拓展思路，簡化解法

張曼竹

【摘 要】圓錐曲線綜合題是高考綜合題的命題熱點，常規方法解題一般都會伴隨著復雜的推理和運算。如何拓展思路，簡化過程，提高解題速度和準確率是擺在廣大師生面前的一個難題。本文通過一些例題，簡單地說明如何簡化圓錐曲線綜合題的求解過程。從而提高學生綜合分析問題，解決問題，以及靈活運用知識等能力。

【關鍵詞】圓錐曲線；綜合題；簡化；方法

【中圖分類號】G610 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）05-0262-02

圓錐曲線是高考綜合題的命題熱點，是獲得高分的關鍵。圓錐曲線的綜合問題，一般都是用函數與方程的思想來解題，還多涉及到不等式、三角函數、平面幾何、參數方程等多種知識的相互滲透。在教學中，通過解決圓錐曲線綜合問題，可以提高學生綜合分析問題，解決問題的能力，也有助于學生思維能力的提高。然而，圓錐曲線綜合問題綜合性強，運算量大，代數推理要求高，如果不根據具體問題的特點，合理解題，將帶來比較復雜的推理和運算。我們應該在掌握常規方法的基礎上，不斷探索，優化知識組合，拓展思路，簡化解題過程，減少運算量，提高解題速度和準確率。

那么，怎樣才能做到合理簡化，突破難點呢？一般來說，可以采用以下幾種方法：定義法、輔助圓法、點差法、參數法等；下面通過一些實例，簡單說明如何簡化圓錐曲線綜合問題的解題過程。

一、定義法——利用圓錐曲線的定義及其特征量

圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質特征，圓錐曲線的特征量都有明確的幾何意義，它們之間存在在一些基本關系，如橢圓中的a，b，c，e中a2=b2+c2，e=ca等；這些特征量也是曲線區別于另一種曲線的標志。用定義和特征量解題是一種重要的基本方法，如在解決圓錐曲線上的點與焦點連線（焦半徑）的問題，或題目中出現“離心率”、“焦點”、“準線”這樣的條件時，及時地返回定義，分析特征量的關系，往往會收到事半功倍之效果。如：

例一、設F1，F2是雙曲線x2-y2=4的兩焦點，Q是雙曲線上任意一點，從F1引角F1QF2的平分線的垂線，

垂足為M，求點M的軌跡方程。

這個問題是軌跡問題，一般的思路是：從角平分線以及垂直關系入手，采用直接法或交軌跡法來求出軌跡方程；但這樣做會有大量的計算。如果從定義入手，結合平面幾何的一些性質，完全可以很快解決問題。

如圖，延長F1M交QF2（或延長線）于K，由MQ平分∠F1QF2，且MQ垂直F1M，可得|OF1|=|QK|，|F1M|=|MK|；O是F1F2的中點，OM是△F1F2K的中位線，|OM|=12|F2K|，而|F2K|=||QK|-|QF2||=||QF1|-|QF2||，由雙曲線的定義||QF1|-|QF2||=2a，本題中a=2，所以|OM|=12|F2K|=a=2，即點M到點O的距離為定值2，其軌跡是圓，方程為x2+y2=4。

二、輔助圓法——利用圓的幾何性質和圓錐曲線的對稱性

圓與其他圓錐曲線相關的兩個重要性質是：（1）圓上任意一點到圓心的距離等于半徑，因此，若問題中涉及到定點、定長等相關條件，可構造輔助圓；（2）直徑所對的圓周角是直角，當碰到一些關于圓錐曲線上的距離或垂直（直角）的問題時，可以構造輔助圓，借助圓的性質來解決問題。如：

例二、對于拋物線y2=4x上任意一點Q，點P（a， 0） 都滿足PQ ≥ a， 則a的取值范圍是

構造一個以點P（a， 0）為圓心， a為半徑的圓， 其方程為（x-a）2+y2=a2設點Q的坐標為（x0，y0） ， 因為PQ ≥ a，所以點Q在圓上或圓外， 則有（x0-a）2+y02≥a20，聯立消去x0可得a≤y208+2，而（y208+2）min =2故a≤2

例三、橢圓x29+y24=1的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點， 當∠F1PF2為鈍角時， 點P橫坐標的取值范圍是

由已知得c=5，以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=5， 因為∠F1PF2為鈍角， 所以點P （x0， y0） 在圓x2+y2=5，內，故x20+y20<5，聯立橢圓方程消去y0解得-355

例四、已知點A、B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）短軸上的兩個頂點，在橢圓上所有的點到點A的距離中，|AB|是最大的，求橢圓的離心率e的取值范圍。

這個問題無論是用函數的方法還是用三角的方法來解決都是比較繁瑣的。解題的關鍵要從“|AB|是最大的”入手，也就是橢圓中其它的點到點A的距離都比|AB|小，我們以點A為圓心，以|AB|為半徑作一個圓，則橢圓上除了點B之外，其它所有的點都在圓內，圓的方程是：x2+（y-b）2=4b2，也就是橢圓與圓有且只有一個公共點B；把圓的方程代入、化簡，得到關于y的一元二次方程：

（a2-b2）y2+2b3y+b2（3b3-a2）=0，即這個關于y的方程在區間[-b，b）上

有且只有一個實根y=-b；解方程，得到：y1=-b，y2=b（a2-3b2）a2-b2

，這時，只須y2≥b或y2≤-b，就可以使方程在區間[-b，b）上有唯一的根y=-b，由y2≥b無解；由y2≤-b，得到：b2≥12a2

，根據特征量的關系，可得：c2≤12a2，即可得橢圓的離心率e的取值范圍是（0，22。這個過程，看似復雜，其實比其它任何解法都簡單得多。

三、點差法——利用“設點作差”來構造圓錐曲線弦的中點和斜率的關系

研究直線與圓錐曲線的位置關系是解析幾何的重點內容，更是解析幾何的難點，對涉及直線和圓錐曲線相交的問題，一般的解法是：由直線方程與圓錐曲線方程組成二元二次方程組，通過消元后，利用一元二次方程的判別式，韋達定理等方法來解決問題。對于這一類問題，可利用“點差法”，通過尋找圓錐曲線弦的中點和斜率關系來解決問題是比較快捷的。

“點差法”的關鍵在“設點作差”，設直線與圓錐曲線相交于P（x1，y1）、Q（x1，y2）兩點；代入稱作圓錐曲線的方程再相減可得弦的中點和斜率的關系。例如，對橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）“設點作差”，則有k=-b2x0a2y0（（x0，y0）為PQ中點，下同）；對雙曲線x2a2-y2b2=1 “設點作差”，則有k=b2x0a2y0；對拋物線y2=2px “設點作差”則有k=py0，……等等。當問題出現“交點”、“中點”、“中垂線”、“對稱”這些條件時，運用“點差法”，往往可化繁為簡，化難為易。如：

例五、過拋物線y2=2px焦點F的一條直線與該拋物線交于P、Q兩點，線段PQ的中垂線MN交拋物線的對稱軸于點N。求證：|FN|=12|PQ|

這個題目有兩個重要條件：（1）拋物線的焦點；（2）線段的中垂線，所以可以從這兩個條件進行分析。

設P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），

由拋物線的定義可得：|PQ|=x1+x2+p=2x0+p，

把P（x1，y1）、Q（x2，y2）代入y2=2px，兩式相減，得到kpq=py0，

因為MN⊥PQ，所以kMN=-y0p，

中垂線MN的直線方程是yy0=-y0p（x-x0），拋物線的對稱軸是 x軸，令y=0，則x=x0+p，這是N點的橫坐標，|FN|=|x0+p-p2|=x0+p，而|PQ|=2x0+p，|FN|=12|PQ|，命題成立。

此外還有參數法，不過現行教材參數方程的內容為選做題部分，此方法不在此作詳細探討。

以上所提及的幾種方法，是解決圓錐曲線的綜合問題時，如何優化知識組合，拓展思路，簡化解法的一些基本方法。我們在教學實踐中要善于思考、歸納總結、摸清規律，從各種解決問題的方法中尋找出更快、更簡的方法，使學生擺脫繁雜運算，形成自己的思路，提高興趣，從而培養學生的運算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。