高中排列組合解題技巧研究

摘要：本文主要圍繞高中排列組合問題進行研究討論，旨在充分了解排解組合的解題技巧和排列組合的類型題目，為以后學好概率論和數理統計知識打下堅實的基礎。排列組合類型的題目相對來說比較簡單，也很易于理解，因此其也是考生比拿分的題型，但想全面掌握也是比較困難的，因為在高中數學教材中，排列組合的問題類型相對來說較多，題目和紛繁多樣，而對于考生來講，在解答此類問題時往往會因為沒有分清題目，錯用解題方法而導致題目解答錯誤。本文就高中排列組合問題的類型進行歸納和總結，目的在于將高中課程中涉及到的排列組合問題進行研究和歸納，為今后在解題和高考中遇到問題能夠第一時間快速準確的找到解決問題的關鍵和方法，從而提升解題能力，培養學習數學的興趣，并在高考中取得良好的成績。

關鍵詞：排解組合;相鄰問題;相隔問題;定序問題

引言：

通過學習高中教材和閱讀課外知識我們可以了解到，在高中數學習題中或者是高考數學常見排列組合問題有相鄰問題，相離問題，定序問題，元素相同問題，圓排列問題等等。而對這些問題常見的解題技巧有捆綁法，插空法，空位法，隔板法。選取哪一種方法去解決問題是關鍵，也是我們要討論的目的所在，因為在解答排列組合題目的時候一定要先判斷清楚題目的類型，再選擇使用什么解題方法，只有這樣才能正確的解決問題，不然如果用錯解題方法，將很容易算出一個錯誤的答案。下面對具體問題進行分析：

排列與組合都是計算從N個元素中任取R個元素的取法總數公式。其主要區別在于，如果不講究取出元素間的次序，則用組合公式，否則用排列公式[1]。

一、相鄰問題（捆綁法）

相鄰問題是常見的一類考試題目，常常出現在高考的選擇題中，以2兩種元素為例子（當然在考試的過程中可能出現兩個或者兩個以上的元素相鄰問題），此類問題有一個及其明顯的特征，即要求元素A和B在排位時要在一起[2]。面對這類問題時，最簡單的考慮方式就是就要把元素A和B捆綁到一起作為一個整體的元素C來進行考慮，也就是將元素C與其它的元素進行排列組合，再按照排列組合的公式進行解題即可，在解決此類問題的過程中，根據題目的要求，要充分考慮和注意元素A和B的位置是否可換。下面舉兩個例子：例子1：有ABCDE五個元素，進行排列組合，要求AB相鄰，問有多少種排列方式？解答：利用捆綁法我們知道，考慮問題的時候把AB考慮為一個元素，即AB整體看成Q，所以原題可以看作為QCDE的排列組合，所以原題的結論為。這就是捆綁法在常見題目中的一種應用。例子2：上述的原題如果考慮AB兩個元素的位置關系，那么AB兩個元素的位置關系只能是AB和BA所以，上述例題將AB元素的位置關系考慮在內的話，就是。

二、相離問題（插空法）

相離問題和相鄰問題一樣也是排列組合經常考查的題目之一，以2種元素為例子（當然在考試的過程中可能出現兩個或者兩個以上的元素相離問題），這一類問題的特征就是要求A和B不能排在一起。當遇到這種問題時，就要將A和B抽出來，剩下的元素進行排列組合，那么開頭、結尾及每兩個元素之前就會留下一個空，接下來將A和B分別插入這些空里即可。舉例子說明和分析，例子1：還以ABCDE，5個元素進行討論，討論AB不排列在一起的情況，那么就是將元素A和B提取出來，將CDE進行全排列，，CDE元素形成的空檔加上首尾一共是四個空檔位置，也就是將A和B填充到這四個空檔位置中，即，所以原題可以得到。

三、定序問題（空位法）

定序問題在排列組合中也是比較普遍的一個考點，但是它不會單獨作為考點被考查，而一般是放到其他題目中，作為一個小考點去考查。定序問題一般是指在排列時某幾個元素的相對位置已經確定了，還以兩個元素為例子，比如要求元素A排列在元素B前面，那么A和B就不需要進行排列只需要找到它們的位置就好。那么就可以把A和B空出來如一共有n個元素，將剩下的（n-2）個元素進行排列就可以了，排法就是 。

四、元素相同問題（隔板法）

常見形式就是有m個相同元素，要分成n份。因為要求每一份中至少有一個元素，所以可以將m個元素先排成一排，每兩個元素之間剩下一個空，用（n-1）塊板插入這（m-1）個空中，就可以完成了，所有的分法數就是。針對這類問題，還有一種解決辦法，在給定的題目中，我們了解到要求每一份中至少有一個元素，那么我們就先在每一份中都放入一個元素，剩下的m-n個元素再進行隨機分配，也可以解除此題。例子：假設有6個乒乓球，要分成3份，那么利用上述的第一種方法，可以求得結果，求得結果等于10種;那么利用第二種方法可以得到，每一個份里面必然有一個乒乓球，那么剩余的乒乓球就是6-3=3個，將剩余的3個球隨機放入三份中，那么就有。所以原題可以求出。

通過這個例子我們可以看出，解決高中數學中的排列組合問題的方法不只是一種，而是很多種，所以在平日的習題訓練過程中，我們要充分找到解題思路和解題方法，只有這樣才能迅速找到解題的有效途徑，獲得事半功倍的解題能力。

五、圓排列問題（直排法）

圓排列問題也是排列組合中常見的考點之一，圓排列的考查點在于首尾相接的問題，當題目中出現圓桌，穿成項鏈之類的字眼時，就表示此類問題是圓排列問題。在解決圓排列的問題中，不妨找出一個點，將這個點固定，然后在這條直線上進行排列，又因為圓首尾相連，所以會出現重復的情況，最后除去重復的情況即可，計算式為 。

六、結束語

排列組合問題雖然說在高考中所占的比重不是特別大，知識點學起來也不是特別困難，但是要想學好學會弄懂，卻要下一定的功夫，針對具體的排列組合問題要找到相應的處理方法。只有這樣才能的解決排列組合的問題。從而在高考中取得良好的成績，并為學習好概率論和數理統計知識打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]茆詩松 程依明 濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].高等教育出版社.2004

[2]徐輝梅.高中數學排列組合解題技巧研究[J].高中數理化.2014 （22）：7-7

作者簡介：劉宗雨（2000.10）男，民族：漢，學校：河南省鄭州市第七中學。