巧用圖像特征解高中數學函數題

摘要：高中數學題目的抽象性導致其解題難度明顯地增加了，在實際解題的過程中，多選擇數形結合的方法，能夠降低解題的難度。結合函數圖像來解題，不僅能夠提高解題效率，還能夠培養自身的邏輯思維能力。本文以高中函數解題中圖像特征的應用為主要研究內容，通過幾個典型的例題分析，對其具體應用思想進行介紹，以期能夠加深高中生對圖像特征解題的認識。

關鍵詞：圖像特征;高中;數學;函數

在高中階段的函數解題過程中，為降低題目的難度，提高解題的效率，我們多采用數形結合這一方法解題，在此過程中，需要明確圖像與函數之間的對應關系，從而保證解題過程的正確。

一、圖像特征與函數定義區間內的根

函數最為重要的參數就是定義區間，尤其是對于三角函數來說，為避免范圍的擴大，多選擇定義區間內的函數關系進行研究。因此，在函數的定義區間內，通過數形轉換的方式，結合圖像特征對函數進行描述，能夠有效地提高解題效率。

例1：方程sin2x=sinx，x∈（-∞，+∞），求在區間[0，2π]上，該方程的解的個數。

解析：通常來講，我們求方程解的個數，除需要結合定義區間之外，還要通過判定公式確定其根的個數。但是，這里的方程sin2x=sinx并不是通用方程，因此，無法通過常規的判定公式來進行求解。此時，我們就可以利用數形結合的方法，其中sin2x與sinx在同一平面直角坐標系中，通過判定區間[0，2π]內兩者交點的個數，即可得sin2x=sinx的解的個數。

解：令y1=sin2x;y2=sinx，在平面直角坐標系中繪制y1、y2在區間[0，2π]中的圖像如圖1所示：

由此可以看出，在區間[0，2π]內，曲線y1與y2共有5個交點。

即：方程sin2x=sinx在區間[0，2π]內解的個數為5。

二、圖像特征在函數最值中的應用

在眾多的函數題目當中，能夠通過圖像特征解題的還有函數的最值，在實際解題的過程中，利用函數圖像能夠大大地減少解題的步驟，進而提高解題效率。

例2：在平面直角坐標系中，有三個點A、B、C，三點坐標分別為（1，m+2）、（m+1，5）、（m+2，m+3），且m>0，其中，A、B、C為由右至左一次排列，如果|AB|+|BC|的值最小，那么，A、B、C坐標中對應的m值應當是多少？

解析：在該題目中，應用常規解題方法，則需要進行如下計算：

直接對d的最小值進行計算，難度較大，且需要進行一系列的驗證。因此，不宜使用常規方法，而采取圖像特征法解題，能夠降低題目的難度。

解：如圖2所示：

由圖可得，A、B、C三點之間的連線距離最短，此時應保證B點在線段AC的連線上，也就是線段AB與線段AC的斜率相同，由此可以得到以下關系式：

其中，kAB=kBC，即 。

經計算得m1=1或m2=-，由于m>0，因此，滿足條件的只有m=1。

三、圖像特征在函數證明題中的應用

證明題由于給出的已知條件有限，大多數條件都需要通過變形、轉換、代入等方式獲得，因此，證明題的解題技巧使用得較為靈活，其中也包括了圖像特征。

例3：已知0

解析：由題目中的已知條件可以看出，該題目能夠利用的信息極為有限，證明不等式需要考慮的影響因素較多。所以，這里需要進行已知條件的轉換，并在轉換過程中結合數形關系，從而求證。

解：設輔助函數f（a）=a-a2，通過變形后可得：

根據該函數可知，其對稱軸為，最大值為，在區間（，+∞）上為單調遞增函數，且b

即：，化簡后得 。

由于 ，所以，。

四、總結

在高中函數的解題過程中，圖像特征是一種常用的方法，在利用數形結合的同時，結合函數圖像的基本性質，我們可以發現題目中各種已知條件與問題之間所存在的規律。然而，圖像特征的適用具有一定的前提條件，對于作圖難度較大的題目來說，則不適用于此方法。因此，在函數解題的過程中，我們還應當分析圖像特征這一方法的應用前提。

參考文獻：

[1]探究數形結合思想在高中數學教學中的應用[J].馬玉武.中國校外教育.2016 （35）

[2]數形結合思想方法在高中數學教學中的應用研究[J].張必榮.中學生數理化（學研版）.2015 （12）

[3]數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析[J].朱士波.課程教育研究.2015 （34）

作者簡介：陳嘉鋮（2001.4）男，民族：漢，學校：河南省實驗文博學校。