隨機噪聲的局部正交壓制方法

徐彥凱 曹思遠* 潘 曉 楊光明 張憲旭

(①中國石油大學(北京)地球物理與信息工程學院，北京 102249； ②中國石油大學(北京)CNPC物探重點實驗室，北京 102249；③南方科技大學地球與空間科學系，廣東深圳 518055； ④中煤科工集團西安研究院有限公司，陜西西安 710077)

0 引言

噪聲一直是影響地震資料品質的重要因素之一，地震資料處理的最基本目標就是消除地震記錄中的各種噪聲，最大程度地提高地震資料信噪比。對隨機噪聲的壓制許多學者已提出了大量的方法并取得了很多研究成果，這些方法主要有中值濾波方法[1]、f-x反褶積方法[2]、離散余弦變換方法[3]、小波變換方法[4-6]、獨立分量分析方法[7]、經驗模態分解[8]、f-x預測濾波方法[9-10]、字典學習方法[11]以及奇異值分解(SVD)[12-15]方法等。

劉財等[1]將二維多級中值濾波應用到地震勘探中的噪聲壓制，研究了噪聲強度與濾波因子的關系。陸文凱[3]在離散余弦變換域中利用預測濾波器壓制噪聲。Cao等[5]給出了一種柔性的基于提升法的小波構造方法，適用線性、非線性或空間變化的預測和更新算子，并能確保變換的可逆性。劉洋等[6]采用高階seislet變換的提升算法對地震信號去噪，重點考慮了去噪閾值選取。Bekara等[8]在f-x域采用經驗模態分解降噪； 以此為基礎，Chen等[9]在f-x域中先使用傾角濾波器，再利用經驗模態分解壓制了復雜地層結構中的噪聲。Liu等[10]在f-x域中采用整形正則化約束預測傾角壓制噪聲，濾波器長度和整形算子是該方法中二個重要參數。陸文凱等[12-13]采用SVD方法實現地震資料的降噪，之后在紋理方向檢測傾角的基礎上再用SVD方法壓制噪聲。徐彥凱等[15]采用奇異值選擇的自適應方法壓制地震資料中的噪聲。

上述方法均探討了如何將信號與噪聲有效分離。當然，信噪分離效果的好壞與壓制噪聲的閾值、濾波器算子長度的大小有很大關系。閾值較小或濾波器算子較短，信噪分離的程度相對較小，即去噪后的地震資料中還存在較多噪聲； 反之，若將噪聲完全從地震資料中去除，地震信號可能會受到部分損傷，即去除的噪聲中尚存部分有效信號。為了提高地震資料信噪比，本文充分利用了信號和隨機噪聲的不相關性，依據信號與噪聲滿足的局部正交化準則，從分離后的噪聲中再提取地震信息。

1 基本原理

地震數據d可看成由理想地震信號s和隨機噪聲n兩部分組成，即

d=s+n≈s0+n0

(1)

式中s0和n0分別為采用傳統方法處理得到的信號與噪聲，即第一次分離出的信號與噪聲。

大多數情況下，第一次分離噪聲n0不等于n和n0中含有的殘留信號s1。從圖1a～圖1d、圖1f、圖1g可見：兩種方法分離的噪聲中都含有一些信號的影子。對分離后的信號與噪聲做相關分析，得到相關系數剖面(圖1e、圖1h)，可見分離出的噪聲與信號有很強相關性。依據其相關特性估計噪聲中的殘留信號。殘留信號s1由分離出的信號s0加權[16]表示為

s1=w○s0=Ws0=S0w

(2)

式中：w表示通過s0估計s1的權重因子； “○”表示hadamard積；W=diag(w)；S0=diag(s0)。

1.1 局部正交準則

=s0+ws0

(3)

(4)

式(3)和式(4)中w表示全局權重系數。

由于信號s與隨機噪聲n不相關，則與相互正交，即

(5)

將式(3)和式(4)代入式(5)，可得

(6)

圖1 常規處理后信號與噪聲及相關性

由此得到全局權重系數

(7)

加窗后式(7)改寫為[16]

(8)

w(t)是t點處窗長m區域內滿足局部正交準則的權重系數。式(8)的矩陣形式為

(9)

與全局正交相比，采用局部正交準則能根據有效信號缺失程度自適應地優化權重因子w。

從式(9)可見：當已知S0和n0時，計算權重因子w是不適定問題。對此，可采用整形正則化求解。

1.2 整形正則化

正則化目的是對估計的模型解強加限制，以使不適定問題得以求解，其中Tikhonov正則化為一種經典方法。在此基礎上，Fomel[17]考慮整形算子的平滑作用，提出了整形正則化理論。

式(9)可轉化為最小平方意義下目標函數優化

(10)

對目標函數加約束，式(10)改寫為

(11)

式中：D為對權重因子w加以光滑約束的Tikhonov 正則化項；ε為正則化系數。采用最小二乘法得到其解為

(12)

求解式(11)的優化問題時，考慮解的平滑性和收斂速度，引入約束模型在可接受空間映射的整形算子[18]

Γ=(I+ε2DTD)-1

(13)

式(12)可改寫為

(14)

將式(14)代入式(3)，得到信號s的估計。

1.3 自適應奇異值分解(ASVD)

設地震道記錄中每道有N個采樣點。該記錄可用矩陣

(15)

表示，其元素為aij(i為道號，j為時間樣點號)。

設矩陣AN×M(N≤M)的秩為r，則存在兩正交矩陣U、V和對角矩陣Λ，且滿足

AN×M=UΛVT

(16)

其中

式中：Δ=diag[σ1,σ2,…,σr],σ1≥σ2…≥σr>0；σi是矩陣A的奇異值；ui、vi分別是矩陣A的左、右奇異向量。

地震信號經過奇異值分解后，奇異值僅集中在前幾個。這樣，信號奇異值分布有一個陡降，而隨機噪聲奇異值由大到小的遞減幅度統計近似相同，因此采用相鄰奇異值增量分離地震資料中的隨機噪聲。相鄰奇異值增量定義為

Δσi=σi-σi+1

(17)

ASVD是將數據做SVD得到奇異值后，計算奇異值增量的幅度和序號以及閾值，在序號內確定最大奇異值增量，由閾值確定保留奇異值的個數，從而實現信號和噪聲分離。

2 模型與實際資料處理

2.1 模型試驗

為了檢驗本文算法的有效性，首先對圖1b做ASVD，圖2a與2b分別為分離得到的信號與噪聲，可見圖2a中噪聲很少； 計算二者的相關性(圖2c)后與圖1e和圖1h比較，可見由ASVD得到的信號與噪聲的相關性更小。

在此基礎上，采用整形正則化的局部正交法從分離出的噪聲中提取殘留信號并進行處理，然后與分離前的相關系數(圖1e、圖1h)及采用f-x[16]、常規SVD方法的結果進行對比(圖2)?？梢姺蛛x后信號(圖2d、圖2g、圖2j)與噪聲(圖2e、圖2h、圖2k)的相關系數(圖2f、圖2i、圖2l)都有不同程度的減??； 本文方法得到的有效信號剖面更干凈清晰，相關系數明顯小于文獻方法的結果[16]。

圖3a、圖3c、圖3e分別為理想信號與用f-x、常規SVD和ASVD三種方法壓制噪聲后信號的誤差剖面； 圖3b、圖3d、圖3f為分別為f-x、常規SVD和ASVD三種方法基礎上采用局部正交法分離得到的誤差剖面。對比這兩組剖面可見：f-x和ASVD兩種方法采用局部正交法處理后的誤差小于未采用的；采用局部正交法分離將f-x方法的誤差剖面(圖3a)上水平同相軸信息得到了充分提取(圖3b)；由于ASVD方法中傾斜同相軸不能全部集中在前幾個奇異值上，所以圖3e中傾斜同相軸誤差較大，采用局部正交法分離將ASVD方法的誤差剖面(圖3e)中傾斜同相軸信息實現了較好地提取，得到誤差剖面圖3f。

抽取圖1中第10道的理想信號(圖4a)和加噪信號(圖4b)，以及f-x、常規SVD和ASVD三種方法處理結果(圖4c、圖4e、圖4g)、對應的局部正交法處理后結果的第10道(圖4d、圖4f、圖4h)，可見用ASVD方法+局部正交法(圖4h)壓制噪聲效果最好。為了便于量化對比幾種方法的壓噪效果，計算了局部正交法分離前、后的信噪比(表1)。

表1 局部正交法分離前、后信噪比

圖2 局部正交法壓噪效果

圖3 圖2對應的誤差剖面

圖4 圖2中第10道壓噪效果

表1中f-x和ASVD分離信噪比較高，信號中含隨機噪聲較少，通過局部正交法分離的噪聲中能有效提取殘留信號，從而提高分離后的信噪比。 SVD方法分離的信號中噪聲較多，采用局部正交法從分離的噪聲提取的殘留信號中噪聲較多，因此分離后的信噪比反而減小。由上可知，采用局部正交分離要求分離前的信號含噪少。

為了進一步驗證局部正交法信噪分離效果，對水平地層模型做ASVD降噪處理[15]后，又采用局部正交法提取分離噪聲中的殘留信息。設炮點到各層的最小時間t01～t05分別為0.1、0.4、0.6、0.8、0.95s，對應速度v1～v5分別為950、1000、1100、1200、1500m/s； 采樣間隔為4ms； 采樣點數為300；道間距為10m； 道數為81； 雷克子波峰值頻率為35Hz。在合成的CDP道集(圖5a)上，加入一定噪聲后得到信噪比為-1dB的記錄(圖5b)，并對其進行無拉伸動校處理(圖5c)； 應用ASVD進行信噪分離，得到一次分離后的信號(圖5d)、噪聲(圖5e)及其二者的相關系數(圖5f)； 采用局部正交法從一次分離的噪聲中提取殘留信號，得到最終的信號(圖5g)、噪聲(圖5h)及其二者的相關系數(圖5i)； 對圖5d和圖5g分別做反無拉伸動校處理，得到對應地震記錄(圖5j、圖5k，其信噪比分別為6.4、7.5dB)、一次分離后(圖5l)及最終(圖5m)噪聲。從二次分離前后的信號、噪聲及其相關性可見：局部正交法可有效提取噪聲中的殘留信號，大大降低信號與噪聲的相關性，從而最大限度地保留有效信號并壓制噪聲，進而提高地震記錄信噪比。

(a)合成CDP道集； (b)信噪比為-1dB的含噪記錄； (c)無拉伸動校后記錄； (d)、(e)、(f)分別為ASVD第一次分離后信號、噪聲及二者相關系數； (g)、(h)、(i)局部正交法處理后的信號、噪聲及二者相關系數； (j)、(k)分別是圖d、圖g的反無拉伸動校后記錄； (l)一次分離后噪聲；(m)最終噪聲

2.2 實際資料處理

選取實際二維疊加數據(圖6)的第300～500道，其采樣間隔為2ms，每道400個采樣點。進行f-x處理(圖7a)和局部正交處理(圖7c)，得到相應的差剖面(圖7b、圖7d)；再做ASVD處理(圖7e)和局部正交處理(圖7g)，得到對應的差剖面(圖7f、圖7h)。從上述差剖面中方框部分可見： 局部正交處理前的差剖面(圖7b、圖7f)都含有明顯的同相軸信息，而局部正交處理后的差剖面(圖7d、圖7h)中同相軸信息較好地被提??；對比局部正交處理后的f-x方法(圖7d)與ASVD方法(圖7h)差剖面，可見后者處理效果更好； 同時，其對應的疊加剖面圖7g的信噪比高于圖7c。

圖7 實際地震數據的不同處理方法剖面對比(a)、(c)分別為f-x和f-x+局部正交處理的疊加剖面； (b)、(d)分別為f-x和f-x+局部正交處理的差剖面； (e)、(g)

3 結束語

地震數據處理中，常規方法壓制隨機噪聲后，濾除噪聲中尚存一定量有效信號。本文提出的基于整形正則化的局部正交方法可從常規分離的噪聲中有效提取殘留信號。該方法要求常規分離的信號中噪聲較少。與f-x、SVD方法相比，ASVD方法壓噪性能更強。模型和實際資料處理結果均表明，在ASVD降噪基礎上采用局部正交法可有效壓制地震數據中隨機噪聲，顯著提高地震資料信噪比。