基于分形理論的導電模型及應用

王 京 悉

(同濟大學，上海 200092)

0 引言

飽和多孔介質(例如土壤、巖石)的電輸運性質受孔隙空間的非導電固體基質和孔隙間充填的流體影響很大，相關研究成果在油藏工程與巖石物理學領域已經得到廣泛應用[1]。沉積巖的電導率與孔隙形狀、分布以及地層水電導率有很大關系，測量結果的解釋有賴于對巖石導電機制的認識。常規理論模型假設僅存在一種導電組分(例如孔隙水)，進而研究孔隙流體電導率、孔隙度、飽和度以及孔隙結構對巖石整體電導率的影響。以往的大部分研究多側重于經驗層面，或者是理論研究與經驗公式的組合。其中最廣泛應用于電阻率測井解釋以及儲層評價的巖石物理關系是Archie公式[2]，它反映了骨架不含導電礦物成分情況下巖石電導率與孔隙度以及孔隙微觀幾何結構之間的關系。巖石的導電性不僅與泥質的附加導電性有關，還受到孔隙形狀、尺寸以及分布的影響。Wyllie等[3]使用彎曲毛細管模型解釋電流在復雜孔隙空間中的流動路徑，將單位體積巖石的孔隙空間等效為一個相等直徑的曲折毛細管，其體積等于孔隙空間，毛細管電導率等于巖石電導率。這種方法的缺點是沒有考慮巖石孔隙直徑大小的變化以及孔隙呈現復雜網絡狀的特征。Winsauer[4]提出地層因素可以表示為曲折度、導電電解質的表觀橫截面積與巖石所含電解質總橫截面積之比的函數。該方法通過測量一定電位梯度下通過水相介質的離子傳輸時間確定完全鹽水飽和砂巖的曲折度。在此基礎上，Perkins等[5]通過實驗研究了含有水和油的砂巖樣品的水相的曲折度、飽和度、電導率與巖石整體電導率之間的關系。

Mandelbrot[6]首次提出分形概念并建立分形幾何理論，用以解釋自然界中不規則且具有高度復雜結構的現象。分形是具有非整數Hausdorff維數的集合，這些具有嚴格的或統計自相似性的附加屬性的集合已被廣泛用于模擬各種物理現象[7]。分形的維數稱為分數維，是對分形幾何復雜程度的定量表征，也是分形理論的基本參數。在分子尺度大小和微觀范圍內，包括天然巖石在內的大多數材料的表面都顯示出不規則性和缺陷，在分辨率變化時，表現出自相似性。規則物體的測量結果與測量所選用的尺度無關，但用不同尺度測量具有分形特征的物體時，結果會有所不同。現有資料表明，天然多孔介質和部分人工制造的多孔介質的微觀結構具有分形特征。目前，分形理論已在石油天然氣行業取得了許多應用成果，例如識別沉積旋回[8]、表征油藏儲層的孔隙結構[9]、滲透率[10]、巖性劃分[11]、地震記錄的分形結構[12]、裂縫形態分布[13-15]等。分形模型與傳統模型的不同之處在于可以直接描述或通過實驗驗證巖石的微觀結構。Katz等[16]和Krohn等[17]以巖心掃描電鏡二維圖像為基礎，分析了砂巖、頁巖和碳酸鹽巖的孔隙結構。除此之外，還有其他實驗方法可以進行巖石分形特征的研究，例如中子散射和X射線散射。Roy等[18]利用粒子擴散理論，推導出電導率與孔隙度之間存在一種指數關系。Nigmatullin[19]利用分形理論與毛細管束模型，推導出巖石電導率與孔隙度的關系。類似地，Wei等[20]通過研究得到了巖石整體電導率的分形表達式。

巖石的孔隙結構十分復雜，即使通過實驗也無法準確描述巖石的微觀結構及流體分布。學者們從不同方面對巖石電導率進行研究，取得了對巖石微觀孔隙結構與電導率之間關系的認識與理解。本文從分形理論出發，建立了一種適用于研究區儲層含水飽和度評價的導電模型，以提高該地區儲層含水飽和度的解釋準確度。

1 方法原理

點、曲線、曲面和立方體的分形維數可用歐幾里得幾何方法描述，其分形維數分別為0、1、2和3。與每個維度相關聯的是對相應物體的度量，例如線的長度、曲面的面積和立方體的體積。然而，自然界中的許多物體并不符合歐幾里得描述特征，因為它們的長度、面積或體積與度量的尺度有關。分形物體的度量M(L)與測量尺度L滿足標度關系[21]

M(L)～LDf

(1)

式中Df是與分形過程相關的常數。對天然多孔介質的研究表明，孔隙系統具有分形性質。對于這樣的復合系統，很明顯，“微觀”長度的尺度遠小于宏觀物體的尺寸，但遠大于其組成分子的尺寸。

在完全破碎的分形多孔介質中，粒度確定了分形尺度的上限與下限，Rieu等[22]提出孔隙度Φ可以根據粒度定義為

(2)

進而，孔隙分形維數Df可表示為

(3)

式中Rmax和Rmin分別表示最大和最小粒徑。將多孔介質簡化為一簇變截面毛細管組成的毛細管束，則毛細管的直徑λ與多孔介質的測量長度L0滿足[23]

(4)

式中：L(λ)是彎曲毛細管的長度；DT是毛細管曲折度T的分形維數，對于二維和三維空間，其取值范圍分別是1≤DT<2和1≤DT<3。當DT=1時，對應于直毛細管； 1

曲折度可以用電流必須經由的路徑長度Le定義。因為電流的流動取決于巖石的孔隙結構與分布、潤濕性和含水飽和度，所以相同含水飽和度時的曲折度并不是唯一的，它還與介質的分形特征有關。實際上，考慮分形特征的巖石導電性質的數學推導并不易實現。為了解決這個問題，可以采用一種簡化方法，即含水飽和度Sw為1.0時的曲折度表示為

(5)

Wyllie等[3，24]將毛細管截面積Ae在不同的情況下分別表示為ΦA或Φ2A(其中A是樣品的截面積)； Cornell等[25]認為Ae=ΦAL0/Le； Abdassah等[26]考慮不同潤濕性的影響，提出

Ae=AΦSwP/T

(6)

式中P為導電連通的概率，其大小取決于巖石的潤濕性。巖石的總電導率可表示為[26]

(7)

聯立式(5)～式(7)，電阻率表達式為

(8)

式中Rw是地層水電阻率。Wei等[20]認為使用等效曲折度Te代替式(8)中的T更為恰當。Te的表達式為

(9)

圖1 不同潤濕性時電導率與含水飽和度的關系曲線

2 應用實例

研究區儲層孔隙度和滲透率較低，儲層巖性復雜、物性差、非均質性較強。對儲層特征研究的深度不夠，導致對儲層性質縱橫向的變化認識不足，使得油水層識別困難，限制了油氣勘探的步伐。因此，急需開展儲層電性及油水層識別方法的研究，為下一步開發和增儲增產提供技術支持。

確定含水飽和度的最準確和最可靠的方法是實驗測量，但缺點是樣品數量有限和測量成本較高。在測井解釋中，含水飽和度的計算仍然是一個難題，尤其對于富含有機質或導電礦物且具有低孔隙度和低滲透率的儲層。復雜儲層中巖石電性往往表現出Archie公式不能描述的現象，即非Archie特性。為了適應這類儲層飽和度評價的需要，以Archie公式為基礎的經驗性擴展模型已經得到了廣泛的應用[27-29]。無論哪種飽和度模型都有其優勢，但同時也存在一定的局限性。Archie公式只適用于孔隙結構比較簡單的純砂巖地層，參數涉及物性、巖性以及裂縫展布方向等，這些參數常由巖電實驗確定。

研究區儲層巖石呈油潤濕，即P=(Sw)2，由式(8)和式(9)可得

(10)

然而，使用上式計算得到的含水飽和度較巖心分析結果偏小，這種差異主要歸因于泥質導致電阻率降低。對上式乘以一個因子

(11)

可修正這種影響。這樣，含水飽和度的分形計算公式為

(12)

式中：Δtsh表示泥巖聲波時差，其值應從整個井段選??；膠結指數m的計算方法參照文獻[20]。根據式(12)就可以計算得到較為合理的儲層含水飽和度Sw。

在含水飽和度解釋中，將分形模型應用于研究區A井的實際資料處理，Rw取0.08～0.10Ω·m，結果見圖2a。由圖可見，基于分形模型的計算結果與實測含水飽和度的變化趨勢大致相同。

為了驗證估計參數的合理性，選擇鄰近B井同一層段、具有巖心分析資料的井段進行處理，結果見圖2b。由圖可見，基于分形模型計算得到的含水飽和度與巖心分析數據結果基本一致。

該區兩口井的應用結果表明，利用本文方法計算得到的含水飽和度可靠性高。

圖2 A井(a)和B井(b)基于分形模型計算的Sw曲線及巖心分析數據

3 結論與認識

儲層巖石孔隙的分形維數反映孔隙結構的復雜程度，孔隙結構的分形維數越大，則孔隙結構越復雜，非均質性也越強。本文在巖石孔隙具有分形特征基礎上，基于分形理論建立了導電模型，并對實際數據進行了處理。通過測井資料，可以直接求取孔隙度，據此可得到模型計算所需的參數。對研究區兩口井的含水飽和度解釋結果與實際巖心測試資料進行比較，二者的一致性較高，證明本文方法可計算得到較為準確可靠的含水飽和度數據，為有效儲層評價和生產開發提供了可靠依據。