三自由度柔索并聯(lián)搬運(yùn)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)和工作空間分析

張 龍, 王世偉, 牛 奔, 戴振振

(淮南師范學(xué)院 機(jī)械與電氣工程學(xué)院， 安徽 淮南 232038)

0 引 言

搬運(yùn)機(jī)器人目前廣泛應(yīng)用于加工生產(chǎn)線、包裝碼垛等行業(yè)，用以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化搬運(yùn)作業(yè)。傳統(tǒng)的搬運(yùn)機(jī)器人大多采用串聯(lián)機(jī)械臂[1]，存在承載能力低、定位精度差等問(wèn)題，難以適用于重載、高定位精度的場(chǎng)合。

柔索并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為一種采用柔性繩索代替剛性連桿作為驅(qū)動(dòng)元件的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有負(fù)載能力強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)速度快、可重構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)[2]。近年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，各國(guó)研究人員利用柔索并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其廣泛用于天文觀測(cè)、建筑施工、救援、醫(yī)療康復(fù)服務(wù)等方面[3-5]。

文中基于柔索并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種三自由度搬運(yùn)機(jī)器人，首先對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行了描述，接著建立了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，給出了運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解。在此基礎(chǔ)上，依據(jù)靜力學(xué)方程和矢量封閉原理，分析了該機(jī)器人的可控工作空間。最后在給定結(jié)構(gòu)參數(shù)下，運(yùn)用Matlab軟件對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)和可控工作空間進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

1 系統(tǒng)描述

三自由度柔索并聯(lián)搬運(yùn)機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖1所示。

1.滾筒; 2.直流伺服電機(jī); 3.張緊滑輪; 4.柔索; 5.導(dǎo)向滑輪; 6.支撐橫梁; 7.搬運(yùn)重物; 8.支撐架; 9.底盤; 10.聯(lián)軸器。

直流伺服電機(jī)共有4個(gè)，其中3個(gè)均勻布置在正三角形底盤頂端，1個(gè)布置在底盤中心的正下方；支撐架安裝在底盤頂點(diǎn)，其下部設(shè)置有張緊滑輪，頂端設(shè)置有導(dǎo)向滑輪；直流伺服電機(jī)與卷筒連接，卷筒上繞有柔索；前3條柔索經(jīng)張緊滑輪、導(dǎo)向滑輪分別與重物連接；第4條柔索穿過(guò)底盤上開(kāi)設(shè)的導(dǎo)向孔后與重物連接。

直流伺服電機(jī)通過(guò)牽引4根柔索完成重物的空間三維平動(dòng)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 坐標(biāo)系建立

由于文中研究的柔索搬運(yùn)機(jī)器人中的柔索長(zhǎng)度較短，可以忽略柔索的自重、變形和垂度，因此用直線代替柔索。另外,在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行受力分析時(shí)，忽略桿件變形和各連接處的摩擦。基于以上分析，得到三自由度柔索并聯(lián)搬運(yùn)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。

圖2 三自由度柔索并聯(lián)搬運(yùn)機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

由圖2可以看出，Ai表示底盤頂點(diǎn)，Bi表示支撐架頂點(diǎn)，Ci表示正三角形重物頂點(diǎn)。定義坐標(biāo)系{O}為全局坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于底盤的重心上，x、y軸固定在Ai所在底盤平面上，z軸垂直于Ai所在底盤平面，方向向上；定義坐標(biāo)系{O′}為局部坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于搬運(yùn)重物的重心上，x′、y′軸固定在Ci所在平面上，z′軸垂直于Ci所在平面，方向向上。底盤的邊長(zhǎng)為a，重物的邊長(zhǎng)為c，支撐架的高度為h。

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解分析

因?yàn)橹匚镌诳臻g中做三維平動(dòng)，所以其姿態(tài)變換矩陣[6]為

由圖2得前3條柔索長(zhǎng)度矢量

(1)

式中:Bi----坐標(biāo)系{O}原點(diǎn)到支撐架頂點(diǎn)的矢量,i=1，2，3;

r----坐標(biāo)系{O}原點(diǎn)到坐標(biāo)系{O′}原點(diǎn)的平移矢量;

Ci----坐標(biāo)系{O′}原點(diǎn)到柔索與重物鉸接點(diǎn)的矢量。

第4條柔索長(zhǎng)度矢量

L4=OO′=r(2)

各條柔索的單位方向矢量為：

各條柔索的長(zhǎng)度為:

Li=‖Li‖ (4)

i= 1，2，3，4

2.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解分析

已知4根柔索的長(zhǎng)度Li，求解重物重心的位置(xO′,yO′,zO′)，即為該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。

根據(jù)2.1所述的已知條件得：

r=[xO′,yO′,zO′]T

將上述矢量代入式(1)～式(4)得各條柔索長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的方程為：

L3=3(c-a)3-xO′é?êêù?úú2+y2O′+(h-zO′)2(7)L4=x2O′+y2O′+z2O′(8) 聯(lián)立方程組(5)～(8),即可求得重物重心的位置(xO′,yO′,zO′)。3 可控工作空間分析 重物在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中如果滿足受力平衡和力矩平衡,且每條柔索拉力均大于零的所有位姿的集合定義為其可控工作空間[7-8]。對(duì)該搬運(yùn)機(jī)器人進(jìn)行受力分析,根據(jù)重物的受力平衡關(guān)系得靜力學(xué)方程∑4i=1Fi+FP=0∑4i=1ki×Fi+MP=0ì?í????(9)式中:Fi柔索拉力,Fi=fiui,N;FP重物所受的外部作用力,N;ki柔索拉力作用于重物的力臂O′Ci,m;MP重物所受的外部作用力矩,N·m。將式(7)寫(xiě)出矩陣形式有:JT×F=W(10)式中:JT柔索并聯(lián)搬運(yùn)機(jī)器人的Jacobi-an矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,且JT滿足:JT=u1u2u3u4k1×u1k2×u2k3×u3k4×u4é?êêù?úúF=f1f2f3f4[]TW=-FPMP[]T求解式(8),可以得到柔索拉力為F=(JT)+W+[I-(JT)+JT]λ(11)式中:(JT)+矩陣H的Moore-Penrose廣義逆矩陣;λ任意一個(gè)列向量。根據(jù)矢量封閉原理[7],如果由重物位姿計(jì)算出的I-(JT)+JT中的每個(gè)元素均大于零,則牽引重物的柔索拉力大于零,也即該位姿落在可控工作空間內(nèi)。4 仿真實(shí)驗(yàn)4.1 可控工作空間仿真實(shí)驗(yàn)給定柔索并聯(lián)搬運(yùn)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)參數(shù)數(shù)值底盤邊長(zhǎng)a/m2.0重物邊長(zhǎng)c/m0.2支撐架高度h/m1.5 采用Monte-Carlo方法,在MATLAB中編程仿真[9],求出該機(jī)器人的可控工作空間如圖3～圖6所示。