淺論轉(zhuǎn)化思想在“圖形與幾何”教學(xué)中的“橋梁”作用

鄧秀蘭

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的核心和精髓部分，是數(shù)學(xué)思想的靈魂所在。教師把這種思想方法運(yùn)用于“圖形與幾何”的教學(xué)之中，對(duì)于幫助學(xué)生形成空間觀念、培養(yǎng)空間想象能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)等方面都能起到至關(guān)重要的作用。

一、將陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的

我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)盡可能地從學(xué)生的生活中提取數(shù)學(xué)的教學(xué)素材，引導(dǎo)學(xué)生將抽象的、陌生的數(shù)學(xué)問題融于具體的、熟悉的生活場(chǎng)景中，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)和已掌握的方法解決新問題。

對(duì)于小學(xué)生來說，初次接觸“體積”這一概念是十分抽象的，為了讓學(xué)生將體積概念置身生活情境中，筆者設(shè)計(jì)了以下學(xué)生熟悉的實(shí)例來加以詮釋。

探究活動(dòng)一：筆者出示一個(gè)裝滿小石塊的透明杯子，提問：“還能往杯里倒進(jìn)去水嗎？杯子里還有空間嗎？”筆者逐步倒入水的同時(shí)提問：“還有空間嗎？”直至倒?jié)M整個(gè)杯子為止。緊接著引導(dǎo)學(xué)生列舉出生活中體現(xiàn)空間概念的事物;讓學(xué)生把手伸進(jìn)抽屜左右摸一摸體驗(yàn)長(zhǎng)度、前后摸一摸體驗(yàn)寬度、上下摸一摸體驗(yàn)高度;讓學(xué)生觀察教室有空間，明白它也有長(zhǎng)度、寬度、高度三個(gè)維度。“空間”這樣抽象的一個(gè)詞，通過學(xué)生的看、摸、說的過程，就形成了清晰的表象。

探究活動(dòng)二：筆者出示兩個(gè)大小相同的杯子，里面都裝滿水，分別往兩個(gè)杯子中放入大小不同的石塊，讓學(xué)生觀察發(fā)生了什么現(xiàn)象。學(xué)生發(fā)現(xiàn)放入石塊之后有水溢出，放入大石塊的杯子溢出的水更多，說明了大石塊占據(jù)的空間比小石塊大。接著讓學(xué)生說一說講臺(tái)桌與課桌哪個(gè)占據(jù)的空間大，文具盒與課桌哪個(gè)占據(jù)的空間大，這三個(gè)物體中哪個(gè)占據(jù)的空間最大。通過列舉學(xué)生熟悉的事物做例子，讓學(xué)生明白“物體所占空間的大小，就是物體的體積”。

二、將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)

人們認(rèn)識(shí)事物的過程是一個(gè)逐步深化的過程，往往會(huì)呈現(xiàn)相對(duì)的階段性，對(duì)于學(xué)生而言，有些新知識(shí)可以利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，這種化新知識(shí)為舊知識(shí)的策略有利于學(xué)生更好地接受新知識(shí)，拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的渠道，提高學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的效率。

例如，在教學(xué)北師大版六上“圓的面積”一課時(shí)，筆者提問：“圓與之前學(xué)過的平面圖形有什么區(qū)別？”學(xué)生反饋：它們形狀不同，圓是由曲線圍成的封閉圖形，而之前學(xué)過的平面圖形都是由線段圍成的。筆者接著問：“圓的面積公式怎樣推導(dǎo)？是不是也可以像平行四邊形、三角形、梯形一樣可以轉(zhuǎn)化成我們已學(xué)過的平面圖形呢？”很多學(xué)生拿出了圓紙片，左思右想，卻無從下手。筆者點(diǎn)撥：“從表面上看，曲線圍成的圓是無法轉(zhuǎn)化成由線段圍成的平面圖形。但是，我們古代的科學(xué)家經(jīng)過不懈的努力，卻轉(zhuǎn)化成功了。同學(xué)們想知道古人是怎樣轉(zhuǎn)化的嗎？”接著借助多媒體演示：先把圓等分成16份，然后剪開，接著把等分的部分不重疊地拼接成近似于一個(gè)平行四邊形，接著再演示等分成32份、64份、128份后的拼接圖形。筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察，等分的份數(shù)越多拼成的圖形越接近于長(zhǎng)方形，圓的形狀變了但面積不變，只要求出長(zhǎng)方形的面積，就能求出圓的面積。拼接成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓的半徑，長(zhǎng)方形的面積等于圓周長(zhǎng)的一半乘以半徑，圓的面積也等于圓周長(zhǎng)的一半乘以半徑，用字母表示S=πr×r=πr■。

通過這一系列的操作活動(dòng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)無論把圓轉(zhuǎn)化成哪種平面圖形，它的面積總是等于圓周長(zhǎng)的一半乘半徑。這一活動(dòng)過程幫助學(xué)生溝通了平面圖形之間的聯(lián)系，領(lǐng)悟“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想的魅力。在轉(zhuǎn)化的過程中讓學(xué)生感受“極限”思想，領(lǐng)略“化圓為方”的方法，提高了學(xué)生解決問題的能力。

三、將抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體的圖形

小學(xué)生以具體形象思維為主，抽象思維剛處于萌芽狀態(tài)，因此，要讓小學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，特別是空間與圖形的有關(guān)知識(shí)，可以通過畫圖等直觀手段把高度抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化、具體化地呈現(xiàn)給學(xué)生，以降低知識(shí)的抽象程度，以利于學(xué)生的理解與接受。

例如，教學(xué)北師大版五下“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”一課。例題：把3個(gè)棱長(zhǎng)為2分米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少，體積是多少？要求長(zhǎng)方體的表面積和體積就必須知道它的長(zhǎng)、寬、高，這些條件題目中沒有提供直接的數(shù)據(jù)，學(xué)生想象拼成的長(zhǎng)方體是什么樣子存在困難，對(duì)題目也感到無從下手。這時(shí)筆者引導(dǎo)學(xué)生畫出拼成的圖形，并標(biāo)出有關(guān)數(shù)據(jù)，解決問題的條件立馬躍然于紙上。隨后讓學(xué)生觀察和思考：把3個(gè)棱長(zhǎng)為2分米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體后，什么沒有變，什么變了？引導(dǎo)學(xué)生討論并得出結(jié)論：無論拼成什么形狀，體積始終是不變的，表面積變了，減少了四個(gè)面。這樣不僅得出這道題多樣的解答方法，而且拓展了學(xué)生的解題思路，提升了學(xué)生的空間想象能力。

四、實(shí)現(xiàn)平面圖形與立體圖形的相互轉(zhuǎn)化

學(xué)生空間觀念形成的主要表現(xiàn)是：能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出事物的形狀，進(jìn)行幾何體與三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化，并通過展開與折疊進(jìn)行平面圖形與立體圖形之間的轉(zhuǎn)化。

例如，教學(xué)北師大版五下“展開與折疊”一課。課前，筆者讓每位學(xué)生制作一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的正方體，并在課堂上演示剪開一個(gè)正方體（要求每個(gè)面最多剪三刀，共剪七刀），最后在黑板上展示展開圖。學(xué)生根據(jù)筆者的要求剪開一個(gè)正方體，展示各自正方體的展開圖，大部分的展開圖都是“141型”（見圖1）。在“141型”的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生討論：如何調(diào)整中間四個(gè)面中的一個(gè)面也能拼成正方體。學(xué)生在操作的過程中發(fā)現(xiàn)移成“田、凸、凹”字形的都不能拼成正方體，把四個(gè)面中的第四個(gè)面移到指定位置能拼成正方體（見圖2）。在師生共同努力之下，發(fā)現(xiàn)了“231型”有3種情況（見圖2、3、4）?！?22型”和“33型”沒有學(xué)生能夠剪出來，筆者接著演示了“222型”和“33型”的展開圖的剪法，讓學(xué)生觀察后思考“222型”和“33型”與前面幾種展開圖的剪法有哪些相同與不同之處。相同之處是每個(gè)面最多只能剪三刀，共剪七刀，不同之處是“222型”和“33型”不能沿著一個(gè)方向一直剪到底，在上面剪三刀之后要沿著高剪一刀，再沿底面剪兩刀（注意：這時(shí)“222型”兩刀方向不同，“33型”兩刀的方向相同），“222”型的第七刀如圖5所示，“33”型的第七刀如圖6所示。接著讓學(xué)生用準(zhǔn)備好的正方體根據(jù)圖示剪出“222”型和“33”型的展開圖。整節(jié)課緊緊圍繞正方體的“展開與折疊”進(jìn)行，在平面與立體之間相互轉(zhuǎn)化操作，努力使學(xué)生的空間觀念形成一次飛躍。

總之，學(xué)生掌握了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，就猶如有了一位“隱形”的教師，獲得了獨(dú)立解決問題的能力，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。在“圖形與幾何”教學(xué)中，教師要靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：福建省順昌縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)? 責(zé)任編輯：王振輝）