基于稀疏響應面的麥弗遜懸架多約束優化

李 璞，李 澄，黃長征，王洪榮，胡松喜

（1.韶關學院 物理與機電工程學院，廣東，韶關 512005；2.中國汽車工程研究院，重慶 401122）

車輛操控性能主要受車輛懸架系統運動特性的影響，由于懸架系統的硬點位置在很大程度上決定其運動特性，所以這些硬點位置的坐標通常被定義為懸架系統運動特性優化的設計變量。

麥弗遜懸架具有結構簡單緊湊，簧下質量小，占用車輛空間少等優點，在現代汽車特別是前懸架上應用極為廣泛[1]。目前，對麥弗遜懸架的運動學分析通常采用空間機構運動學的數值計算方法和基于多剛體動力學軟件的仿真分析方法[2]。由于懸架系統的復雜性，應用數值計算方法構建系統復雜且不夠直觀，懸架系統的模型通常使用機械系統自動動態分析（Auto Dynamic Analysis of Mechanical systems，ADAMs）等軟件進行開發。但在模型的優化設計中，優化目標的計算需要頻繁調用形如黑箱函數的軟件模型，其計算仍較為費時。因此，響應面模型方法經常用于工程優化，以節省優化工作的計算成本[3-4]。

為構建精確的響應面模型，需要經過大量的采樣，而多次采樣需要多次調用黑箱模型，從而增加計算時間。利用源模型在某函數基上的稀疏性表示（即源模型可通過該組函數線性表示，且對應的系數大多為0），只需要通過少量的采樣點，即可求解出非零系數[5]。因此，提出稀疏響應面方法，通過少量的采樣點獲得對麥弗遜懸架模型的精確逼近，基于稀疏響應面對懸架系統進行快速精確的運動學分析和參數優化。

1 麥弗遜懸架建模及運動學優化分析

1.1 ADAMs建模

采用ADAMs軟件對某汽車的麥弗遜懸架建模，如圖1所示。硬點參數的初始值見表1。

圖1 麥弗遜懸架模型

表1 麥弗遜懸架運動學參數初始值

1.2 優化目標

懸架運動學特征一般由主銷后傾角、主銷內傾角、車輪外傾角和前束角等參數描述。為獲得運動學特性參數，在ADAMs/Car中對懸架模型進行雙側車輪同向跳動試驗，跳動量設置為±對懸架模型，正號表示上跳，負號表示下跳。以此獲得各參數在跳動試驗中的結果，如圖2所示。

圖2 各參數在跳動試驗中的結果

為優化麥弗遜懸架的運動學性能，需要使以上參數在車輪跳動試驗中變化最小，并約束車輪外傾角、主銷后傾角和主銷內傾角變化量分別不超過2°、2°和3°，約束前束角不小于-0.5°。該優化問題是一個多目標不等式約束優化問題，一般可通過多目標遺傳算法求解[6]。為簡化操作，通過設置權值將多目標優化問題轉換為單目標優化問題。選擇車輪外傾角、主銷后傾角以及主銷內傾角的變化量作為優化目標，通過給定權值轉換為單目標優化問題。目標函數可表達為式（1）。

式中：u為包括設計變量的向量；lb和ub是設計變量的上下限；f1(u)、f2(u)、f3(u)、f4(u)為試驗中的外傾角、主銷后傾角、主銷內傾角和前束角的取值，對應車輪外傾角、主銷后傾角、主銷內傾角的變化量；c4(u)為前束的最小值；α1、α2、α3為優化目標的權值，此處均選為1。

1.3 設計變量選擇

為挑選出對優化目標影響較大的設計變量，對懸架模型的設計參數進行靈敏度分析，把靈敏度高的參數確定為設計變量。首先在ADAMs/Insight模塊中以拉丁超立方設計（Latin Hypercube Design，LHD）的采樣優化方法進行試驗設計，選擇出可能有影響的30個硬點參數，設置每個因子的變化量在-10～10 mm，進行32次迭代后取靈敏度最大的6個設計變量，分別為：下控制臂外側硬點x坐標（lca_outer.x）、下控制臂外側硬點y坐標（lca_outer.y）、下控制臂外側硬點z坐標（lca_outer.z）、阻尼器上端硬點y坐標（top_mount.y）、阻尼器上端硬點z坐標（top_mount.z）、下控制臂內前側硬點y坐標（lca_front.y），硬點位置詳見圖1標注。將所選6個設計變量分別命名為u1、u2、u3、u4、u5、u6，給定6個設計變量的設計空間為±30 mm，即可得：

2 稀疏響應面模型

2.1 稀疏響應面構建方法

2.1.1 稀疏響應面數學模型

稀疏響應面以多項式響應面為基礎，可表示為線性模型：

或矩陣形式：

式中：x= [x1, …,xm]是一個設計采樣點，m是響應面變量個數；{?i(x)}i=1,2,…,p是構成響應面的基函數，又稱原子，p是原子個數；φθ是基函數集合，又稱字典；是對應原子的系數；φθ是系數向量。選擇一組Legendre多項式作為基函數，由于Legendre多項式結構簡單易于構造，更重要的是在定義區間[-1,1]上關于l2范數正交，且該正交性的優點在由單變量擴展至多變量時能保留，所以Legendre多項式函數表達式通過循環定義獲得：

設

則

多變量響應面的基函數由單變量Legendre多項式的張量積構成。定義?i(x)為：

jjjjj

字典原子的個數需要權衡字典表達能力和求解的穩定性。字典的規模過小，不足以表達采樣點所體現的模型特征和函數關系。相反，字典規模過大，系數求解方程會變成嚴重的欠定問題，求解穩定性變差。GRIBONVAL等[7]指出采樣點個數n應至少是原子個數p的15%。在本模型中，取p= 6n。為避免過擬合并減少運算量，在選擇Legendre多項式函數構造原子時優先選擇低階次的函數，即從0階多項式往后選取。選擇多變量模型的原子構造時亦遵循該準則，控制總階次盡量小。

響應面采樣位置的確定由LHD[8]獲得。LHD采樣將設計空間均勻劃分成采樣數量n個子區間，在每個子區間隨機選取一個采樣點，體現為均勻隨機性。均勻性可保證采樣到源模型的全局特征，隨機性可以降低字典中原子的相關性，有利于分辨表達不同特征的原子。

可得到稀疏響應面模型為：

式中：s為稀疏響應面模型的稀疏度要求。

2.1.2 稀疏響應面模型求解

源模型在多項式基上的稀疏度是未知的，為構建稀疏的響應面模型，通過求解下式來獲得基函數的系數：

由于?0范數問題是非凸的NP難問題，采用松弛方法，將其松弛到?1范數：

式（8）是可求解的凸優化問題，寫成其拉格朗日乘子形式：

式（9）是最小絕對值收斂和選擇算子、套索算法 （Least Absolute shrinkage and selection Operator，LAssO）回歸模型。LAssO回歸具有原子選擇和系數收縮功能。變量選擇可以生成稀疏的響應面模型，系數收縮通過犧牲模型訓練精度提高了預測能力。LAssO提供稀疏模型的能力已經在統計學領域被證明。LAssO模型可以采用最小角回歸[9]（Least Angle Regression，LAR）方法求解，并可借助Matlab的工具箱得到。稀疏響應面的構建流程見表2。

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2.2 懸架運動學特性響應面

由式（1）可知，麥弗遜獨立懸架的運動學特性優化是帶有非線性約束的優化問題。采用稀疏響應面構建方法分別構建4個約束響應面由式（1）可知，目標函數由c1，c2，c3相加，所以不需要單獨構建目標響應面，取對應的3個約束響應面的響應值的和即可。

表2 稀疏響應面構建流程

利用ADAMs/Insight模塊在設計空間[lb,ub]內通過LHD生成60個采樣點，進行雙側車輪同向跳動試驗，輸出7個目標值，即外傾角最大值，式（1）中maxf1(u)；外傾角最小值 ，式（1）中minf1(u)；主銷后傾角最大值，式（1）中maxf2(u)；主銷后傾角最小值，式（1）中minf2(u)；主銷內傾角最大值，式（1）中maxf3(u)；主銷內傾角最小值，式（1）中minf3(u)；前束角最小值，式（1）中minf4(u)，就可得到約束響應面的響應值。利用60個采樣點的位置和對應的響應值，通過2.1節介紹的方法，可構建出約束響應面。

3 懸架運動學特性優化

3.1 優化方法

多變量非線性不等式約束優化問題通常可用內點法[10]、序列二次規劃、信賴域法[11]、遺傳算法[12]等方法求解。序列二次規劃方法在處理中小規模問題時計算速度快、精度高，并可通過Matlab工具箱調用該模塊工作。因此，本文選擇序列二次規劃方法對麥弗遜懸架運動學參數響應面進行優化。

整理式（1）的序列二次規劃參數，見表3。

表3 麥弗遜懸架優化參數表

3.2 對比方法

為驗證和比較所提出的稀疏響應面方法，選擇了工程上常用的Kriging模型構建相同的約束響應面和目標響應面。

Kriging模型選擇常數基函數和高斯關聯模型，關聯參數的初始值為θ0=1m×1，邊界值為(i=1,… ,m)，其中m是變量個數，而1m×1表示元素全為1的向量。為使對比條件一致，構建約束Kriging模型和目標Kriging模型所用的采樣點和稀疏響應面一致，所采用的優化也是通過調用Matlab軟件的序列二次規劃算法工具箱實現。

3.3 優化結果及分析

調用Matlab工具箱進行優化，分別將稀疏響應面模型和Kriging模型的最優解代入ADAMs/Car中進行仿真試驗，得到優化前后各目標變量數值對比，見表4。

表4 目標變量優化前后數值對照表

由表4可知，基于稀疏響應面方法和Kriging模型優化出的結果均較優化前有明顯提高。優化目標值由原來的5.917°分別降至3.158°（減少46.6%）和3.719 4°（減少37.1%），稀疏響應面方法優化的結果比Kriging模型優化的結果高了9.5個百分點。值得注意的是，基于稀疏響應面方法的優化結果各定位參數變換值均滿足約束的要求，而基于Kriging模型優化的結果中主銷后傾角的變化值為2.068 4°，超出了2°的約束，這是約束Kriging模型的精度不夠導致的，而精度不夠的原因主要是因為采樣點過少。

該懸架原始參數和基于稀疏響應面優化后的參數在ADAMs/Car中仿真試驗的對比曲線，如圖3所示。

圖3 各目標變量優化前后曲線對比

由表4可知，優化后的4個定位參數包括車輪外傾角、主銷后傾角、主銷內傾角以及車輪前束角的變化量都有明顯減小。由圖3可知，車輪外傾角、主銷內傾角和車輪前束角的優化更加突出，特別是前束角的變化量，雖然沒有被列為優化目標函數，但在優化過程中其值也有明顯改善。

4 結論

本文提出了一種基于稀疏響應面和序列二次規劃算法的麥弗遜懸架運動學性能優化方法。通過一組僅60個非自適應采樣點，構建了4個6維的約束稀疏響應面和1個目標稀疏響應面。通過序列二次規劃算法，基于所構建的稀疏響應面，對懸架進行了含非線性約束的優化。優化結果表明，目標函數值由5.917°優化至3.158°，減少了46.6%，且滿足所有的約束要求。將所提出的稀疏響應面方法和工程上常用的Kriging模型方法進行了對比，基于Kriging模型的優化結果中，目標函數的函數值由5.917°優化至3. 7194°，僅減少37.1%，且主銷后傾角不滿足約束要求。由結果對比可知，本文所提出的方法較常用的Kriging模型優化法具有更高的精度，能夠很好地解決工程中的非線性約束多目標優化問題。