一種零耦合度三平移并聯機構的設計及運動學

沈惠平 吳成琦 許 可 趙迎春 楊廷力

常州大學現代機構學研究中心，常州，213016

0 引言

三自由度的三平移(3T)并聯機構因結構簡單、控制不復雜而有較高實用價值[1]，很多學者對3T并聯機構及其操作手進行了研究分析。VISCHER等[2]設計了三維平移Delta機構；還有一些學者研究了基于Delta機構的衍生機構——操作手[3-5]；TSAI等[6]提出一種由移動副驅動、支鏈含4R平行四邊形機構的三自由度移動機構；李仕華等[7-8]設計出3-UPU型三平移機構，并對該機構的瞬時運動學性能進行了分析；趙鐵石等[9]、尹小琴等[10]給出了3-RRC型三平移機構的位置正反解方程；ZHAO[11]考慮運動學的各向異性，對一種3T并聯機構進行了尺度綜合及運動學研究；ZENG等[12-13]、LEE等[14]對一種三平移Tri-pyramid并聯機構位置方程的正反解、雅可比矩陣、各向同性等運動學特性進行了分析；BHUTANI等[15]通過對3-UPU型機構的數學模型和設計要素進行分析，提出了一種新的設計方案；LI[16]等研究了運動解耦的3T機構。

但是，上述三平移機構存在兩大問題：①機構耦合度κ不為零，即κ≥1，因此，一般得不到位置正解的解析解，而只能得到數值解；②不具有輸入-輸出運動解耦特性[17]，運動控制及軌跡規劃等較為復雜，給應用帶來了不便。

根據基于方位特征(position and orientation characteristic，POC)方程的并聯機構拓撲結構設計理論和方法[18]，筆者設計出一種新的3T并聯機構。該機構耦合度為零，可得其位置正解的解析解；同時，該機構具有部分運動解耦，機構的運動控制及軌跡規劃較容易。此外，本文還對該機構的奇異位形、工作空間，以及動平臺質心的速度、加速度的變化規律進行了分析。

1 并聯機構的設計

如圖1所示，本文提出的3T并聯機構由動平臺1、靜平臺0和2條混合單開鏈(hybrid single opened chain，HSOC)組成。

圖1 3T并聯機構Fig.1 3T Parallel Mechanism

2 拓撲特性分析

2.1 機構的POC分析

串聯、并聯機構的POC方程[18]分別為

(1)

(2)

式中，MJi為第i個運動副的POC集；Mbi為第i個支鏈末端的POC集；MPa為機構動平臺的POC集。

機構的POC集分析過程如下：

(1)設定機構的兩條復雜支鏈的拓撲結構分別為HSOC1{R11(-P4S-P4S-R4S-R4S)⊥(R23‖R22‖R21-)R12‖R13}和HSOC2{R31(P4S)‖R32‖R33}。

(2)選定動平臺上任意一點為基點O′。

(3)確定兩混合支鏈末端構件的POC集：

(4)確定動平臺的POC集：

可知，該并聯機構動平臺一直產生純三維移動。

2.2 機構的自由度計算

并聯機構的全周自由度公式[18]為

(3)

(4)

2.2.1確定獨立位移方程數

該機構可分解為2個獨立回路，它們的獨立位移方程數計算如下：

MPa(1-2)=MⅠ∩MⅡ=

由式(3)可得該子并聯機構的自由度：

由式(4)可得該子并聯機構的獨立位移方程數：

可見，子并聯機構的輸出桿3′在XOZ平面內產生兩維平移運動，且僅由靜平臺0上的驅動副R11、R21決定，因此，該機構具有部分運動解耦性。

2.2.2確定機構的自由度

由式(3)可得機構自由度：

計算機構的自由度時，可將該機構視為僅由2條復雜支鏈組成的一個獨立回路SOC{P*-P*-R12-R13-R33-P4R-R32-R31}，則由式(4)得其獨立位移方程數：

由式(3)可得F=8-5=3。顯然，自由度計算時將含回路的子并聯機構用等效支鏈代替，計算過程比較清晰。

2.3 機構的耦合度計算

2.3.1耦合度的定義

由基于序單開鏈(single opened chain, SOC)單元的機構組成原理知，任意機構可分解為若干個基本運動鏈(basic kinematics chain，BKC)；獨立回路數為v的BKC可進一步分解為v個SOC(Δj)(j=1,2,…,v)，第j個單開鏈SOCj的約束度Δj定義為

(5)

式中，mj為第j個SOCj的運動副數；fi為第i個運動副的自由度；Ij為第j個SOCj的驅動副數。

而其耦合度為

(6)

耦合度κ反映了機構各獨立回路運動變量之間的關聯和依賴程度，反映了機構運動學、動力學問題求解的復雜性，κ越大，機構運動學、動力學問題求解的復雜度越高；對于κ=0的機構，可以直接求出每個BKC的位置，從而得到位置正向解析解；κ>0意味著機構中至少有一個BKC的回路運動位置量需由多個回路方程聯立求解，才能求得其位置正解。

2.3.2耦合度計算

獨立回路HSOC1、HSOC2的獨立位移方程數ζL1=6，ζL2=5，因此，約束度為

Δ1=∑fi-I1-ζL1=(5+3)-2-6=0

Δ2=∑fi-I2-ζL2=6-1-5=0

該3T并聯機構包含2個耦合度均為0的BKC，即κ1=κ2=0，因此，該機構的位置正解易由BKC1、BKC2直接求得解析解。

3 位置分析

3.1 結構參數標注及坐標系的建立

為理解方便，將圖1所示機構展開為平面形式，如圖2所示，靜平臺0、動平臺1均為正方形，邊長分別為2l1、2l2；靜平臺0上的3個轉動副R11、R21和R31分布在各邊的中點。

圖2 3T并聯機構的展開俯視圖 Fig.2 Top view of 3T parallel mechanism

不失一般性，靜坐標系OXYZ建立在靜平臺0的幾何中心，且X軸垂直于R31的軸線，Y軸垂直于R11的軸線；動坐標系puvw位于動平臺1的中心，u軸、v軸分別垂直平行于R33的軸線，z、w軸由右手法則確定。該3T并聯機構的運動學建模如圖3所示。

圖3 3T并聯機構的運動建模Fig.3 Kinematic Modeling of 3T Parallel Mechanisms

設AiBi=l3，BiCi=l4(i=1，2，3)，其中，l3l3；兩平行四邊形的短邊長均為2l5，且點B1、B3、C1、C3均為短邊上的中點，C2D2=l5，C1D1=C3D3=E1F1=l6，D1E1=l7。

設A1B1與Y軸正向夾角為θ1；A2B2、A3B3與X軸正向夾角為θ2、θ3；D1E1與X軸正向夾角為β。

3.2 位置正解分析

機構位置正解求解過程可歸結為：已知輸入角θ1、θ2、θ3，求動平臺1上的中心點p點坐標。

3.2.1 BKC1的位置求解

易知，靜平臺上點Ai、Bi的坐標分別為A1=(0,l1, 0)，A2=(-l1, 0, 0)，A3=(l1, 0, 0)，B1=(0,l1+l3cosθ1,l3sinθ1)，B2=(-l1+l3cosθ2, 0,l3sinθ2)，B3=(l1+l3cosθ3, 0,l3sinθ3)。

由2.2節可知，機構運動過程中，子并聯機構的構件3′的輸出運動始終為XOZ平面內的兩維平移，因此，yC1=yC2=0。

由桿長約束B1C1=B2C2=l4，得位置方程：

(7)

將式(7)中的兩式相減，得

a1xC1+b1zC1=c1

(8)

a1=2(xB2+2l5)b1=2(zB2-zB1)

(9)

a1≠0時，有

(10)

3.2.2 BKC2的位置求解

易求得點D1、E1、F1、D3、C3的坐標分別為D1=(xC1,0,zC1+l6)，E1=(xD1+l7cosβ,l7sinβ,zD1)，F1=(xD1+l7cosβ,l7sinβ,zD1+l6)，D3=(xD1+l7cosβ+2l2,l7sinβ,zD1+l6)，C3=(xD3,yD3,zD3-l6)。由桿長約束B3C3=l4，建立位置方程：

(11)

對(11)進行展開、整理，得

a2cosβ=b2

(12)

a2=2l7(xD1-xB3+2l2)

由式(12)求得β后，即可由點D3、F1求得動平臺上p點的坐標分量：

(13)

3.3 位置逆解分析

機構位置逆解求解為：已知動平臺1上的中心點p點坐標，求輸入角θ1、θ2、θ3。

3.3.1求輸入角θ1、θ2

根據點D1、E1、F1的坐標F1=(x-l2,y,z)，E1=(x-l2,y,z-l6)，D1=(xD1,0,z-l6)，由桿長約束D1E1=l7，可求得

C1=(xD1,0,zD1-l6)

C2=(xD1-2l5,0,zD1-l6)

再由桿長約束B1C1=B2C2=l4可得

(14)

進一步整理得

(15)

I=1,2z1=zC1z2=zC2

3.3.2求輸入角θ3

同理，通過桿長約束B3C3=l4可得D3=(x+l2,y,z)，C3=(x+l2,y,z-l6)。由桿長約束B3C3=l4，建立位置方程：

(16)

展開并整理式(16)得

(17)

z3=zC3

3.4 實例驗算

參考ABB機器人14R的尺寸參數，取該機構結構參數如下：l1=300 mm，l2=70 mm，l3=350 mm，l4=l8=800 mm，l5=100 mm，l6=10 mm，l7=50 mm。給定一組主動輸入角：θ1=61.87°，θ2=135.05°，θ3=45.67°。

由式(13)，得動平臺1上p點的兩個位置(單位mm,下同)：(59.30，26.34，969.42)和(59.30，-26.34，969.42)。取坐標(59.30，26.34，969.42)，該坐標對應的機構三維構型如圖4所示。

圖4 第一組坐標對應的機構構型Fig.4 The configuration of the first set of coordinate

取p點坐標為(59.30，-26.34，969.42)，將其代入式(15)～式(17)，得到3個輸入角的8組逆解；其中的1組逆解為θ1=61.87°，θ2=135.05°，θ3=45.67°，這與正解中給定的3個已知輸入角一致，因此，正反解求解正確。其余7組解都為機構位置反解的理論值，對應的機構裝配構型不具有較好的實用價值，有機構穩定性較差、構件與靜平臺易干涉等問題。

4 工作空間分析

工作空間是衡量并聯機構性能的重要指標之一。本文采用極限邊界搜索算法搜索該機構的工作空間[19]。首先，根據桿長來設定工作空間的搜索范圍；然后，基于位置逆解，搜索所有滿足桿長約束、轉角約束、干涉約束的點，由這些點組成的三維圖即為該并聯機構的工作空間。

設定搜索范圍為：400 mm≤z≤1 200 mm，-π≤θ≤π，0≤ρ≤1 000 mm，(θ、ρ分別為柱坐標系中的搜索角度和半徑)。利用MATLAB得到該機構的工作空間及其各X-Y截面，如圖5、圖6所示。由圖5、圖6可知：①該并聯機構的工作空間較大，z∈[400 mm, 500 mm]時，工作空間不連續，有空腔；z∈[500 mm, 900 mm]時，工作空間連續，為有效的操作工作空間。②該并聯機構的工作空間關于x軸大致對稱。

圖5 工作空間的三維立體圖Fig.5 Three-dimensional view of workspace

圖6 X-Y截面圖Fig.6 X-Y cross-section

5 奇異位形分析

5.1 奇異位形概述

在奇異位置時，機構處于死點狀態，不能繼續運動或失去穩定，還會出現受力狀態變壞，損壞機構，影響機構的正常工作。因此，識別機構的奇異位形，是并聯機構設計與分析的重要內容之一，本文采用Jacobian代數法來分析該機構的奇異位形。

5.2 奇異位形分析方法

JpV=Jqω

(18)

f11=xB1-xC1f13=zB1-zC1

f21=xB2-xC2f23=zB2-zC2

f31=xB3-xC3f32=yB3-yC3f33=zB3-zC3

u11=(zB1-zC1)l3cosθ1-(yB1-yC1)l3sinθ1

u22=(zB2-zC2)l3cosθ2-(xB2-xC2)l3sinθ2

u33=(zB3-zC3)l3cosθ3-(xB3-xC3)l3sinθ3

5.2.1第一類奇異

detJq=0時，發生第一類奇異。這意味著每個分支中靠近機架的2根桿折疊在一起或完全展開。在此位形下，動平臺的自由度數減小。因此，可得Jq的行列式的集合

M=M1∪M2∪M3

(19)

即Jq=diag(u11，u22，u33)中的u11或u22或u33為0對應有以下三種情形：①A1、B1、C1三點在OYZ平面上的投影共線時，M1={(zB1-zC1)l3·cosθ1-(yB1-yC1)l3sinθ1=0}；②A2、B2、C2三點在OXZ平面上的投影共線時，M2={(zB2-zC2)l3cosθ2-(xB2-xC2)l3sinθ2=0}；③A3、B3、C3三點在OXZ平面上的投影共線時，M3={(zB3-zC3)l3cosθ3-(xB3-xC3)l3sinθ3=0}，其中，M3對應的三維模型如圖7所示。

圖7 第一類奇異位型Fig.7 Singularity of type 1

5.2.2第二類奇異

detJp=0時，發生第二類奇異。這意味著所有主動構件鎖住時，執行構件依然可以產生局部運動。在此位形下，動平臺的自由度數增大。因此，可將矩陣Jp看作3個行向量的組合即Jp=[e1e2e3]T，若detJp=0，則3個向量存在下面兩種情況：

圖8 第二類奇異位形Fig.8 Singularity of type 2

(2)3個向量線性相關。若e1=k1e2+k2e3，可得

f1I=k1f2I+k2f3II=1，2，3

I=3時，k1f23+k2f33=k1(zB2-zC2)+k2(zB3-zC3)≠f13，可知3個向量線性相關不成立。

(3)第三類奇異。第三類奇異也被稱為組合型奇異，其條件為detJq= detJp=0，這意味著只有當第一類奇異和第二類奇異同時發生時才能產生，在此位形下，動平臺將失去原有的運動特性。

因此，取u11=0，u22=0或u33=0代入第二類奇異分析，得detJp不為0，可知第二類奇異不成立。由于第一類奇異和第二類奇異不能同時發生，故該機構不存在第三類奇異。

6 速度與加速度分析

6.1 速度分析

機構非奇異時，Jp可逆，由式(18)得動平臺原點的輸出速度：

(20)

6.2 加速度分析

進一步，對式 (18)求導，易有

(21)

當機構在非奇異位置時，Jp可逆，則動平臺原點的加速度為

(22)

6.3 算例驗證

取輸入角θ1=θ3=15°cost，θ2=-15°cost。由式(20)～式(22)，用軟件MATLAB計算得機構動平臺1的速度、加速度，如表1、表2所示。

表1 動平臺的速度

表2 動平臺的加速度

同時，建立該機構的三維模型，并用SolidWorks導入到軟件Adams中，仿真得到動平臺的速度與加速度曲線，如圖9、圖10所示。

圖9 動平臺的速度仿真曲線Fig.9 Velocity simulation curve of moving platform

圖10 動平臺的加速度仿真曲線Fig.10 Acceleration simulation curve of moving platform

通過分別對比表1、表2和圖9、圖10發現：①基于MATLAB公式的計算值與Adams仿真曲線值完全一致。由表2、圖10可知，t=4s時，動平臺1的加速度相等，ax=-5.850 mm/s2，ay=-8.868 mm/s2，az=-2.036 mm/s2，從而驗證了速度與加速度公式的正確性；②由圖9、圖10可知，該機構速度與加速度曲線變化平穩，具有較好的動力學性能。

7 結論

(1)設計出一種耦合度為零且運動解耦的非對稱三平移并聯機構，得到了該機構的位置正解及反解求解解析式。

(2)基于位置反解的機構工作空間分析表明，機構工作空間較大且對稱，并給出了3種奇異位形發生的條件。

(3)機構的速度與加速度分析表明，該機構具有較好的動力學性能。