基于Gauss-Hermite逼近的非線性加權(quán)觀測融合無跡Kalman濾波器

李云 孫書利 郝鋼

濾波算法在定位、目標跟蹤、導(dǎo)航和故障診斷等方面發(fā)揮著重要作用[1?3].然而,單個傳感器難以滿足高精度、高容錯性等要求,因此,多傳感器融合估計技術(shù)應(yīng)運而生.在過去的幾十年里,線性系統(tǒng)的融合估計理論已經(jīng)有了一系列完整的理論基礎(chǔ)[3].目前常用的信息融合估計方法主要包括兩個基本的結(jié)構(gòu):集中式融合估計和分布式融合估計.集中式融合估計將所有傳感器信息進行增廣,并基于增廣的觀測設(shè)計融合狀態(tài)估計[4?5].該算法沒有信息丟失,當(dāng)所有傳感器沒有故障時,估計精度具有全局最優(yōu)性,可作為其他融合算法在精度上的衡量標準,也是現(xiàn)在多傳感器系統(tǒng)經(jīng)常采用的融合方式之一[6?7].然而,由于集中式融合算法計算量大,在傳感器數(shù)量較多的情況下,集中式融合算法會導(dǎo)致整個系統(tǒng)實時性差.特別是當(dāng)存在故障傳感器時可能導(dǎo)致濾波器發(fā)散.分布式融合算法是把各個局部狀態(tài)估計送入融合中心,根據(jù)一定的融合準則進行加權(quán)得到融合估計[3,8?9].分布式融合方式具有良好的魯棒性,計算量小且容錯性強,估計精度是局部最優(yōu)、全局次優(yōu)的.

加權(quán)觀測融合算法根據(jù)加權(quán)最小二乘準則,將集中式融合系統(tǒng)增廣的高維觀測進行壓縮處理,得到降維的觀測,基于降維觀測設(shè)計的濾波器可以明顯地減小計算負擔(dān).對于線性系統(tǒng),加權(quán)觀測融合算法在最小方差意義下和集中式融合算法具有數(shù)值等價性,因而具有重要的應(yīng)用價值[10].然而,絕大多數(shù)系統(tǒng)具有非線性特性,例如,大多數(shù)定位系統(tǒng)觀測方程是在球面坐標系下建立的,而估計和分析狀態(tài)時往往又是在笛卡爾坐標系下進行的,這使得觀測方程具有某種非線性特性[6?7].

近些年,基于貝葉斯估計框架和采樣逼近的非線性濾波算法得到了廣泛研究,例如無跡Kalman濾波器 (Unscented Kalman filer,UKF)[11?12]、容積濾波器 (Cubature Kalman filer,CKF)[13?14]、粒子濾波器(Particle filter,PF)[15],以及其他一些非線性濾波器[16].這些非線性濾波器都可以統(tǒng)一處理非線性濾波問題,但各具優(yōu)缺點.UKF與CKF具有相同的濾波精度,區(qū)別在于粒子權(quán)值的計算上存在差異.PF在有充足粒子條件下具有較高的濾波精度,精度普遍要高于UKF與CKF,但是較大的計算負擔(dān)成為了PF的一大缺點.事實上,以上提到的濾波器都可以與本文提出的加權(quán)觀測融合算法相結(jié)合,形成加權(quán)觀測融合濾波算法,本文將以UKF濾波器為例,給出一種非線性加權(quán)觀測融合濾波算法.

非線性濾波算法的大量涌現(xiàn)表明了學(xué)者們對非線性問題的關(guān)注.涉及到非線性系統(tǒng)的融合方法也層出不窮[17?20].近年來,有學(xué)者通過隨機集、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊邏輯、粗糙集、D-S證據(jù)理論等非概率方法提出了非線性融合方法[21?23].這些方法可實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的信息融合以及決策級融合,但這些方法普遍存在信息丟失等情況,所以這些算法不具有最優(yōu)性或漸近最優(yōu)性.文獻[24]提出了一種在線性最小方差意義下最優(yōu)非線性加權(quán)觀測融合UKF濾波器.該算法要求傳感器觀測方程是相同的,因此具有較大的局限性.文獻[25]中,基于Taylor級數(shù)和UKF,提出了加權(quán)觀測融合無跡Kalman濾波器.該算法可以統(tǒng)一處理非線性融合估計問題,但該算法需要實時計算Taylor級數(shù)展開項系數(shù),這將帶來一定的在線計算負擔(dān),而且在展開點(狀態(tài)預(yù)報)偏離過大,或者Taylor級數(shù)展開項較少的時候,濾波精度難以保證.

Gauss-Hermite逼近方法[26?28]可以通過固定點采樣、Gauss函數(shù)和Hermite多項式逼近任意初等函數(shù),且具有較好的擬合效果.為了降低該逼近方法的計算負擔(dān),本文采用了分段處理方法,即將狀態(tài)區(qū)間進行分段逼近,并離線計算每段的加權(quán)系數(shù)矩陣.本文主要創(chuàng)新點及工作如下:首先,利用分段的Gauss-Hermite逼近方法將系統(tǒng)觀測方程統(tǒng)一處理,得到近似的中介函數(shù)以及系數(shù)矩陣.進而基于此中介函數(shù)、系數(shù)矩陣以及加權(quán)最小二乘法,提出了非線性加權(quán)觀測融合算法.該融合算法可對增廣的高維觀測進行壓縮降維,為后續(xù)濾波等工作降低計算負擔(dān).最后,結(jié)合UKF濾波算法,提出了非線性加權(quán)觀測融合UKF濾波算法(Weighted measurement fusion UKF,WMF-UKF).該算法可以處理非線性多傳感器系統(tǒng)的融合估計問題.與集中式融合UKF(Centralized measurement fusion UKF,CMF-UKF)算法相比,WMF-UKF具有與之逼近的估計精度,但計算量明顯降低,并且隨著傳感器數(shù)量的增加,該算法在計算量上的優(yōu)勢將更加明顯.本文為非線性多傳感器系統(tǒng)信息融合估計提供了一個有效途徑.在定位、導(dǎo)航、目標跟蹤、通信和大數(shù)據(jù)處理等領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用價值[29?31].

1 問題闡述

考慮一個非線性多傳感器系統(tǒng)

其中,E為均值號,上標T為轉(zhuǎn)置號,δtt=1,δtk=0().

在傳感器網(wǎng)絡(luò)中,傳感器的能量是有限的,為了節(jié)省能量,假設(shè)分布在空間上的傳感器之間沒有通信,傳感器的觀測數(shù)據(jù)通過網(wǎng)絡(luò)傳輸給融合中心,在融合中心對數(shù)據(jù)進行壓縮和濾波處理.而在工程中經(jīng)常遇到的未知參數(shù)問題[32?33]、相關(guān)性問題[34?35]、傳感器分布及管理[36]等問題,本文沒有涉及.

本文將從集中式融合結(jié)構(gòu)入手,引出本文所提出的基于Gauss-Hermite逼近的加權(quán)觀測融合方法.該融合方法將觀測函數(shù)分解成Gauss函數(shù)和Hermite多項式的組合形式,利用其系數(shù)矩陣對集中式融合系統(tǒng)觀測方程進行降維,得到一個維數(shù)較低的加權(quán)融合觀測方程.對加權(quán)融合觀測方程與狀態(tài)方程形成的加權(quán)觀測融合系統(tǒng)進行濾波器設(shè)計,可獲得與集中式融合逼近的估計精度,并降低了集中式融合估計算法的計算量.

引理1[4?5].對系統(tǒng)式(1)和式(2),全局最優(yōu)集中式融合系統(tǒng)的觀測方程為:

其中

并且v(0)(k)的協(xié)方差矩陣由下式給出:

對系統(tǒng)式(1)和式(4),應(yīng)用非線性濾波算法(例如擴展Kalman濾波器(Extended Kalman filter,EKF),UKF,CKF,PF等),可得到相應(yīng)的全局最優(yōu)集中式融合非線性濾波器.但由于集中式融合的觀測方程式(4)是觀測增廣擴維形成的,使得基于該高維觀測的估計算法的計算負擔(dān)隨著傳感器數(shù)量的增加而迅速增加.因此,找到等效的或者近似的融合方法來降低計算量是十分必要的.下面本文將解決非線性系統(tǒng)增廣觀測的降維問題.

定理1.對系統(tǒng)式(1)和式(2),若存在一個中介函數(shù)ψ(x(k),k)∈Rψ,使得局部觀測函數(shù)h(j)(x(k),k)(j=1,2,···,L)滿足h(j)(x(k),k)=H(j)ψ(x(k),k),其中矩陣H(j)∈Rmj×ψ,則加權(quán)觀測融合系統(tǒng)的觀測方程可由下式給出:

其中

其中,R(0)?1=(R(0))?1,并且v(I)(k)的協(xié)方差矩陣為:

其中,M(列滿秩)和(行滿秩)是的滿秩分解矩陣:

其中,M,H(I)可以用Hermite規(guī)范形得到[25].

證明.由于M和H(I)為H(0)的滿秩分解,則有:

由于M為列滿秩,因而MTR(0)?1M為非奇異矩陣.令H(I)ψ(x(k),k)為觀測對象,應(yīng)用加權(quán)最小二乘法,則H(I)ψ(x(k),k)的最優(yōu)Gauss-Markov估計為式(9)所示.□

對加權(quán)觀測融合系統(tǒng)式(1)和式(9),應(yīng)用非線性濾波算法,可得到全局最優(yōu)加權(quán)觀測融合非線性濾波算法.

2 Gauss-Hermite逼近

本節(jié)將引入一種函數(shù)逼近方法,該方法借由Gauss函數(shù)和Hermit多項式的組合形式逼近任意初等函數(shù).通過此逼近方法,可得到的近似函數(shù),進而可將統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為的形式,其中,ψ(x(k),k)由Gauss函數(shù)和Hermit多項式構(gòu)成,H(j)為系數(shù)矩陣.非線性多傳感器系統(tǒng)觀測函數(shù)經(jīng)過轉(zhuǎn)換,將滿足定理1中要求.

引理 2[26].設(shè)在區(qū)間[a,b]中存在一個點集,對于任意點存在yi,滿足,其中y(x)是一個確定的函數(shù).進而y(x)的近似函數(shù)可由Gauss-Hermite折疊函數(shù)得出:

其中,γ是一個與?xi(i=1,···,S)有關(guān)的常系數(shù),為一系列Hermite多項式的組合:

由式(17)和式(18)有:

其中,‘!’表示階乘,雙階乘‘m!!’表示不超過自然數(shù)m且與m有相同奇偶性的所有正整數(shù)的乘積.

注1.對于多維情況,假設(shè)是一個采樣集合,對于集合中每一個點存在點滿足,其中Y(·)是確定的多維函數(shù).那么Gauss-Hermite折疊函數(shù)如下:

其中,n維函數(shù)為函數(shù)Y(·) 的近似函數(shù). 引理2給出了一種利用Gauss函數(shù)和Hermite多項式組合的逼近方法,該方法可以利用較少的函數(shù)項獲得很好的逼近效果.如果將引理1中的視為定理 1 中的中介函數(shù)ψ(x(k),k),將視為H(j),則定理1可以得以實施.

3 基于Gauss-Hermite逼近的加權(quán)觀測融合算法

由文獻[26]和大量仿真試驗表明,在p=0,2,4等情況下,合理的選擇 ?xiμ和γμ(i=1,···,S;μ=1,···,n) 即可很好地逼近任意初等連續(xù)函數(shù). 本文選取p=2,?xiμ=1,γμ=γ(i=1,···,S;μ=1,···,n), 則由式 (18) 和式(19)有C2=?1/4,H2(u)=4u2?2,進而有f2(u)=1.5?u2.令

定理2.對系統(tǒng)式(1)和式(2),基于Gauss-Hermite逼近的近似加權(quán)觀測融合方程為:

證明.利用式(22)將集中式融合系統(tǒng)觀測方程式(6)進行近似,得到近似的集中式融合觀測方程:

其中

注2.定理2通過Gauss-Hermite逼近構(gòu)建了一個近似的中介函數(shù).它使得形如式(1)和式(2)的任意非線性多傳感器系統(tǒng)的局部觀測函數(shù)具有了定理1中所闡述的關(guān)系,可使定理1得以實施.

注3.如果狀態(tài)范圍過大,擬合采樣點數(shù)量會急劇增加,導(dǎo)致計算量增加,因此本文采取分段的處理方法.例如,對一維狀態(tài)系統(tǒng),可以將狀態(tài)的范圍劃分成多個區(qū)間,對二維狀態(tài)系統(tǒng),可以將狀態(tài)的范圍分成若干小的區(qū)域.在每個區(qū)間或區(qū)域分別進行Gauss-Hermite逼近.逼近過程中形成的中介函數(shù)及其滿秩分解矩陣可離線計算,在線調(diào)用,減少了在線計算負擔(dān).

4 WMF-UKF算法

對加權(quán)觀測融合系統(tǒng)式(1)和式(23),應(yīng)用非線性濾波算法(EKF、UKF、PF、CKF等),可得加權(quán)觀測融合非線性濾波算法.本文將以UKF為例,給出一種基于Gauss-Hermite逼近和UKF濾波算法的非線性加權(quán)觀測融合估計算法.

4.1 基于Gauss-Hermite逼近的WMF-UKF算法

本文UKF采樣策略選用比例對稱抽樣,即Sigma采樣點可由式(31)計算.

且有粒子權(quán)值如式(32)和式(33)所示.

其中,α>0是比例因子,λ=α2(n+κ)?n,κ是比例參數(shù),通常設(shè)置κ=0或者κ=3?n,β=2.下面給出WMF-UKF算法.

WMF-UKF算法.對非線性系統(tǒng)式(1)和式(2),基于定理2的WMF-UKF算法如下:

步驟1.設(shè)置初始值

基于多傳感器的觀測數(shù)據(jù)z(j)(0)～z(j)(k)(j=1,2,···,L),加權(quán)觀測融合系統(tǒng)Sigma采樣點可以計算為:

其中初值條件為:

步驟2.預(yù)測方程

預(yù)測Sigma采樣點:

狀態(tài)預(yù)報:

狀態(tài)預(yù)測誤差方差陣:

觀測預(yù)報Sigma采樣點:

觀測預(yù)報:

觀測預(yù)報誤差方差陣:

協(xié)方差矩陣由下式計算:

步驟3.更新方程

濾波增益由下式計算:

濾波誤差協(xié)方差矩陣為:

4.2 WMF-UKF算法的時間復(fù)雜度分析

算法1中的式(45)出現(xiàn)了矩陣求逆運算,因此該算法的時間復(fù)雜度由決定[37],即WMF-UKF的時間復(fù)?雜度為O(r·3),而CMFUKF的時間復(fù)雜度為.由定理2知,所以WMF-UKF的時間復(fù)雜度小于CMF-UKF.

另外,隨著傳感器數(shù)量L的增加,將不斷增加.而在擬合采樣點數(shù)S不改變的情況下,由于,故r將保持在Sn(或者更小)不改變.因此隨著傳感器數(shù)量的增加,WMFUKF較CMF-UKF在計算量上的優(yōu)勢將更加明顯.

5 仿真例子

例1.考慮一個帶有4傳感器的非線性系統(tǒng)[38]

其中

w(k)和v(j)(k)(j=1,···,4)是相互獨立的白噪聲,方差分別為:,.狀態(tài)初值為x(0)=0.由于狀態(tài)x(k)介于?1～4,因此選取擬合采樣點集為:{?2,?1,···,5}(8 個等間隔點),相應(yīng)的系數(shù)選取為:γ=1.選擇p=2,則中介函數(shù)為:

系數(shù)矩陣H(0),M和H(I)分別為:

最后得到基于Gauss-Hermite逼近的WMFUKF估計曲線和真實曲線如圖1所示.

本例采用k時刻累積均方誤差(Accumulated mean square error,AMSE)[24,39]作為衡量估計準確性的指標函數(shù)如式(55)所示.

其中,xi(t)是t時刻第i次Monte Carlo實驗的真實值,是t時刻第i次Monte Carlo實驗的估計值.獨立進行20次Monte Carlo實驗,得到的AMSE曲線如圖2所示,其中本例選取局部UKF估計AMSE曲線(Local filter 1～4,LF 1～4)、集中式融合UKF估計AMSE曲線(CMF-UKF)以及本文提出的加權(quán)觀測融合UKF估計AMSE曲線(WMF-UKF)進行對比.由圖2可以看出CMFUKF與WMF-UKF具有接近的估計精度,而高于局部UKF.在計算量方面,由于本文壓縮后的觀測為3維,因此WMF-UKF濾波過程中的時間復(fù)雜度為O(33).而集中式融合系統(tǒng)觀測方程為4維,因此時間復(fù)雜度為O(43).因此,WMF-UKF計算量要低于CMF-UKF.

圖1 真實狀態(tài)及WMF-UKF估計曲線Fig.1 Curves of the true state and the WMF-UKF estimate

圖2 局部UKF,WMF-UKF以及CMF-UKF的AMSE曲線Fig.2 AMSE curves of local UKF,WMF-UKF and CMF-UKF

例2.考慮一個帶有8傳感器的平面跟蹤系統(tǒng),在笛卡爾坐標下的狀態(tài)方程和觀測方程如下:

經(jīng)測試,本例選取Gauss-Hermite系數(shù)γ=1.04.為了減少計算量,本例將目標移動范圍劃分成了16個1平方公里的子區(qū)域,如圖3(a)所示.每個子區(qū)域采用以該區(qū)域為中心,外擴2點的方法避免邊緣擬合效果不良.以子區(qū)域7為例,以點(0,0),(0,1),(1,1)和(1,0)所圍區(qū)域為中心,外擴2點得到該子區(qū)域的擬合采樣點如圖3(b)所示.計算該區(qū)域的系數(shù)矩陣,如圖3(c)所示.不難看出,由于8個傳感器位于4個點,這里至少可以將16維的集中式融合觀測方程壓縮成8維的加權(quán)觀測融合方程.將16個區(qū)域?qū)?yīng)的與中介函數(shù)離線計算存儲并形成數(shù)據(jù)庫.根據(jù)每時刻狀態(tài)預(yù)報,在數(shù)據(jù)庫中選取相應(yīng)的以及可減少在線計算負擔(dān).

為了對比分析WMF-UKF的精度和計算量,本文選取了8傳感器集中式融合UKF(8-CMF-UKF),5傳感器集中式融合UKF(5-CMF-UKF)以及3傳感器集中式融合UKF(3-CMF-UKF).傳感器的選擇原則是盡量的分散,例如,3-CMF-UKF選擇的是1,3和5傳感器,5-CMF-UKF選擇的是1,3,5,7和8傳感器.各種融合系統(tǒng)的濾波跟蹤軌跡曲線如圖4所示.

本例采用k時刻位置(x(k),y(k))的累積均方誤差(AMSE)作為指標函數(shù),如式(58)所示.

其中,(xi(t),yi(t))是t時刻第i次Monte Carlo實驗的真實值,是t時刻第i次Monte Carlo實驗的估計值.獨立進行20次Monte Carlo實驗,得到的AMSE曲線如圖5所示.

圖4 真實軌跡和WMF-UKF,8-CMF-UKF和5-CMF-UKF的估計曲線Fig.4 True and estimated tracks using WMF-UKF,8-CMF-UKF and 5-CMF-UKF

在精度方面,由圖5可以看到AMSE由低到高依次是8-CMF-UKF,WMF-UKF,5-CMF-UKF和3-CMF-UKF.實驗說明,隨著傳感器數(shù)量的增加,集中式融合算法的精度不斷提高,而本文提出的WMF-UKF算法的精度接近全觀測集中式融合8-CMF-UKF.

在計算量方面,加權(quán)觀測融合系統(tǒng)觀測方程為8維,因此時間復(fù)雜度為O(83).3傳感器集中式融合系統(tǒng)觀測方程為6維,因此時間復(fù)雜度為O(63).5傳感器集中式融合系統(tǒng)觀測方程為10維,因此時間復(fù)雜度為O(103).8傳感器集中式融合系統(tǒng)觀測方程為16維,因此時間復(fù)雜度為O(163).因此,時間復(fù)雜度由高到低依次為:8-CMF-UKF,5-CMFUKF,WMF-UKF和3-CMF-UKF.

圖5 位置融合估計的AMSE曲線Fig.5 AMSE curves of position fusion estimates

此外,為了比較分析,本例應(yīng)用文獻[25]中的Taylor級數(shù)逼近方法得到的WMF-UKF的AMSE曲線也繪于圖5中,這里我們采用2階Taylor級數(shù)逼近.由于Taylor級數(shù)展開階數(shù)以及展開點等原因,使得其精度低于其他融合算法.而且與本文的不需要在線計算融合矩陣的WMF-UKF算法相比,文獻[25]的WMF-UKF(2-order Taylor)算法需要根據(jù)在線預(yù)報值實時計算融合參數(shù)矩陣,因而具有更大的在線計算負擔(dān).

本例根據(jù)不同Hermite多項式(p=0,2,4)情形進行了仿真分析.經(jīng)離線測試,選取Gauss-Hermite系數(shù)分別為:γ=0.83(p=0),γ=1.04(p=2),γ=1(p=4),其他參數(shù)不變.得到Monte Carlo實驗的AMSE曲線如圖6所示.圖6中可以看到,Hermite多項式的數(shù)量與函數(shù)逼近效果并無直接關(guān)系,得到融合估值精度間也不存在漸近最優(yōu)性.因此,根據(jù)被逼近函數(shù)形式,離線測試逼近函數(shù)效果,對本文所提出WMF-UKF算法的精度起到非常關(guān)鍵的作用.

圖6 帶不同Hermite多項式的WMF-UKF位置AMSE曲線Fig.6 AMSE curves of WMF-UKFs with different Hermite polynomials for position

綜上,合理的選擇Gauss-Hermite逼近函數(shù)以及相應(yīng)的系數(shù)γ,可使本文提出的WMF-UKF在精度方面接近集中式融合算法,而減少計算量.

6 結(jié)論

本文首先基于Gauss-Hermite逼近方法和加權(quán)最小二乘法,提出了一種具有普適性的非線性加權(quán)觀測融合算法.進而結(jié)合UKF算法,提出了非線性加權(quán)觀測融合UKF(WMF-UKF)算法.與CMFUKF算法相比,WMF-UKF具有與之逼近的估計精度,但計算量明顯降低,并且隨著傳感器數(shù)量的增加,該算法在計算量上的優(yōu)勢將更加明顯.本文通過仿真實例對比已有的相關(guān)算法,說明了本算法的有效性.