基于區間二型T-S模糊模型的網絡控制系統的輸出反饋預測控制

唐曉銘 鄧梨 虞繼敏 屈洪春

預測控制作為一種具有處理約束優化控制問題能力的先進控制算法,已經引起了工業界和學術界的廣泛關注[1].縱觀預測控制的發展過程,它經歷了從上世紀70年代以動態矩陣控制,模型算法控制為代表的經典預測控制算法,到上世紀90年代以具有穩定性保證為特色的預測控制綜合方法的質的飛躍[2?4].就預測控制綜合方法而言,文獻[5]基于不變集理論和線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)技術首次提出了一種能夠保證穩定性的預測控制綜合算法.從那以后,預測控制綜合方法的研究有了長足的進步,其主要進展來自于以下兩個方面:首先,通過設計新的Lyapunov函數,如參數依賴Lyapunov函數,或者在優化問題中增加自由控制作用等方法來提高系統的控制性能,如文獻[6?8].其次,通過離線求解控制序列或者采用集結策略來降低在線計算量,如文獻[9?11].然而,上述文獻的結果均基于狀態可測的情況,即狀態反饋預測控制.對于實際系統而言,狀態變量往往是不可測的.因此,輸出反饋預測控制綜合方法的研究更具實際意義.近年來,已有學者對這一問題展開了深入研究,并取得了很多有意義的結果.文獻[12]針對具有模型不確定性的線性時變約束系統,給出了一種基于離線狀態觀測器和離線反饋控制律的輸出反饋預測控制方法.文獻[13]在文獻[12]的基礎上,提出了一種基于“quasi-min-max”的輸出反饋預測控制,其算法主要由離線設計的狀態觀測器和在線的輸出反饋控制器構成.關于輸出反饋預測控制綜合方法的其他研究請參考文獻[14?17].

與此同時,網絡控制系統因其可靠性高、易于安裝和維護、能實現信息資源共享等優勢,已經成為學術界的重點研究領域之一[18?22].對網絡控制系統的研究,其主要挑戰是如何降低網絡的特有屬性,如數據丟包,帶給控制系統性能的不利影響.為此,學術界已經提出了各種方案來解決這一難題,如H∞控制[23?26],切換系統理論[27],預測控制[28]等.文獻[23?24]都采用伯努利隨機分布描述丟包現象,分別設計了具有指數穩定且滿足H∞性能的輸出反饋控制器和濾波器.文獻[25]研究了雙頻采樣和丟包情況下的H∞控制問題,并給出了系統穩定性判據和控制器設計方法.文獻[26]將采集器端數據采樣周期,數據傳輸時滯和數據丟包統一轉化為零階保持器的數據更新周期,實現了H∞跟蹤控制.文獻[27]研究了切換頻度同Markov切換系統穩定性的關系,保證了網絡控制系統的隨機指數鎮定.文獻[28]將丟包問題當作時延問題處理,提出了基于雙線性系統結構特性的預測控制算法.

預測控制因其滾動優化、滾動實施、魯棒性強的特點,對處理網絡數據丟包等問題有著天然優勢.近年來,很多學者對網絡控制系統的預測控制問題進行了廣泛研究,并取得了一定的成果.但現有網絡預測控制文獻多采用預測控制的設計方法,即得到控制器后分析系統穩定性,如文獻[29?30].而對于預測控制的綜合方法—具有穩定性保證的預測控制的研究則較少,這種綜合方法的優勢在于只要優化可行則系統穩定,如文獻[31?32].文獻[31]考慮具有雙通道數據丟包的網絡控制系統,從魯棒分析的角度建立了網絡控制系統模型,通過構造無窮時域的約束優化問題,給出了具有穩定性和可行性保證的預測控制.文獻[32]在文獻[5]的基礎上,通過引入馬爾科夫隨機丟包,并擴展相關約束條件,在隨機系統框架下,得到了丟包網絡環境下的預測控制綜合方法.更多相關研究請參考文獻[33?35].然而,上述文獻均考慮狀態可測情況下的網絡預測控制.如果狀態不可測,則文獻[31?35]中的方法不再適用.此外,這些文獻都不考慮非線性對象及干擾問題.文獻[36]采用了T-S模糊模型來描述具有伯努利隨機丟包的非線性網絡控制系統,并利用分段Lyapunov穩定性分析方法,設計了能夠保證閉環系統隨機穩定的模糊控制器,但并未考慮干擾問題.文獻[37]解決了干擾作用下基于馬爾科夫丟包的非線性系統的穩定性問題,但只適用于狀態可測的情況.因此,對網絡預測控制這一問題的研究還有很多工作可以做.

本文研究干擾作用下的非線性網絡控制系統的輸出反饋預測控制問題.利用區間二型T-S模糊模型[38?41]描述具有參數不確定性的非線性對象,采用馬爾科夫鏈描述系統中的隨機丟包過程.通過引入二次有界技術,得到了描述干擾作用下的網絡控制系統穩定性的一般方法.本文所提算法包含兩個部分:1)利用二次有界條件和S-過程,離線設計了狀態觀測器;2)通過將無窮時域控制作用參數化為一個自由控制作用加一個線性反饋控制律得到了輸出反饋預測控制.最后,論文討論了估計誤差集合的在線更新方法.

注1.I表示相應維數的單位陣.P>0(≥0)表示P是對稱正定(半正定)矩陣.表示.在對稱矩陣中,符號?表示對稱部分.diag{···}表示對角陣.表示關于正定對稱矩陣M的橢圓.λmin(M)表示矩陣M的最小特征值.代表關于x的條件期望.

1 問題闡述

1.1 區間二型T-S模糊模型

區間二型T-S模糊模型用IF-THEN規則可以描述為:

g1(μ(k)),g2(μ(k)),···,g?(μ(k)) 是前件變量,是規則i的區間二型模糊集.和分別代表狀態向量,控制輸入,系統干擾,系統輸出.Ai,Bi,Ci,Di,Ei是適當維數的常數矩陣,第i個模糊規則的激活強度為:

假設1.假設狀態不可測,(Ai,Ci)可觀測,不可測干擾有界且滿足.

區間二型模糊控制器第j個模糊規則可描述為:

其中d1(μ(k)),d2(μ(k)),···,dθ(μ(k)) 是前件變量,Ljι,j=1,2,···,r;ι=1,2,···,θ是規則j的區間二型模糊集.ud(k)∈ Rnu是控制器輸出,是估計狀態.第j個模糊規則的激活強度為:

注2.從文獻[39?40]可知,與將取為定值相比,將定義為非線性函數可以減小控制器設計的保守性,故本文采用了文獻[39]的做法.此外,為了提高控制器的靈活性,文中的控制器與被控對象選取不同的隸屬函數.

圖1 網絡控制系統框圖Fig.1 Diagram of networked control systems

1.2 網絡描述

網絡控制系統如圖1所示.引入隨機變量γ(k)∈{0,1}來表示數據在采樣時刻k的傳輸狀態(1表示數據傳輸成功,0表示發生丟包).假定丟包過程是在{0,1}之間的離散齊次馬爾科夫鏈,且轉移矩陣,其中,分別代表丟包率和恢復率.如果在k時刻數據傳輸成功,則;如果在k時刻發生丟包,則采用上一時刻的控制輸入,,即:

即只有在數據成功傳輸的采樣時刻才更新控制輸入.則根據式(2),(3),可得閉環模型

注3.本文采用了文獻[42]的做法,通過附加通信鏈路的方式將當前時刻實際實施的控制輸入傳送到觀測器環節.

注4.根據式(3)可知,表示發生η次連續丟包后的控制輸入,即γ(k)=γ(k?1)=···=γ(k?η+1)=0,η∈{1,···,χmax}代表連續丟包次數,χmax為連續丟包上界,則最新的控制輸入.

定義1.對于任意初始狀態,若滿足

則閉環系統(4)隨機穩定.

文獻[43]采用二次有界技術,解決了有界干擾影響下線性時不變系統的穩定性問題.本文將此方法推廣到了區間二型T-S模糊網絡控制系統.

定義2.對所有允許的w(k+h),h≥0,系統(4)關于Lyapunov矩陣P二次有界,則等價于.

引理1[43].對所有允許的w(k+h),h≥0,如下結果等價:

a)系統(4)關于Lyapunov矩陣P二次有界;

2 離線狀態觀測器的設計

由于狀態未知,引入如下狀態觀測器來估計系統狀態:

則對于充分大的h,必有.

定理1.如果存在,滿足

則e(k+h|k)收斂于LH0,且.

證明.對于滿足的任意w(k+h),式(7)等價于

則式(9)成立.上式等價于

易知,式(11)成立,則必有下式成立

將Ge=H0Lp代入式(12)并根據Schur補引理,可得式(8).□

注5.由狀態觀測器(5)來估計系統狀態時,u(k)可通過式(3)得到.但由定理1可知,所設計的觀測器僅需基于誤差方程(6),采用二次有界條件得到,并不需要求出u(k)的具體值.

3 在線輸出反饋預測控制方法

在帶一個自由控制作用的輸出反饋預測控制中,ud(k|k)是控制序列的第一個元素,其余元素為:

其中

定義性能指標函數

在每個采樣時刻,施加如下約束

且令ε(k)滿足如下條件:

則本文需要求解的輸出反饋預測控制優化問題可描述為

另外,考慮輸入約束:

其中utmax是一個正標量,ut(k+h|k)代表向量的第t個分量.

定理 2.考慮區間二型T-S模糊系統(2),對于給定的收斂速度λi和標量κ,如果存在ε,α,ud,對稱矩陣,及矩陣Yj滿足

其中

其中φ(1)為估計誤差界的初始值.

證明.1)約束式(15)的處理.在采樣時刻k,引入松弛矩陣Ψ=diag{W,T,H},分別考慮 1?→1,1?→0和 0?→1,0?→0(1指γ(h|k)=1,0指γ(h|k)=0)兩種情況,有:

由上述不等式,可得

則有

上式可保證式(30)成立.根據式(3),需要討論γ(k)=1和γ(k)=0兩種情況.

如果γ(k)=1,則數據傳輸成功,.對式(31),利用Schur補引理,可得式(18),其中.

如果γ(k)=0,則發生丟包,u(k)=u(k?1).對式(31),利用Schur補引理,可得式(19).

2)約束式(14)的處理.根據擴展狀態模型(13),二次有界條件(14)等價于

因為w(k+h)滿足,所以等價于.利用S-過程,式(14)等價于

其中κ∈(0,1).

如果γ(k+h|k)=1,考慮數據丟包率,則.如果滿足

如果γ(k+h|k)=0,考慮數據恢復率,則.如果滿足

則式(32)可成立.其中W0=(1?κ)M0?S1,Φ0是γ(h|k)為0時Υ的值.然后,將式(35)分別左乘,右乘其轉置,利用Schur補引理,并代入,,可得式 (22). 式(36)分別左乘,右乘其轉置,可得式(23).

由此可得

于是有

對于任意的c≥1,對式(37)兩邊從k=0到k=c求和,可得

即

其中z(0)是初始條件.由于

于是

從定義1可知,閉環系統是隨機穩定的.

如果式(32)成立,則有

當h=1時,根據式(38)可得

如果式(15)滿足,則有

根據式(39)和式(40),有

由此可得

根據式(29),式(42)可改寫為

3)輸入約束(17)的處理.在將輸入約束處理成LMIs之前,引入如下條件:

在采樣時刻k+1時,根據式(3)可知,如果在k時刻數據傳輸成功,即γ(0|k)=1,在k+1時刻發生丟包,即γ(1|k)=0,則u(k+1)=u(k),必然滿足式(44),因此無需考慮1→0,只需考慮1→1,即γ(0|k)=1,γ(1|k)=1.如果式(24)滿足,則有

根據式(45),則有

在采樣時刻k+2時,對于γ(2|k)=1需要考慮以下兩種情況.a)1→1→1,即,利用式(24),則有,令.

當s=1時,如果式(25)和式(26)滿足,則有:

根據式(46)和式(47),可得

基于采樣時刻k+1和k+2的情況,在采樣時刻時,對于也只需要考慮以下兩種情況:,即,顯然成立.b),即,其中代表連續丟包次數,. 令,如果式(27)滿足,則有

結合式(46),式(47)和式(48),可得

由此可知,當γ(h|k)=1時,即使發生了η次連續丟包,仍成立.

對于輸入約束(17),如果在采樣時刻k+h時發生丟包,根據式(3),輸入約束明顯滿足.如果數據傳輸成功,根據式(44),有:

式(28)可保證上式成立.□

帶一個自由控制作用的區間二型T-S模糊網絡輸出反饋預測控制算法如下所示:

離線

步驟1.選取參數λi=λ∈(0,1),計算式(8),得到H0和Lp的值.

步驟2.設定參數.

在線

步驟1.在采樣時刻k≥0,在線求解定理2的優化問題,得到控制輸入.

步驟2.發送控制輸入.如果數據傳輸成功,則有,否則,,.并通過附加鏈路傳輸實際控制輸入.

步驟3.估計狀態.根據式(29)計算φ(k+1).

步驟4.更新采樣時刻至k+1,然后返回步驟1.

求解LMI優化問題的復雜度可以利用與K3L成比例的多項式時間算法,其中K表示變量總數,L表示LMI的總行數.對于定理2,.由此可知,χmax增大,計算復雜度會呈線性增大;r,nx,nu增大,計算復雜度會呈指數增大.令r=nx=nu=χmax,分別取K和L中影響最大的部分,則可認為求解定理2的計算復雜度是.

4 仿真

考慮2個規則的區間二型T-S模糊模型,其系統矩陣如下所示:

被控對象和控制器的隸屬函數分別為:

圖2 被控對象和控制器的隸屬函數Fig.2 Membership functions of plant and controller

模糊模型的作用區域為x1(k)∈[?15,15].定義加權函數和.圖2為被控對象和控制器的上下隸屬函數.假定系統是有界擾動,滿足kw(k)k2≤1,輸入約束為,初始狀態,丟包上界χmax=4,數據傳輸狀態轉移矩陣,性能指標加權矩陣S1=I2,R=0.01,估計誤差初始界φ(1)=6.誤差函數的收斂速度λi=0.3,參數κ=0.39.針對此區間二型T-S模糊網絡控制系統的仿真結果如圖3～8所示.圖3為數據傳輸狀態,1表示數據傳輸成功,0表示發生丟包.圖4表示閉環系統狀態響應.圖5表示系統控制輸入.圖6表示性能指標上界ε的軌跡.圖7表示估計誤差的界.圖8表示狀態響應和估計誤差橢圓集合.觀測器參數、性能指標及計算時間如表1所示.仿真結果表明,本文給出的輸出反饋預測控制方法是可行且有效的.

表1 觀測器參數,性能指標及計算時間Table 1 Observer parameters,performance objective,and computational time

圖3 數據傳輸狀態Fig.3 Data transmission status

圖4 閉環系統狀態響應Fig.4 The closed-loop state responses

圖5 系統控制輸入Fig.5 System control input

圖6 性能指標上界ε的軌跡Fig.6 Evolutions of performance objective upper boundε

圖7 估計誤差的界Fig.7 The estimation error bound

圖8 狀態軌跡和估計誤差橢圓集合Fig.8 State trajectories and ellipsoidal bounds of estimation error

5 結論

本文研究了具有丟包的非線性網絡控制系統的輸出反饋預測控制問題.利用區間二型T-S模糊模型描述具有參數不確定性的非線性對象.采用馬爾科夫鏈描述丟包過程.通過引入二次有界技術,離線設計了狀態觀測器,并通過將無窮時域控制作用參數化為一個自由控制作用和線性反饋律,得到了在線預測控制方法.此外,本文還討論了在線更新估計誤差橢圓集合的方法.最后,通過仿真例子,驗證了此算法的有效性和合理性.