數形結合思想在三角函數問題中的應用研究

龐曾惠

【摘 要】數形結合思想最根本的內涵就在于緊密結合圖形與相關數據，進而給出直觀性較強的數學解題思路。在目前看來，對于三角函數領域的較多問題都能夠借助數形結合的方式予以解答。與僵化的三角函數題目分析進行對比，運用數形結合更加有助迅速深入此類數學問題的根本，并且縮短了解答此類問題消耗的時間。由此可見，關于解答三角函數問題有必要緊密結合數據圖形，據此達到活化解題思路的目標。

【關鍵詞】數形結合思想；三角函數問題；具體應用

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）03-0036-01

三角函數問題構成了數學學科的關鍵問題，然而與之有關的解題思路也表現為繁瑣性與復雜性。與此同時，三角函數問題涵蓋了與之有關的很多數學公式與數學定理，以至于顯著增大了解答此類數學題的難度[1]。因此為達到簡化三角函數問題的宗旨與目的，則有必要將數形結合的思路巧妙滲透于其中。通過靈活引進數形結合的數學思維，就可以創建直觀化的三角函數解題模式，避免陷入此類問題的分析誤區中。

一、數形結合思想的基本內涵

數形結合的核心與宗旨在于結合數學圖形與相關的數字信息，從而達到了直觀剖析某些數學難題的目標。因此與僵化的數學分析思路予以對比，可以得知運用數形結合手段體現為獨特的數學分析優勢。這主要是因為，各類數學問題通常都要建立于相應的數學圖形之上[2]。反之如果脫離了數學圖形作為直觀分析的支撐，那么整個數學問題就會陷入僵化的分析中。由此可見，數形結合思想本身具備不可忽視的靈活性與實效性特征，關于此類數學思想應當著眼于靈活加以利用。

具體在實踐中，關于數形結合思維應當致力于綜合性的數學解題運用。例如針對三角函數的有關數學問題來講，此類數學問題通常呈現較大的數學分析難度。究其根源，就在于三角函數領域牽涉較多的公式與定理，因此表現為顯著的綜合性[3]。但是如果能將目前面對的三角函數問題加以靈活轉變，并且借助數學圖形作為必要的輔助，那么將會達到顯著簡化分析流程的效果，并且有助迅速深入此類問題的根源。因此，三角函數問題以及數形結合思想應當能夠緊密銜接，如此才能構建更為直觀的數學學科思維。

二、關于三角函數問題全面運用數形結合思路的要點

從本質上講，各類數量關系都可以被轉變成相應的數學圖形。與此同時，數學圖形本身也蘊含了直觀性的數量關系。在此基礎上，數學圖形以及數量關系二者具有密不可分的內在聯系，在解答或者分析各類數學題時也要秉持數形結合的宗旨與思路。通常來講，各種數量關系都蘊含了特定的幾何意義，針對上述數量關系就要將其納入圖形分析的視角下予以觀察，并且探尋相應的數學分析思路。因此在實踐中，對于三角函數問題有必要關注如下的數形結合要點：

1.確保數量關系與圖形之間能夠實現靈活轉化。

通常來講，關于數形結合有必要將其分成由數量轉化至圖形以及由圖形轉化至數量關系的兩種分析思路。在上述的兩類思路中，由圖形轉變成數字的思路重點針對于既定的幾何圖形，針對該圖形予以詳細觀察，并且針對其中隱藏的某些數量關系予以精確的揭示[4]。因此可見，上述數學思路可以用于剖析內在的幾何圖形基本屬性。與之相比，由數量關系轉變成數學圖形的分析思路則側重于自主繪制圖形，從而借助數學圖形來呈現并且描述抽象性的某種數量關系，并且針對數學公式的本質予以全面揭示。在實踐過程中，關于上述兩類轉化思路都要著眼于靈活運用，確保達到靈活性較強的數學分析思維。

例如：已知函數f（x）=tanx，x∈（0，π2），若x 1，x 2∈（0，π2）且x 1≠x 2，判斷12[f（x 1）+f（x 2）]與f（x 1+x 22）的大小關系。

解析：在直角坐標系中作出函數f（x）=tanx，x∈（0，π2）的圖象如圖示：

在圖中，f（x 1+x 22）表示線段A 1B 1的中點處C 1的函數值，即圖中C 1D的數量，12[f（x 1）+f（x 2）]表示梯形AA 1B 1B的中位線C 1C的數量，原問題轉化為有向線段C 1D與C 1C數量的大小關系。由圖像可明顯看出，點C的縱坐標比點D的縱坐標要大，所以12[f（x 1）+f（x 2）]>f（x 1+x 22）。

2.在求函數最值時運用數形結合手段。

求最值問題構成了三角函數領域中的典型難題。在多數情形下，針對三角函數都會已知某個區域內的函數式，然后要求求出該區域內的三角函數最值。因此可見，上述求值域的做法類似于定義特殊的三角函數，因此應當緊密結合特定的函數圖像來予以解答。在數形結合手段的輔助下，應當能描述精確的三角函數關系，從而簡化了尋求函數最值的綜合難度。

例如：如果x∈[-π4，π4]，那么函數y=cos2x+sinx的最小值是多少？

解析：y=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1

此類求三角函數最值的題目對學生來說是一個較難的題型，也是一個比較陌生的問題，如果僅限于抽象判斷，則無法迅速求出上述的最小函數值，如果把數和形結合起來，畫出相應的圖像，從幾何的直觀性入手，則可立刻看出結論。

令t=sinx 因為x∈[-π4，π4] 所以-22≤sinx≤22

則y=-t2+t+1=-（t-12）2+54 （-22≤t≤22） 圖像為圖中實線部分。

所以當t=-22即x=-π4時，f（x）有最小值，

且最小值為y min=-（-22-12）2+54=1-22。

3.簡化三角函數的分析難度。

三角函數不僅構成了數學領域中的要點，并且還具有相對較大的數學分析難度。因此為了簡化分析難度，那么通常就要將函數圖像作為直觀觀察的憑借。只有運用直觀性的圖像觀察方法，才能迅速深入該函數問題的本質所在，而不至于在此過程中耗費過多的數學分析時間。因此在實踐中，如果遇到復雜程度較高的三角函數難題，那么不應局限于單純的題干解析，而是要將其靈活轉變成有關的三角函數圖，并且善于借助幾何圖像來呈現數量關系。

例如：計算sin20°-sin40°cos20°-cos40°的值。

解析：對于給出的式子若要予以直接計算，則會涉及較大的計算量，并且運算流程也是相對繁瑣的。但如果仔細觀察這個式子則不能發現，這個形式和計算直線斜率的公式很像。所以，我們可以把它當做計算經過點A（cos40°，sin40°）和點B（cos20°，sin20°）的直線的斜率。利用數形結合，進而巧妙地進行解答。解題圖示：

在單位圓中，∠BOM=∠BOA=20°，且OA=OB=1，所以∠OAM=80°，于是，∠OMA=60°，即直線AB的傾斜角為120°，其斜率為tan120°=-3

即sin20°-sin40°cos20°-cos40°=-3

結束語

經過上述分析可見，關于三角函數領域的各類問題解答都不能欠缺數形結合的思路作為支撐。三角函數問題一般來講都會包含相應的函數圖像，通過觀察此類圖像來剖析三角函數題的實質，然后獲取正確的函數分析思路。因此在實踐中，關于解答三角函數類的典型問題仍然需要歸納運用數形結合思路的經驗，據此達到深入剖析三角函數類數學問題的目的，塑造直觀性的數學分析思維。

參考文獻

[1]朱萍.淺談數形結合思想在“三角函數圖像”教學中的應用[J].數學學習與研究，2017（21）：116.

[2]馬賦.數形結合思想在三角函數教學中的應用[J].甘肅教育，2017（20）：104.

[3]彭松芝.數形結合的思想在解三角函數中的應用[J].數學學習與研究，2013（19）：95.

[4]李海平.數形結合思想在解決函數問題中的應用[J].高中數學教與學，2013（12）：40-41.

[5]王秀艷.數形結合思想在二次函數問題中的應用[J].中學數學，2012（10）：17-18.