社會科學中的數學原理

世界上的事情看起來紛繁復雜，實際上很多事物背后都隱含著某些規律和法則。人們在生活中，總結出了許多聽上去簡單直白的基本法則和定律，細想起來卻是哲學家、經濟學家、心理學家思想和智慧的結晶。理解這些法則和定律，能讓我們學到很多數學知識，更可以幫助我們更好地理解生活中的許多現象呢！

酒與污水定律近朱者赤，近墨者黑

“酒與污水定律”說的是，假如把一杯美酒倒進一桶污水，得到的只能是一桶污水;反之，把一杯污水倒進一桶美酒，得到的同樣還是一桶污水。理解這個定律的關鍵，在于明白酒和污水的比例并不能改變這桶液體的性質，不管分量多少，只要有污水存在，加入再多美酒也無濟于事。

“酒與污水定律”是一條來自西方的管理學定律，我國也有許多同理的諺語，大家最熟悉的就是“一粒老鼠屎壞了一鍋粥”，還有“一塊臭肉壞了滿鍋湯”等等。

管理學家認為，在任何組織里，都存在著幾個難搞的人物，似乎他們存在的目的就是為了把事情搞糟。他們到處搬弄是非，傳播流言，破壞組織內部的和諧。最糟糕的是，他們就像果箱里的爛蘋果一樣，如果不及時處理，甚至會迅速傳染，讓果箱里的其他蘋果也腐爛掉。

我們以生活中的污水和自來水為例，從數學角度，通過計算的方式理解這件事。

案例生活中污水

人類的日常生活會產生很多污水，按其來源，污水可分為兩類：工業污水和生活污水。

工業污水主要是在工業生產中產生，不同工廠排出的廢水不一樣，但一般都包含很多重金屬和有毒的化學物質。生活污水則從生活中產生，主要來自廁所、廚房、浴室等。

不管是哪一種污水，都含有大量有機物和非常非常多的細菌。一般來說，生活污水中的寄生蟲卵數為222～2953個/升，大腸桿菌數量約為10（平方6）個/升～10（平方7）個/升。這些數字有多可怕呢？大家可以對比一下，我國對飲用水的細菌標準規定是：1毫升飲用水中細菌總數不超過100個;1升飲用水中的大腸桿菌數的數量不超過3個。（數據來自《生活飲用水衛生標準》GB5749-85）

根據酒與污水定律，假設我們將1毫升（大約一勺）污水倒入10升飲用水中，會得到～杯怎樣的水呢？已知污水中大腸桿菌數量約為10（平方6）個/升，飲用水中大腸桿菌的數量1個/升。1升污水中有大腸桿菌數量約10平方6個，那么1毫升污水中大腸桿菌的數量是1000個，10升飲用水中大腸桿菌的數量是1x10=10個。

1毫升污水倒入10升飲用水之后，體積和為10.001升，大腸桿菌的數量和變為1010個。由此可以算出平均每升水中大腸桿菌的數量：1010÷10.001=100（個/升）。

顯然.這個數量大大超過了飲用水的標準！根本不能喝。

這個簡單的估算只針對大腸桿菌的數量，其他的細菌和有毒物質也可以用類似的方法算出來?？傊?，用計算的方法可以證明，一杯污水的確可以污染掉一大桶美酒，酒與污水定律是對的。

二八法則抓住屬于你的20%

二八法則又名80/20定律，這個定律被廣泛應用于社會學及企業管理學中。

1897年，意大利經濟學家怕累托偶然注意到當時英國人的財富和收益模式，他從大量具體的事實中發現了兩項非常重要的規律：

第一項發現：財富在社會中的分配是不平均的，大部分財富流向了少數人手里，社會上20%的人占有80%的社會財富。

第二項發現：這種不平均現象到處都存在，并且會重復出現。

他發現，在當時和更早期的資料中，英國和同時代的其他國家都一再出現相同的模式，而且這在數學上也有相當的準確度。比如真理往往掌握在少數人手中，一個企業80%的利潤源于20%的項目，世界上20%的人手里掌握著全世界80%的財富，20%的人身上集中了人類80%的智慧等等。

后人給予這項發現許多不同的命名，例如怕累托定律、最省力的法則、不平衡原則等。二八法則的數學原理

“二八法則”向人們揭示了這樣一個真理，即投入與產出、努力與收獲、原因和結果之間，普遍存在著不平衡關系。小部分的努力，有可能獲得大部分的收獲;起關鍵作用的小部分，通常就能主宰整個組織的產出、盈虧和成敗。

二八法則給我們的一個忠告就是：應該把精力用在最見成效的地方。

二八法則無處不在，它就像人的影子，潛伏在生活的每個角落。我們看看下面這組數據。

※2016年9月出版的《現代漢語詞典》第7版，共收錄各類單字13000多個;根據教育部的規定，小學中學階段要求學生認識3500字。大家知道，高中生進行普通閱讀肯定是沒有問題的，也就是說，我們一生最常用的大概80%的漢字（3500×80%：2800）僅占字典總數的21%（2800÷13000×100%=21%）。

※根據美國經濟政策研究所的統計報告，1962年，美國1%最富有家庭的收入占所有家庭收入的21.2%，20%富有家庭的收入占所有家庭收入的80.4%;到2009年，美國20%富有家庭的收入更是占到全部家庭收入的87.2%。

※汽車發動機的作用是將汽油燃燒產生的能量轉化為動能，推動車輛前進。由此可以寫成公式：發動機的熱效率=車輛的動能÷汽油燃燒產生的總能量×100%。然而在實際生活中，汽油燃燒產生的能量中的80%是浪費掉了，只有20%能被車輛利用起來。

※統計顯示，2017年，全球所有國家的GDP總量約為80萬億美元。世界上GDP最高的前20個國家（美國、中國、日本、德國、英國、印度、法國、意大利、巴西、加拿大、韓國、西班牙、澳大利亞、俄羅斯、墨西哥、印度尼西亞、荷蘭、土耳其、瑞士、沙特阿拉伯）的GDP總和約為64萬億美元，占了全球GDP總量的80%。

被稱為“20世紀最大投資失敗”的銥星公司倒閉，也是被“二八法則”擊敗的典型事例。

1997-1998年，美國銥星公司發射了66顆人造衛星用于手機全球通訊，稱為銥星。這些銥星均勻分布在太空中的6條軌道上，每條軌道有11顆衛星。銥星公司的目標是讓人類實現5個“任何”，即任何人在任何地點、任何時間與任何其他人采取任何方式進行通信。

這樣的先進技術在當時簡直是舉世無雙，可就是這樣一個“天之驕子”，卻在投入運營兩年后不得不宣布倒閉。原因何在？除了運營方面的種種失誤，還有一個最重要的敗因正是它所追求的“覆蓋全球”的理想。我們來看下面這些數據：

※地球表面積5.1億平方千米，其中陸地為1.49億平方千米，占全球表面積的29.2%，其余71%為海洋。

※在地球陸地面積之中，有很多人跡罕至的地區，如終年冰雪的南極洲（0.14億平方千米），廣闊的沙漠地區（0.15萬平方千米），還有利用價值較低的高山和荒原等（0.4億平方千米）。

人們經過計算發現，地球表面至少80%以上是人跡罕至的海洋、極地和高山。為了將這些地域納入通訊網絡，銥星公司不但要發射大量衛星，還要負擔維護其運轉的巨額費用，但這些地方能產生的利潤卻微乎其微。這些成本最終只能由另外20%地區的用戶來負擔，這就造成銥星電話價格過高，無法和普通移動電話競爭，最后不得不以破產收場。

暈輪效應愛屋及烏的認知偏差

暈輪效應最早是由美國心理學家愛德華·桑代克于20世紀20年代提出的。他認為，人們對某個人的認知和判斷往往只從局部出發，就像日暈一樣，由一個中心點逐步向外擴散成越來越大的圓圈，最終由此得出整體印象，因此，暈輪效應也叫“光環效應”。

隨后，不少心理學家通過各種實驗，證明了這個想法的正確性。

比如在1974年，一些心理學家就做了關于暈輪效應的實驗。心理學家們選了60名男性來給一些論文打分，同時給他們看作者的照片。結果人們發現，這樣評出來的論文的分數和作者的外貌明顯相關。

在1到9的分數范圍內，針對同一篇寫得較好的論文，如果評分人看到的作者照片很漂亮，該論文能得到6.6分，如果評分人看到的作者照片不夠漂亮，該論文只能得到5.9分。同理，針對同一篇寫得不太好的論文，漂亮的作者能得到4.7分，不夠漂亮的作者僅能得到2.7分。

從上面這個例子可以看出來，如果作者長相漂亮，其他人會下意識認為她的論文更好些;如果作者長相不夠漂亮，那么論文的得分就要差一些。然而，論文的好壞和作者的長相是沒有關系的。

“暈輪效應”的特點就是以偏概全，在對不熟悉的人或者有嚴重情感傾向的人進行評價時，這種效應體現得尤其明顯。比如一個學習成績好的學生，老師和家長往往認為他是一個智力很高、聰明、熱情、靈活、有創造性的人。與之相反，如果一個學生在某一方面表現不好，不管是他成績不好還是喜歡調皮搗蛋，老師和家長往往認為他一無是處。

名人效應也是一種典型的暈輪效應。大家在生活中不難發現，商家喜歡選有名的歌星、影星來拍廣告，而很少選擇沒人認識的普通人。因為明星們相貌出眾，會讓觀眾覺得他們推薦的商品也很出色。

暈輪效應的數學原理

要更好地理解暈輪效應，我們先要理解什么是暈。

“暈輪”中的“暈”是一個天文學名詞，指的是太陽和月亮周圍有時會出現的一種光圈。有暈的時候，遠遠看上去，太陽和月亮好像擴大了許多。太陽的暈叫“日暈”，月亮的暈叫“月暈”。

※暈的成因

“暈”是一種比較罕見的天象。當氣溫變低時，在高空的大氣里有時會結出六棱柱的冰晶，如果太陽光或月光剛好射到它們，冰晶便以一種特殊的方式將光彎曲聚集，這樣便形成了暈。

暈分為內暈和外暈。內暈比較常見，它是圍繞太陽和月亮的22°的圓弧。這個22°是怎么得來的呢？假設從太陽到日暈畫一條線，作為一條三角形的底邊，觀察者站在三角形頂尖量出的角度就是22°。

外暈相比而言更少見，它有46°的弧，故稱為“46°暈”，內暈和外暈看起來像圍繞太陽和月亮的較大的圓圈。

※內暈和太陽的大小比

暈都在太陽外面，那內暈比太陽大多少呢？這還需要我們掌握一個概念：天體的視大小。

對站在地球上的我們來說，天體的視大小就是從被觀察的天體的兩側引向我們眼睛的兩條直線間的角度的大小，這個角度也稱為“天體的視角”。

也就是說，天體的視大小和你距離天體的距離有關。那么，我們站在地球上看太陽的視角有多大呢？這句話用幾何語言來說，就是計算如下問題：在一個半徑1.496億千米（地球和太陽的平均距離）的圓上，太陽的直徑139萬千米這段弧對應的圓心角是多少度？用公式計算很簡單：

139÷（15000×2×3.15）×360°=0.53°

站在地球上看月球，月球的視大小是多少呢？我們也可以計算一下。月球和地球的平均距離是38.4萬千米，月球的平均半徑是1738千米。同理可以算出：

1738×2÷（384000×2×3.14）×360°=0.52du3

我們驚訝地發現，太陽和月球的視大小差不多：這是因為太陽的直徑差不多是月球的400倍，同時，地球與太陽的距離也是地球與月球距離的390倍（很接近400倍），所以在地球上看起來兩者大小差不多。

對比一下，內暈的視角是22°×2=44°，可太陽的視角只有0.53°，44°比0.53°大許多，內暈看上去可謂十分醒目了。