三等級運算水平在2018年高考試題中的體現

王蓬蓯 胡典順

1 引言

著名數學奧林匹克專家裘宗滬指出“如果你想學好數學，首先要會算，而且要算的好.它是思維能力、邏輯能力、空間想象能力以及創新意識的基礎.”數學運算是解決數學問題的基本手段，運算過程中追求通性通法以及簡潔算法有助于使個體的思維變得更加靈活，運算更加優化[1].在學生孩童時期就學習“1+1=2”的代數運算，隨著年級的升高，數學運算涉及的范圍越來越廣，已由基本的代數運算延伸到向量運算，甚至在大學階段學習群的運算.由此可見，中學階段對于數學運算能力應該更加重視.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“17年課程標準”）對高中學生的數學運算能力的界定為：數學運算是解決數學問題的基本手段，是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養，主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，設計運算程序，求得運算結果[2].17年課程標準對于數學運算的界定為教師研究教材、出題者命制試題提供了方向.

當前學生的運算水平急需提高，時常會出現會而不對，對而不全，全而不優的現象.具體表現在對運算對象的理解、法則的掌握、思路的探索和程序的設計[3].喻平教授從知識的角度切入，參照布魯姆的學習目標分類、PISA模型和SOLO模型對數學運算能力在三級水平上的具體表現給出操作性定義[4]：

2 數學運算各級水平的分布

在2018年高考數學全國Ⅰ卷（理）試題中，數學運算能力各級水平統計結果如下表：

第一級水平在歷年來的全國卷中主要通過集合與虛數的計算體現，選擇題中的前五個問題中基本有兩個問題都是集合的運算與虛數的計算，主要考查學生對于集合的元素與集合交并補關系，以及虛數共軛或模的計算公式的掌握程度，學生只要掌握了集合的基本知識以及虛數的計算公式法則，便可以進行應對.

第二級水平則是基本整套試卷的.例如，數列的計算常常需要綜合使用多個計算公式進行解決，如求和公式、等差（比）中項計算公式，利用題中給出的遞推公式，甚至是利用基本不等式求解;又如，圓錐曲線的問題需要使用多個計算公式，如點到直線的距離公式、圓與圓位置關系的公式、斜率的計算公式等.解決第二級水平問題時，學生首先要牢固掌握相關計算公式的形式以及使用條件和范圍，其次要對各個公式可以進行靈活的變形，找到解決問題的關鍵公式所在，以及各個數學內容之間的關系，綜合運用多種數學方法進行變形與計算.

第三級水平主要是針對問題的程序設計以及解決復雜的問題而言的.高考試卷最后幾個解答題是學生最頭疼的問題，2018年解答題的問題設置與歷年試卷的問題設置難度基本相同，尤其是第二小問，這些問題通常比較復雜，需要學生有一個清晰的解決問題思路，例如在求解圓錐曲線的問題中，既需要求兩個曲線的交點問題，還需要學會用未知數表示點的坐標，找到未知數之間的關系建立等式進行求解等.圓錐曲線的問題在歷年高考試題中是比較難的，一方面是因為圓錐曲線問題對于學生直觀想象能力要求比較高，同時對于學生的計算化簡等數學運算能力的要求也比較高，除此之外，學生還要具備較高的邏輯推理能力，能夠對于問題進行程序設計，找到一種最佳的解決辦法.對于函數的求導、數列的求和或求通項等問題，需要學生有一個更加縝密的思路，找到題干中給出的隱含信息，設計一個問題解決程序，條理清晰地解答問題.

3 數學運算的典型試題評析

在對運算水平試題分布進行整體分析以后，接下來將以如下三個試題為例，體會整套試卷對于數學運算能力的要求.

3.1 一級水平

分析 該題有多種解決辦法，最常規的辦法就是套用公式：將S2、S3和S4分別用等差數列求和公式進行表示，得到一個關于a1與d的等式.將題目中給出的a1值帶入，即可求得d的數值，再根據等差數列的公式求出a5.在法1中，學生需要儲備的知識點有：等差數列求和公式;等差數列通項公式.法2中，學生需要儲備的知識點為：等差數列和式之間的關系;等差中項;等差數列通項公式.法1利用等差數列求和公式求解a1與d時，比法2更容易出錯，因此，選擇第二種方法更能降低計算難度.除此之外，本題還有多種解決辦法，都是大同小異的.總的來說，該題的求解要求也是理解基本的計算公式體系，學生完成該題時只考慮數列計算公式的簡單疊加便可，計算并不復雜，同時耗時比較短，不用與其他內容知識相結合，屬于第一水平能力.

分析 本題的關鍵在于學生需要對直線存在斜率問題進行討論.學生在解決該問題之前熟練掌握有關平面解析幾何的定理、公式及常用變形等，以及對于韋達定理在圓錐曲線上的應用非常熟悉，在此基礎上根據題干挖掘信息，同時要考慮到題目的隱含信息所在，在該題中傾斜角互補，斜率之和為0為突破口.學生解決該問題時應該能夠做到清晰地分析思路，設計一套運算程序，靈活運用所學的知識與方法解決非常規性問題.本題最耗時的部分在于計算與化簡兩個斜率和的過程，但是學生只要掌握常規做法，本題也可以順利完成.

4 啟示與建議

4.1 試題命制的建議

在命題的設置上，有關數學運算的試題不能過于簡單也不能太難，同時要注重常規數學運算方法，但是又不能過于死板，讓學生在解決問題時產生“可以用常規方法解決但是又必須要經過一定變形才可以解決”的感受.并且，命題人應該合理把控運算時間[5]，總時間是有限的，運算量不宜過大，因此，要注意第三級水平運算的難度.另外，數學運算是不能脫離其他知識單獨存在的，在試題的命制過程中要更加注重多方面的數學運算，例如可以嘗試將解決立體幾何的問題轉變成求最值的問題，多方面考查學生對于知識的綜合掌握程度.同時，還要命制幾道需要學生綜合分析，設計解決問題程序的題目，讓學生從更高的角度進行數學運算，切實提高學生數學運算的能力.

4.2 教師教學的建議

對于一級運算水平的數學試題，學生只需要掌握概念與運算法則的新授課階段講解的內容便可順利解決.教師在教學過程中，要讓學生對此類型題目多加練習，牢固掌握數學的基元：數學概念、運算法則、命題、定理等，要讓學生從多角度進行認識，能夠對于一級水平的題目條件反射性解決問題.學生只有擁有扎實的數學知識，才能夠進行靈活運用.心理學關于“專家系統”的研究表明：一個領域內善于解決問題的專家必須具有5—20萬個知識組塊.沒有這些專門知識，專家就不能解決該學科領域內的問題[6].

在整套試卷中，二級運算水平的試題最多，因此，教師應該針對二級運算水平加強運算練習.在教學過程中，教師要讓學生接觸更多類型的綜合性題目，使得學生的思維不只是限制在當前的學習范圍內，例如很多學生在講解函數時他們學會用數形結合來解決問題，但是在某些不等式求解問題時，學生經常只是在數的角度進行運算，忽略圖形與數的結合，殊不知利用圖形解決數學問題要比單純的數學計算更為便捷.同時，教師還要注意對公式的變形進行教學，注重通過對于公式形式的分析進而“湊”的教學.

第三級運算水平既需要學生有牢固的數學基礎，又需要學生能夠靈活的處理各種綜合類型的問題，同時還要根據問題情形的改變找到合適的解決策略.教師在教學過程中，遇到新的問題時要帶領學生深入挖掘題干中給出的信息，將自己的解題思路暴露給學生，在挖掘信息的過程中要注意思路的自然性與連貫性，不能生拉硬拽地將整個問題的計算步驟拼湊出來.在解題完成之后經常帶領學生反思運算過程，即這個解題的過程是什么，哪些地方是解決這個問題的關鍵，我們是如何處理這個關鍵點的，為什么可以這么處理，在解決其他問題時有什么用，如何在解題中進行應用.除此之外，還要注重學生一題多解能力的培養，在課堂上對多種辦法進行比較，選出一個最優的解決辦法，然后總結何時應用這種方法，何時應用其他方法會更方便.

4.3 學生學習的建議

學生在學習新的知識時要多對新的定理、法則公式等進行練習，見識更多新題型與新定理的變式，讓其爛熟于心，這樣可以在解決問題時游刃有余.同時，在審題過程要仿照教師的做法充分挖掘每道題目中蘊含的關鍵信息，解題過程不能偷懶，對于技巧性較強的問題要善于總結其應用的條件，同時多加練習，對于每一類數學問題進行歸類，進而養成對于解決問題的條件反射.

參考文獻

[1] 呂世虎，吳振英.數學核心素養的內涵及其體系構建[J].課程·教材·教法，2017，37（09）：12-17.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 陳玉娟.例談高中數學核心素養的培養——從課堂教學中數學運算的維度[J].數學通報，2016，55（08）：34-36+54.

[4] 喻平.基于核心素養的高中數學課程目標與學業評價[J].課程·教材·教法，2018，38（01）：80-85.

[5] 崔志榮.關于高考數學運算考查要求的幾點建議——以2017年全國高考江蘇卷為例[J].數學通報，2018，57（02）：37-40.

[6] 簡洪權.高中數學運算能力的組成及培養策略[J].中學數學教學參考，2000（Z1）：35-37.