題、檢測題、解答過程）.

教學過程設計

1. 新定義運算

（1）定義一種運算“☆”，規則為a☆b=+，根據這個規則，計算2☆3的值是（? ? ）

A. B.C. 5 D. 6

（2）對于兩個不相等的實數a，b，定義一種新的運算如下：a*b=（a+b>0），則3*2==，那么6*（5*4）=______.

（3）定義運算：a*b =2ab. 若a，b是方程x2+x-m=0（m>0）的兩個根，則（a+1）*a-（b+1）*b的值為（? ? ）

A. 0B. 2?C. 4m D. -4m

設計意圖上述檢測題是從近幾年的中考試卷中提取出的題目，由易到難，有一定的對比效果. 教師應引導學生讀懂題意后解決問題. 上述試題容易引起學生的共鳴，有利于學生克服對“新定義運算”題型的心理陰影，能促進本節復習課順利進行.

2. 材料新定義

例1若正整數a，b，c滿足+=，則稱正整數a，b，c為一組和諧整數.

（1）判斷2，3，6是否為一組和諧整數，并說明理由;

（2）已知x，y，z（其中x

分析對于第（1）問，根據題目所給的運算式，將具體的數字代入即可. 對于第（2）問，需要從第（1）問中讀懂最小的正整數應作為c，而另外兩個比較大的數字應作為a，b.

解答（1）2，3，6是一組和諧整數，理由如下. 因為=+，滿足和諧整數的定義，所以2，3，6是一組和諧整數.

師（追問）：從第（1）小問中，你能加以引申嗎？如果離開具體的數字，哪個數是“單獨”等式的一邊，哪兩個數是“結伴而行”的？

生：最小的數的倒數是等式一邊“單獨而行”的，另兩個數的倒數是“結伴而行”的.

（這一問題為第（2）問的解題思路做了鋪墊）

師：由第（1）問的解答，你能類比出解答第（2）問的思路嗎？其中哪個數是最小的正整數？（最小正整數的倒數單獨作為等式的一邊）

解答（2）因為x﹤y≤z，依題意，得=+. 因為x=m+1，y=m+3，所以=-=-=.所以z=. 因為z=24，所以=24，解得m=5，m=-9. 因為x是正整數，所以m=5.

設計意圖此題是2018年某市的質檢試題，其中既蘊含了代數運算，又體現了含參問題的合情推理，能充分體現學生的代數綜合分析問題的能力、解決問題的能力和運算能力.

檢測題對于平面直角坐標系xOy中的點P（a，b），若點P′的坐標為（a+kb，ka+b）（其中k為常數，且k≠0），則稱點P′為點P的“k屬派生點”. 例如，P（1，4）的“2屬派生點”為P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）.

（1）點P（-2，3）的“3屬派生點”P′的坐標為______;

（2）若點P的“5屬派生點”P′的坐標為（3，-9），求點P的坐標;

（3）若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為點P′，且線段PP′的長度為線段OP長度的2倍，求點k的值.

例2 若兩個二次函數圖像的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同族二次函數”.

（1）請寫出兩個為“同族二次函數”的函數;

（2）已知關于x的二次函數y=2x2-4mx+2m2+1和y=ax2+bx+5，其中y的圖像經過點A（1，1），若y+y與y為“同族二次函數”，求函數y的解析式，并求出當0≤x≤3時，y的最大值.

分析此題要從題意中理解“同族”的含義（“同族”只是命題者自身定義的詞語）——“頂點相同，開口方向相同”的二次函數. 要從文字表述過渡到二次函數解析式的建構.

解答? （1）答案不唯一，如y=x2和y=2x2.

（在黑板上畫出y=x2和y=2x2的圖像）

師：兩條拋物線分別是如何對應的？

生1：開口小的是y=x2，開口大的是y=2x2.

生2：老師，剛才那位同學的回答是錯誤的，應該是開口小的是y=2x2，開口大的是y=x2.

師：（追問）拋物線開口的大小與a的大小關系如何？

生3：a越大，拋物線的開口越小;a越小，拋物線的開口越大.

（列舉在貴州省平塘縣克渡鎮南邊，世界最大的單口徑球面射電望遠鏡（FAST），又被形象地稱為中國“天眼”，加以說明拋物線的開口大小與a的大小關系）

解答（2）將點A（1，1）代入y的解析式，得2×12-4×m×1+2m2+1=1，整理得m2-2m+1=0，解得m=1，所以y=2x2-4x+3=2（x-1）2+1. 所以函數y的頂點坐標為（1，1）. 所以y+y=2x2-4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b-4）x+8. 又y+y與y為“同族二次函數”，所以（a+2）+（b-4）+8=1，

-=1， 解得a=5，

b=-10.所以函數y的表達式為y=5x2-10x+5. 所以y=5（x-1）2. 所以函數y的圖像的對稱軸為直線x=1. 因為5>0，所以函數y的圖像開口向上.

師：你們還有不同的解法嗎？

生4：可以設y=y+y，根據題意可知y=k（x-1）2+1，則y=k（x-1）2+1-y.

師：很好，逆向思維，是與剛才老師給出的解題思路完全不同的創新思維.

生4：y=（k-2）（x-1）2. 又y經過點（0，5），代入后可求得k=7. 所以函數y=5（x-1）2. （再一次給生4的解法給予充分肯定）

師：下面我們解決最后一個問題——畫出函數y=5（x-1）2的草圖，即頂點為（1，0），對稱軸為直線x=1的拋物線. 由圖像（圖像略）可知，在0≤x≤3范圍內，可作如下分段. ①當0≤x≤1時，因為函數y的圖像開口向上，所以y隨x的增大而減小. 所以當x=0時，y取得最大值，此時最大值為5×（0-1）2=5. ②當1

設計意圖此題建立在二次函數的基礎上，其一，能順便復習二次函數的有關基礎知識，如開口方向與a的關系，頂點坐標;其二，重點在新定義——“同族二次函數”上，解題過程既體現了解二次函數問題的一般性，又體現了“同族二次函數”的特殊性，結合分類討論以及數形結合等數學思想，此題最終得以順利解決. 通過以上問題的分析、解決，學生對“新定義、新材料推理”問題有所認識.

檢測題規定：在平面直角坐標系中，直線l1繞原點O順時針旋轉90°得到的直線l2稱為l1的“旋轉垂線”.

（1）求出直線y=-x+2的“旋轉垂線”的解析式;

（2）若直線y=k1x+1（k1≠0）的“旋轉垂線”為直線y=k2x+b，求證：k1k2=-1.

3. 課堂小結

（1）每一個“新定義運算、推理題”出現，你是應用怎樣的方法做好閱讀、理解題意的？

（2）結合每一個問題中的“新材料”，在理解題意的前提下，你是如何進行數學思考，探索出問題的解題思路的？模仿有參與其中嗎？

（3）在需要拓展思考的問題中，你是如何突破數學思考的藩籬和禁錮，探索出問題的解題思路的？

（4）通過本節課的復習，你有增強解決“新定義運算、推理題”的信心嗎？

歸納傳統的解答題，其條件和結論是由題目明確給出的，考生解題只需由因索果或執果索因即可. 而新定義問題要求考生認真收集和處理題目中所出現的材料信息，通過觀察、分析、綜合、歸納、概括、猜想和論證等深層次的探索活動，調動一切所需要的基礎知識認真研究，才能得到問題的解答. 開放性、探索性和綜合性是新定義題型的明顯特征. 這類題目形式新穎，格調清新，涉及的基礎知識和基本技能十分廣泛，解題過程中有較多的創造性和探索性，解答思路靈活多變，既需要考生有扎實的數學“四基”，具備相當的數學核心素養;又需要考生兼備數學思維的創造性、數學悟性，具有良好的數學解題品質.