基于AIC準則判斷鋰電池最優模型

李國春，王恩龍，王麗梅，盤朝奉

（1.江蘇大學 汽車與交通工程學院，江蘇，鎮江 212013；2.江蘇大學 汽車工程研究院，江蘇，鎮江 212013）

當前電動汽車相關技術飛速發展，電池管理系統（Battery Management system，BMs）作為新能源汽車技術的重要組成部分，受到國內外科研人員的廣泛關注。目前，主要有等效電路模型[1]、電化學模型[2]及神經網絡模型[3]用于BMs開發中。這3種模型在模型參數辨識方法、使用范圍及模型精度等方面各有優勢，但大多數研究只關注電池模型的預測精度，而忽視模型結構復雜度和預測精度之間的平衡問題[4]。對于基于嵌入式系統所開發的BMs而言，電池模型的精度與復雜度將影響電池管理系統的決策和控制，因此，精確建模和模型簡約之間的權衡是BMs開發中一個難以避免的關鍵問題[5-6]。

本文選用不同階次的等效電路模型對動力電池進行建模研究，基于赤池信息量準則對模型的結構復雜度和預測精度進行系統的評價和分析，得到最適合工程應用的動力電池模型。

1 電池模型建立及數學描述

1.1 電池模型建立

n階RC等效電路模型的原理圖如圖1所示。該模型由電壓源、歐姆內阻、不同階次RC網路（i=0,…,n）組成，其中，Uoc為電池開路電壓，R0為電池歐姆內阻，Ri為電池極化內阻，Ci為電池極化電容，Ri和Ci并聯用于模擬電池動態特征，U為電池端電壓。

圖1 n-RC等效電路模型原理

1.2 模型數學描述

基于基爾霍夫定律，建立上述n-RC等效電路模型電路描述方程，具體表達式為：

式中：i=0,…,n；Ui為極化電壓，V。對Ui進行離散化求解可得：

式中：t為系統采樣周期；Ik為k時刻的電流；Ui,k為第i個RC網路在k時刻下的極化電壓；如果已知模型參數和電流電壓值，可得：

1.2.1i= 0

當i=0時，n-RC等效電路模型可轉化為Rint模型，根據式（3），電池輸出電壓與輸入電流關系如下：

采用Z變換法將模型推導為基于時域的數學表達式，將式（4）轉化為輸入輸出方程yk=θkΦk形式可描述為：

為區分方便，采用下標的方式描述模型階次n，如y0,k表示模型階次為0時系統的輸出變量，■表示模型階次為0時系統的系數矩陣，表示模型階次為0時系統數據矩陣，下角標k表示數據值為tk時刻的值。

1.2.2i= 1

當i=1時，n-RC等效電路模型轉化為Thevenin模型，假設：根據式（3），則電池輸出電壓與輸入電流的數學關系如下：

針對極化電壓Ui，從離散時間轉換到Z域如下：

整理可得：

求逆拉普拉斯變換可得：

將式（10）轉化為輸入輸出方程yk=θkΦk，得：

其中，歐姆內阻和開路電壓可從式（11）中推導出，表達式如下：

1.2.3i= 2

當i= 2時，n-RC等效電路模型轉化為DP模型，假設：根據式（3），則電池輸出電壓與輸入電流的數學關系如下：

將其代入式（13）中得：

求逆拉普拉斯變換可得：

其中，歐姆內阻和開路電壓可從式（17）中解析出：

1.2.4i=n

當i=n時，電池輸出電壓與輸入電流的數學關系如式（3）所示，根據Z變換法則，可將式（3）化簡為：

式中：ai（i=1,…,n），ci（i=0,…,n）為模 型 的辨識參數。同理，可將該式轉化為輸入輸出方程yk=θkΦk的形式，如下：

其中，歐姆內阻和開路電壓可以基于式（12）和式（18）的規律推導得出：

2005年以來，黃河流域水質總體惡化趨勢初步得到遏制。其中，黃河干流水質呈好轉趨勢，主要支流水質類別雖無較大變化，但主要污染物濃度有所下降，尤其以污染較重的渭河、洛河較為明顯。

當模型的階次較高時，系統的系數矩陣難以推導，當n＞60后，單位采樣時間內電池荷電狀態（state of Charge，sOC）對時間的變化率不再近似等于0，而是逐漸接近2%[7]。同時，較高階數的模型復雜度也會相應增加，不利于動力BMs的運算。因此，本文僅討論模型階數在3階以內的情況。

2 模型參數辨識

2.1 模型參數離線辨識

本研究使用的電池單體為江蘇春蘭新能源公司生產的40 Ah/3.7 V的方形三元材料鋰動力電池，電池外形尺寸為36 mm×130 mm×150 mm。混合脈沖功率特性（Hybrid Pulse Power Characterization，HPPC）、簡化聯邦城市行駛工況（Dynamic stress Cycle，DsT）試驗充放電設備是寧波拜特有限公司提供的動力電池測試系統NBT30V100AC4-T系列。無錫索亞特小型高低溫濕熱交變試驗箱提供相應的環境溫度和濕度條件。所有試驗在恒溫 25 ℃，濕度30%的工況下進行。

等效電路模型中需辨識參數有開路電壓Uoc、歐姆內阻R0、極化內阻Ri及電容Ci。建立這些參數與sOC間的函數關系，在實際應用過程中，通過估算得到的sOC即可獲取相關模型參數，進而實現電池電壓的預測。本文參考《FreedomCAR電池實驗手冊》里的混合脈沖試驗原理，利用HPPC試驗數據進行模型參數辨識，辨識原理如圖2所示。

圖2 脈沖放電過程中部分端電壓和電流相應曲線

圖2中，t1至t2時間段電池電壓變化過程稱為零狀態響應，t3至t4時間段電池電壓變化過程稱為零輸入響應。根據零狀態響應建立放電階段方程：

式中：τi為時間常數(τi=RiCi)。本文采用文獻[8]中的指數擬合法得到模型中的RC網絡的參數，指數擬合函數的表達式為：

比較式（22）和式（23）可得：

通過式（24）可以計算出模型中的各個參數。但使用該方法求取R0的過程中，因開路電壓（Open Circuit Voltage，OCV）與sOC的函數關系耦合影響會給平臺電壓區帶來較大誤差，所以將采用下面的方法求解電池歐姆內阻。

由圖2可知，在放電開始時刻電池電壓出現階躍式下降。這是電池歐姆內阻造成的，所以可通過式（25）計算電池歐姆內阻：

2.2 模型參數在線辨識

由于電池系統的時變性，實際應用中的模型參數會隨著循環次數、電池容量、外界溫度等因素發生改變，采用初始辨識參數估算出長期使用后的電池特性會產生較大偏差。因此，需實時測量電池電流、電壓和溫度來對模型參數進行在線辨識，以保證模型精度與適應性。

參數在線辨識的方法主要有遺傳算法、最小二乘法、極大似然算法、卡爾曼濾波法和預報誤差法等。隨著計算步數的無限增加，原始數據的積累會越來越多，致使新輸入的數據很難對前面的估計值做出修正，從而影響對其后的參數估計效果，且在實時系統中可能表現得更為明顯。為了避免類似情況，提出了含有遺忘因子λ的遞推最小二乘法 ——遺忘因子算法 （Forgetting Factor Algorithm，FF），它能夠有效克服“數據飽和 ”，防止估計發散[9]。FF的基本計算方程為：

式中：ek為零均值白噪聲，符號定義與式（20）一樣，含有遺忘因子λ的遞推最小二乘法的公式為：

式中：λ為遺忘因子，一般情況下λ=0.95～1，λ越小，算法跟蹤能力越強，但也有可能會引起算法的波動，當λ=1時，式（27）即為普通的遞推最小二乘法；K為算法增益；P為狀態估計值的誤差協方差矩陣。

3 模型階次選擇

3.1 基于離線參數的建模方法

根據2.1節采用的動力電池參數離線辨識方法，可得到各個階次模型的不同sOC下的模型參數。根據這些參數基于simulink平臺建立不同RC網絡結構的等效電路仿真模型，以Thevenin 模型為例，如圖3所示。其中，模型參數采用simulink元件庫中的1-D Lookup Table建立Map來映射關系，如圖4所示。

圖5為不同階次電池開路電壓的辨識結果，圖6為電池不同階次模型的預測誤差對比。由圖5可知，帶有RC網絡結構的等效電路模型開路電壓的辨識

圖3 動力電池simulink仿真模型

圖4 利用1D Lookup Table建立的模型參數Map圖

圖5 基于HPPC工況的單體開路電壓辨識結果（離線）

圖6 基于HPPC工況的單體電壓辨識誤差（離線）

結果較為接近，平均偏差只有2.3 mV，而基于Rint模型的開路電壓辨識結果與帶有RC網絡結構的模型偏差較大，最大偏差達53.4 mV，平均偏差也在30.7 mV。為比較各階數模型的精度與效率，采用相關程度評價系數R-square，以及誤差絕對值的最大值、平均值、標準差、仿真計算時間這5個參數來進行不同RC網絡等效電路模型精度的分析與評價，見表1。其中，R-square值是由各個模型參數辨識過程中，相同sOC區間的數據擬合得到的，其值可以反映擬合程度的好壞，越接近1，說明擬合結果越好。為了客觀評價誤差值，所有誤差統計結果均使用預測誤差的絕對值。例如，表1為使用上述5個參數來進行不同RC網絡等效電路模型精度分析與評價的結果。

表1 基于離線參數的電壓預測誤差

由表1可知，Rint模型的R-square值最小，電壓預測誤差較大，最大誤差為97.94 mV，而帶有RC網絡結構的模型，其預測電壓誤差在45 mV以內，可見，若不考慮RC網絡結構，電池開路電壓辨識結果與模型預測電壓誤差較大，因此，Rint模型并不適用于電池特性描述。為權衡模型精度與復雜度，根據式（28）和式（29）計算前三階等效電路模型的赤池信息值[9]。由于n<

式中：L為數據的長度；為最優參數下的平方和，計算公式為：

式中：yk為電池端電壓的測量值；為基于模型的端電壓仿真值。計算結果見表2。

若以AIC作為判斷模型精度和復雜度的指標，AIC越小，模型越優，當n=1時，AIC最小，即Thevenin 模型更適合描述三元鋰離子動力電池。由于Rint模型精度低，其AIC的值大于Thevenin模型和DP模型；根據表1結果可知，帶有RC網絡結構的模型預測精度并不懸殊，結合表2可以看出，模型復雜度是影響AIC值的主要因素，因此，Thevenin模型最優。

表2 基于離線參數的AIC

3.2 基于在線辨識參數的建模方法

根據多次辨識經驗，選定遺忘因子為 0.999進行在線參數辨識，辨識結果如圖7和圖8所示。

圖7 單體開路電壓辨識結果（在線）

圖8 單體電壓辨識誤差（在線）

圖7為在線辨識的前三階RC等效電路模型開路電壓，圖8為前三階RC等效電路模型估計電壓誤差對比。由圖7可知，不同RC網絡結構電池模型辨識的開路電壓值較為接近，四者之間的最大偏差為19.35 mV，平均偏差為2.75 mV，表明使用在線辨識法得到的開路電壓隨sOC的變化關系較用離線辨識法得到相應關系更為精確。由圖8可知，帶有RC網絡結構的等效電路模型電壓預測誤差相差不大，都在15 mV以內，而不帶RC網絡結構的等效電路模型電壓預測誤差最大達到62.48 mV，同樣驗證了Rint模型并不適合三元鋰離子電池。為詳細分析和評價模型的估計精度，使用不同RC網絡模型估計誤差的絕對值進行統計分析，結果見表3。

表3 基于HPPC工況的電壓預測誤差

由表3可知，Rint模型不論是平均誤差還是最大誤差都遠高于其它階次模型，其AIC值最大。通過對不同階次模型誤差的絕對值進行統計分析，盡管n=3時的預測最大誤差優于n=2，但RC網絡數越多，辨識時間越長，增加了計算時間。通過AIC可得出，n=1時的模型最優。為驗證該方法的適應性，同時使用DsT工況進行分析，單體電壓辨識結果如圖9所示，計算結果見表4。

表4 基于DsT工況的電壓預測誤差（在線）

由于DsT工況電流變化較為復雜，根據統計數據分析可知，不同階次等效電路模型的最大誤差、平均誤差及AIC值與HPPC工況相比較數值增大，但是根據AIC判定，同樣可以得到n=1時的模型最優。

綜上所述，基于離線和在線參數的建模方法均得到Thevenin 模型最適合三元鋰離子動力電池建模。通過比較圖6、圖8和表2、表3，基于在線數據的參數辨識方法得到的開路電壓和端電壓比使用離線數據參數辨識方法得到的相應結果更優。

圖9 單體電壓辨識結果（在線）

4 結論

本文基于AIC，充分考慮了模型離線和在線參數辨識方法的優缺點，提出了定量評價模型結構復雜度和預測精度綜合性能函數，以判斷鋰離子電池最優模型。通過離線和在線參數的建模方法，對不同RC階次的等效電路模型進行AIC分析，結果表明，一階RC等效電路模型最適合鋰離子動力電池精確建模。