高中數(shù)學(xué)一題多解、開(kāi)拓思維的探究

周坤

摘 要：一題多解，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維思考，充分體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)注重思維能力考查的要求，從不同角度出發(fā)，不拘形式、不局限一種途徑，作出合乎條件的多種解答，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考，敢于探究、敢于創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。完善知識(shí)思維結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思維，解題體系。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)16字方針：“理解概念，玩轉(zhuǎn)公式，分析能力，解決能力”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；一題多解；創(chuàng)新能力；解題體系

一、一題多解，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)體系

一題多解以點(diǎn)帶面，用一題多解來(lái)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，數(shù)學(xué)里面的概念、判斷、推理成分很多，具有很強(qiáng)的邏輯思維能力要求，對(duì)學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)全面性、系統(tǒng)性有著很高的要求，不是靠一知半解就能達(dá)到這個(gè)要求的。而要幫助學(xué)生構(gòu)建全面的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，除了做一些典型的習(xí)題、大量的習(xí)題之外，還要對(duì)同一道數(shù)學(xué)題目進(jìn)行多方面的解剖，用發(fā)散性思維思考問(wèn)題，這樣便可以幫學(xué)生形成系統(tǒng)性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。一題多解，深刻的理解，以點(diǎn)帶面，構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。所以，在倡導(dǎo)一題多解的時(shí)候究，典型例題往往具有綜合性和概括性，對(duì)于學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的形成具有不可估量的作用。

二、一題多解，完善數(shù)學(xué)思維能力

條條大路通羅馬，解題方法多種，一種解題方法對(duì)應(yīng)一種思維方式。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程。這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷。一題多解的數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨(dú)特的作用。

1.拓寬學(xué)生的思維空間。在解題時(shí)，要經(jīng)常注意從不同的方面，探求解題途徑，以求最佳解法。學(xué)生創(chuàng)造思維的空間。一題多解的核心是開(kāi)放學(xué)生的思維、是拓寬學(xué)生空間的具體形式。

2.利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。創(chuàng)造性思維，它要求學(xué)生憑借自己的知識(shí)水平能力，對(duì)某一問(wèn)題從不同的角度，不同的方位去思考、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，特別是創(chuàng)造性思維，它是思維過(guò)程中的最高境界。應(yīng)充分挖掘教材中的智力因素，多啟發(fā)、多引導(dǎo)，努力創(chuàng)造條件，從各個(gè)角度去分析思考問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的求異思維，以創(chuàng)新的機(jī)會(huì)，使其創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。

三、一題多解，培養(yǎng)分析、解決、創(chuàng)新能力

解題就是思考的過(guò)程，一題多解就是對(duì)已知條件，問(wèn)題的分析著手，分析已知條件不同的方向，從而達(dá)到不同思路方法，不斷的思考，不斷的創(chuàng)新從而達(dá)到不同的解決方案，一題多解是分析、創(chuàng)新、解決問(wèn)題能力的直接體現(xiàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，先有分析能力再有解決能力，然后才是創(chuàng)新能力，它是對(duì)學(xué)習(xí)的一種升華、一種層次、一種境界。

一題多解實(shí)例（一題七解）

例題：已知x，y∈R+且[1x+9y=1]，求[x+y]的最小值。

法一：均值不等式法

∵[x]，[y∈R+]，∴[1=1x+9y≥6xy] （1）

（當(dāng)且僅當(dāng)[1x=9y即y=9x時(shí)取等號(hào)]）

∴[xy≥6]，又[x+y≥2xy] （2）

（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)）

∴[x+y≥12] （3）

∴x+y的最小值是12

法二：1的妙用

∵[1x+9y=1]，∴x+y=（x+y）（[1x+9y]）=10+[yx]+[9xy≥16]

（當(dāng)且僅當(dāng)[yx]=[9xy時(shí)，即x=4，y=12時(shí)取等號(hào)]）

又如a，b，c[∈R+]，a+b+c=1，求證（[1a-1]）（[1b-1]）（[1c-1]）[≥8]。

再如a，b，c是不等正數(shù)且abc=1，求證[a+b+c<1a+1b+1c]。

法三：構(gòu)造x+y不等式法

由[1x+9y=1得x-1y-9=9≤x+y-1022可得]

變式：已知x+xy+4y=5（x，y∈R+），求xy取值范圍。

法四：換元后構(gòu)造均值不等式法

由[1x+9y=1得y=9+9x-1（x>1）]

所以[x+y=x+9+9x-1=10+x-1+9x-1≥16]

（當(dāng)且僅當(dāng)x-1=[9x-1即x=4時(shí)取等號(hào)]）

法五：用判別式法

由[1x+9y=1得y=9xx-1x>1]

令x+y=z，則[z=x+9xx-1=x2+8xx-1]

得關(guān)于x的二次方程[x2+8-zx+z=0]

可由[△=8-z2-4z≥0且z-8+8-z2-4z2>0]

解得z的范圍從而得到x+y的最小值。[在此處鍵入公式。]注意實(shí)根分布情況討論。類似地，如2x+y=6，求[1x+1y]的范圍也可用判別式法。

法六：三角代換法

令[1x=cosθ2]，[9y=sinθ2]

則[x+y=secθ2+9cscθ2][=10+tanθ2][+9cotθ2≥16]

變：00，b>0，則[a2x+b21-x]的最小值。

法七：導(dǎo)數(shù)法

[z=x+9+9x-1x>1]，[z'=0]中，[x=4]

（在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)，此極值必為最值）。

四、后記

我們可以看出，落實(shí)解題后反思，對(duì)數(shù)學(xué)思維的提高，由知識(shí)變成一種能力可取之法，由一題多解、一題多變的訓(xùn)練，不僅是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和強(qiáng)化，更能拓展、深化解題思路，探究解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和思維品質(zhì)，就是一種學(xué)習(xí)能力， 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，用一種方法去解答一道題目，這是初級(jí)階段；去學(xué)習(xí)用多種方法解答一道題目，這是中級(jí)階段；自己可以去探索用多種方法解答一道題目，這是高級(jí)階段。本文就是想對(duì)同學(xué)們以及愛(ài)好數(shù)學(xué)的朋友們?cè)诮怏w思路上能有一個(gè)突破，研究數(shù)學(xué)，突破自己。

參考文獻(xiàn)

[1]許興華.一題多解與一題多變，在培養(yǎng)學(xué)生思維能力應(yīng)用.

[2]王光賢.談?wù)剶?shù)學(xué)問(wèn)題中的一題多解.