VTI介質角度域疊前深度偏移

李 江 李慶春

(①中國煤炭科工集團西安研究院有限公司，陜西西安 710077； ②長安大學地質工程與測繪學院，陜西西安 710054)

0 引言

地球介質一般具有各向異性特征，其中VTI介質(具有垂直對稱軸的橫向各向同性介質)是一種常見的各向異性介質。在地震勘探中一般將各向異性視為速度各向異性，在研究區域構造時是可行的。隨著勘探目標體尺度的縮小，忽略地層各向異性影響的地震偏移成像導致目標區空間反射波歸位不準確，繞射波不能完全收斂，甚至產生構造扭曲或構造假象，嚴重降低了地震成像精度[1-3]。近年來，人們研究了VTI介質的偏移方法。例如：Alkhalifah[4]實現了VTI介質的相移偏移方法，但該方法無法適應介質速度的橫向變化；吳國忱等[5]實現了VTI介質廣義屏疊前深度偏移方法，但其中對各向異性頻散關系的近似使該方法僅局限于弱各向異性介質；韓建光等[6-7]提出了VTI介質高斯束疊前深度偏移方法，數值實驗表明，該方法不受各向異性程度的限制，能適應強各向異性介質。雖然高斯束偏移方法具有高效、靈活的優點，但成像效果明顯受速度橫向變化劇烈的影響，因此人們利用波動方程疊前深度偏移對復雜區精確成像。劉禮農等[8-9]發展了VTI介質波動方程最優分裂傅里葉偏移方法；程玖兵等[10-11]研究了qP波在各向異性介質中的傳播模式； Sun等[12]等發展了VTI介質逆時偏移方法；Zhang 等[13]提出了一種三維TTI介質純P波方程求解方法； Hua 等[14]、黃建平等[15]、朱峰等[16]發展了VTI介質和黏聲VTI介質的有限差分疊前深度偏移方法。但以上波動方程類偏移方法大多是在炮域實現疊前偏移，研究表明，在橫向變速劇烈情況下，共炮偏移生成的炮域共成像點道集在運動學和動力學上存在假象。為此， Hoop等[17]、Xu等[18]研究了角度域共成像點道集對射線多路徑問題的適應性，提出通過角道集的疊加成像可以避免構造假象，有效提高偏移剖面的成像效果。Stork等[19]進一步證明，基于波動方程偏移提取的角度域共成像點道集(ADCIG)不存在假象。Xie等[20]通過Gabor-Daubechies框架小波束域波場分解進行疊前角度域偏移； James等[21]通過波動方程偏移提取炮檢距域共成像點道集和ADCIG； Save等[22]提出一種采用波動方程偏移提取ADCIG的方法，將偏移過程和ADCIG計算過程分離，即在成像空間通過傅里葉域的徑向道變換計算出以入射角為參數的角道集，并對眾多提取ADCIG的方法進行了分類和總結。Biondi[23]討論了各向異性偏移的ADCIG；李振春等[24]、張敏等[25]對比、分析了單平方根和雙平方根偏移提取ADCIG的方法，并發展了保幅的角度域偏移成像方法。Tang等[26]發展了角度域平面波逆時偏移方法。由于ADCIG是目前唯一不存在假象的道集，因此在地震數據處理中具有優勢[27]。

本文研究了VTI介質角度域偏移方法，以各向同性雙平方根方程的角度域偏移方法為基礎，從VTI介質qP波頻散關系出發，推導出VTI介質角度域偏移的波場延拓算子，在頻率—波數域處理以橫向均勻速度傳播的波場，在空間域處理具有速度擾動特征的波場以提高波場延拓精度。斷層模型和Hess VTI模型測試結果表明：該方法不受介質各向異性程度的影響，可使地震波場準確歸位、繞射波收斂，從而對VTI介質精確成像；與各向同性偏移方法相比，該方法消除了各向異性效應對波場傳播的影響，明顯提高了成像精度；偏移生成的ADCIG避免了各向同性偏移方法使成像道集無法校平的缺陷，且具有更豐富的角度信息。實際資料的應用效果證實了本文方法的實用性。

1 VTI介質qP波頻散方程

VTI介質描述了由周期性的薄互層和平行排列的微裂隙引起的各向異性特征。在各向同性介質中，縱、橫波以各自的射線速度(群速度)獨立傳播。在VTI介質中，縱、橫波相互耦合，并且在一般情況下波的極化方向與傳播方向既不垂直也不平行，因此VTI介質中的縱、橫波又被稱為qP波、qSV波和qSH波，相互耦合的縱、橫波傳播波動方程為[28]

(1)

式中:U=(ux,uy,uz)T為波場位移，ux、uy、uz分別為U在空間坐標x、y、z的分量；ρ為介質密度；F=(fx,fy,fz)T為單位質量元素的體力，fx,fy,fz分別為F在x、y、z的分量；t為時間；C為VTI介質剛度矩陣；L為偏導數算子矩陣。

式(1)描述了VTI介質中各質點在不同時刻的位移情況和彈性波傳播規律。雖然式(1)的每一項都有明確的物理意義，但并沒有體現波在VTI介質中的傳播特性，如相速度、群速度或頻散，因此有必要推導體現波在VTI介質中傳播的特性方程。去掉式(1)的體力項，其平面波的解為

U=Aexp[ik(n·x-vt)]

(2)

(3)

其中

(4)

式(3)、式(4)中：Ax、Ay、Az分別為A在x、y、z的分量；kx、ky、kz分別為k在x、y、z的分量；c11、c66、c44、c12、c13、c33分別為C中不同位置的元素。

式(3)即為Kelvin-Christoffel方程，在數學上描述了本征值問題，是關于ρω2的一元三次方程。在VTI介質中，給定波場傳播方向，由式(3)得到3個相速度解，分別對應qP波、qSV波、qSH波。地震波在各向異性介質中傳播時縱、橫波是相互耦合的，在計算qP波垂直波數時，qSV波速度影響較小，可以忽略。為了從式(3)中分離qP波，令橫波速度為零，進行擬聲波近似[4]。將Thomsen各向異性參數VP0、ε、δ[29]代入式(4)，有

(5)

將式(5)代入式(3)求解，可得VTI介質qP波頻散方程，即

(6)

如果僅考慮xoz平面內的情況，求解式(6)可得二維VTI介質qP波垂直波數表達式

(7)

當ε=δ=0時，對應各向同性介質；當ε=δ≠0時，對應橢圓各向異性介質；當ε≠0,δ≠0且ε≠δ時，對應一般各向異性介質。

2 VTI介質角度域偏移成像

2.1 VTI介質中角度域偏移的波場延拓

本文的角度域偏移采用雙平方根(DSR)方程定義波場U的傳播特征，在頻率—波數域可表示為

(8)

式中:km、kh分別為中點、半炮檢距分量的波數；kz為同時包含炮點和檢波點的垂直波數，即

kz=kzs+kzg

(9)

由VTI介質的頻散方程得

(10)

式中kmh=(km?kh)/2，當kz=kzg時取正號，當kz=kzs時取負號。將式(9)、式(10)代入式(7)，可得VTI介質角度域偏移的波場傳播方程。在同一延拓層內假設介質縱波速度和各向異性參數不變，則可得對應的相移偏移波場延拓算子

U(km,kh,z+Δz,ω,ε,δ)=U(km,kh,z,ω,ε,δ)×

exp[iΔz(kzs0+kzg0)]

(11)

式中kzs0、kzg0為v=v0、ε=ε0、δ=δ0時的背景波數，可表示為

(12)

相移法適用于橫向均勻層狀介質。為了解決復雜構造的成像問題，本文借用雙域法的研究思路處理橫向非均勻VTI介質。將橫向非均勻VTI介質分解為橫向均勻的速度、各向異性參數及其擾動量，在頻率—波數域處理橫向均勻的速度及各向異性參數背景場，然后在空間域基于速度及各向異性擾動對波數域計算結果進行時移校正。

將速度及各向異性參數分解為背景場(·)和擾動場Δ(·)，其中背景參數由模型平滑而得，各參數的擾動量同樣包括炮點和檢波點兩部分。為方便推導，統一討論各參數炮點和檢波點分量，在實際計算過程中將其分開。各參數分量表示為

(13)

則VTI介質的垂直波數kz可分解為各向異性背景介質垂直波數kz0和擾動介質散射波場垂直波數kr

kz(x,z,km,kh)=kz0(z,km,kh)+kr(x,z,km,kh)

(14)

則

kr(x,z,km,kh)=kz(x,z,km,kh)-kz0(z,km,kh)

(15)

將kz、kz0在各向異性背景參數處展開，在小擾動假設下，忽略各向異性參數擾動的二階及以上項，整理后可得

kr(x,z,km,kh)=as(z,kmh)Δs(x,z)+

aε(z,kmh)Δε(x,z)+aδ(z,kmh)Δδ(x,z)

(16)

其中

而

根據各向異性相關理論可知：在各向異性介質波數展開式中，慢度擾動項Δs(x,z)主要影響低階次項，表現為對小角度傳播波場的影響，各向異性參數擾動項主要影響高階次項，表現為對高角度傳播波場的影響[5]。因此總的擾動介質垂直波數kr可由三部分組成

kr(x,z,km,kh)=kΔs(x,z,km,kh)+

kΔε(x,z,km,kh)+kΔδ(x,z,km,kh)

(17)

結合式(13)，可將VTI介質波場傳播算子P分解為背景波場的相移傳播算子PPS、慢度擾動傳播算子PΔs、ε擾動傳播算子PΔε和δ擾動傳播算子PΔδ。即

P=PPS+PΔs+PΔε+PΔδ

(18)

其中

PPS=exp(ikz0Δz)exp(iωΔsΔz)

PΔs= i[as(z,kmh)-as(z,0)]ΔsΔz×

exp(ikz0Δz)exp(iωΔsΔz)

PΔε=iaεΔεΔzexp(ikz0Δz)exp(iωΔsΔz)

PΔδ=iaδΔδΔzexp(ikz0Δz)exp(iωΔsΔz)

可以看出P為雙域傳播算子。首先基于速度擾動校正相移背景波場，還考慮了各向異性參數擾動對高角度入射波場傳播的影響，并對相移結果進行進一步補償，較好地提高了非均勻各向異性介質中波場延拓精度。

綜上所述， 將VTI介質角度域偏移的波場延拓過程分述如下。

(1)頻率—波數域相移。

U1(km,kh,z+Δz,ω,ε,δ)

=U(km,kh,z,ω,ε,δ)exp(iΔzkz0)

(19)

其中

相移處理實現了背景波場在VTI介質中的傳播。

(2)頻率—空間域時移。

U2(km,kh,z+Δz,ω,ε,δ)=U1exp[iΔzωΔs]

(20)

(3)頻率—空間域各向異性參數校正。

U(km,kh,z+Δz,ω,ε,δ)

=U2exp{iΔz[as(z,kmh)-as(z,0)]Δs+

aεΔε+aδΔδ}

≈U2{1+iΔz[(as(z,kmh)-as(z,0))Δs+

aεΔε+aδΔδ]}

(21)

校正由各向異性參數擾動引起的大角度入射波場傳播誤差。

2.2 成像空間的角度映射關系

波場延拓后，對成像空間的地震波場進行數據映射獲得角度域共成像點道集[22-25,30]。對于常速介質，反射波旅行時t為炮點、檢波點位置和成像深度的函數(圖1)，即t=t(z,s,g)。t對z求導，得

(22)

成像點局部半炮檢距射線參數可表示為

(23)

由以上兩式得

(24)

在頻率—波數域，有

(25)

式中kh和kz分別為局部半炮檢距波數和局部深度波數。式(25)即為成像空間炮檢距域向角度域的映射公式，將波場由kh—kz域變換到β—kz域。

圖1 常速介質中的射線傳播路徑示意圖

2.3 角度域成像

在完成每步波場延拓后，首先提取零時間非零炮檢距成像值，得到炮檢距域共成像點道集(ODCIG)，局部成像公式為

(26)

I(m,h,z)?I(m,β,z)

(27)

式中：“?”表示由炮檢距域向角度域的轉換；I(m,β,z)表示坐標(m,z)處的ADCIG，它是空間位置和入射角的函數，因此可以解決常規成像道集遇到的多路徑問題。通過上述方法獲得不同CMP點的ADCIG，將某一入射角范圍內的所有道集疊加便得到一定角度的疊前深度偏移剖面。

圖2展示了水平層狀模型ADCIG提取過程。首先使用局部成像條件獲得波動方程ODCIG(圖2b)，ODCIG在成像點深度聚焦為一個點；然后在頻率—波數域利用局部炮檢距和入射角的映射關系，將局部炮檢距轉化為角度信息，最終獲得ADCIG(圖2c)，ADCIG在成像點深度為拉平的直線，同時包含了豐富的角度信息，具有更高的信噪比和分辨率。

圖2 水平層狀模型ADCIG

3 模型測試

3.1 斷層模型

為了驗證VTI介質角度域偏移方法，設計了VTI介質模型(圖3)進行正演，圖4為正演記錄。由圖可見，炮集覆蓋范圍分別對應高速異常體和各向異性異常體位置，反射波較明顯，較好地反映了地下構造，但由于存在異常體及斷層，炮集記錄中同時存在嚴重的繞射波干擾。

圖3 VTI介質模型

圖4 正演記錄

以此數據為基礎，分別進行常規角度域偏移和考慮各向異性影響的VTI介質角度域偏移。圖5為各向同性、各向異性角度域疊前深度偏移剖面。由圖可見：①由于未考慮各向異性參數的影響，各向同性偏移成像效果相對較差，淺層高速異常體邊界成像模糊，分辨率較低；反映各向異性異常體的反射同相軸能量很弱，幾乎沒有反映下邊界；對于右側的斷層成像，斷點繞射波沒有完全收斂(圖5a)。②各向異性偏移提高了高速異常體的成像分辨率，邊界刻畫清晰；各向異性異常體成像能量增強，且明顯反映了下邊界；提高了斷層區域成像信噪比，斷點繞射波收斂較好，構造特征更清晰；深層反射波能量增強，提高了信噪比、分辨率，明顯改善了總體成像效果(圖5b)。

為了更直觀地展示各向異性偏移的優勢，分別提取具有典型構造特征位置處的ADCIG進行對比。圖6為由各向同性、各向異性偏移方法提取的ADCIG。由圖可見：①在兩個異常體位置處，各向同性偏移ADCIG同相軸無法校平，存在不同程度的向上彎曲(圖6a左、圖6a中)；各向異性偏移ADCIG同相軸較為平直，而且可觀測到更寬的角度范圍(圖6b左、圖6b中)。②在斷層處各向同性偏移ADCIG同相軸短小、彎曲、連續性較差，在局部區域還產生多組同相軸，出現構造假象(圖6a右)；各向異性偏移ADCIG同相軸平直，消除了同相軸假象，剖面信噪比大大提高，較準確地反映了真實的構造特征(圖6b右)。

圖5 各向同性(a)、各向異性(b)角度域疊前深度偏移剖面

簡單模型的成像測試證明了本文的VTI介質角度域偏移方法的可行性，可以處理VTI介質成像問題。

3.2 Hess VTI模型

為了進一步驗證本文的VTI介質角度域疊前深度偏移方法的成像效果，選取SEG 2D Hess VTI模型(圖7)進行偏移測試。圖8為各向同性偏移和VTI介質偏移剖面對比。由圖可見：①各向同性偏移雖然可以對模型進行構造成像，并可以刻畫各個界面，但成像分辨率較低，部分繞射波沒有完全收斂，深層同相軸能量較弱，特別是高速鹽丘體邊界成像模糊，并在鹽丘上部出現構造異常；無法對上部透鏡體正確成像，中、下部的透鏡體成像雜亂，分辨率較低；大斷層處存在斷面繞射波，成像位置出現偏差，整體成像效果較差(圖8a)。②VTI介質角度域偏移對各個層位的成像更清晰，清晰地刻畫了鹽丘底界面、三個透鏡體，大斷層的斷點清晰，斷點繞射波收斂較好，斷層位置更精確，明顯提高了剖面信噪比(圖8b)。圖9為透鏡體區域各向同性和各向異性偏移結果對比。由圖可見，各向異性偏移消除了構造假象，繞射波完全收斂，成像精度更高(圖9b)。

圖6 由各向同性(a)、各向異性(b)偏移方法提取的ADCIG

圖7 SEG 2D Hess VTI模型

圖8 各向同性偏移(a)和VTI介質偏移(b)剖面對比

圖9 透鏡體區域各向同性(a)和各向異性(b)偏移結果對比

Hess VTI模型測試結果表明，本文的VTI介質角度域偏移方法可以較好地處理復雜地質構造的成像問題。

圖10為各向同性和各向異性偏移提取的ADCIG。由圖可見：各向同性偏移的ADCIG同相軸無法完全校平，還殘留部分繞射波，信噪比和分辨率較低(圖10a)；VTI介質偏移的ADCIG同相軸較為平直，信噪比和分辨率較高，進一步說明VTI介質角度域偏移的可行性(圖10b)。

圖10 各向同性(a)和各向異性(b)偏移提取的ADCIG

4 應用實例

受各向異性參數建模技術的制約，VTI介質偏移方法在實際數據處理中存在困難。為了驗證本文方法對實際數據處理的適應性，將偏移速度分析獲得的速度模型作為各向異性偏移中的qP波速度，通過

(28)

求取各向異性參數ε、δ[15]。計算獲得的ε、δ最大值分別為0.45和0.36，在地球介質各向異性參數取值范圍內。將以上參數用于實際數據的VTI介質角度域偏移。圖11為各向同性偏移和VTI介質偏移剖面。

圖11 實際數據各向同性偏移(a)和VTI介質偏移(b)剖面

圖12 CDP560處提取的ADCIG

由圖可見，各向同性偏移與各向異性偏移結果的構造形態基本一致，但后者在成像細節方面有所改進(圖11b)，表現為：剖面左側斷點繞射波進一步收斂，斷層下盤反射波能量增強，斷面刻畫更清晰；剖面右側向斜區域成像清晰，中深層反射波能量得到增強，主要層位的反射同相軸連續性更好，提高了剖面分辨率。圖12為CDP560處提取的ADCIG。由圖可見，VTI介質偏移的角道集同相軸更平直，連續性更好，可觀測到更寬的角度范圍(圖12b)。

5 結束語

將VTI介質qP波的頻散關系引入雙平方根方程，以各向同性偏移的波場延拓為基礎，推導了VTI介質雙平方根偏移的波場延拓算子，考慮了各向異性因素對波場傳播引起的擾動，在波場延拓過程中進行頻率—空間域誤差校正。通過對延拓波場進行局部炮檢距成像和角度轉化，最終實現VTI介質角度域疊前深度偏移。

模型試算和實際資料處理結果表明：各向同性偏移方法由于未考慮各向異性參數的影響，繞射波不能完全收斂，波場聚焦效果差，降低了成像剖面的分辨率和信噪比，不能對地質構造精確成像；VTI介質角度域偏移可對斷層、鹽丘、小尺度地質體精確成像。對于角度域偏移產生的ADCIG而言，各向同性偏移的ADCIG同相軸無法校平，殘留斷點繞射波，波場無法正確聚焦，不能正確反映局部地質特征；VTI介質偏移的ADCIG同相軸較平直，角度范圍更寬，波場歸位準確，精度較高。因此，利用VTI介質角度域偏移方法可對復雜構造精確成像。