探求多維視角 踐行一題多悟

繆凌穎

數(shù)學(xué)的教研活動(dòng)一直以來(lái)都是數(shù)學(xué)教師成長(zhǎng)的最佳途徑之一，因此如何促進(jìn)教師的專業(yè)成長(zhǎng)應(yīng)該也必然成為教研的主題，眾所周知，解題析題不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展的主要形式，更是數(shù)學(xué)教學(xué)的主體之一，近年，隨著中考試卷的難度增加，如何優(yōu)化解題教學(xué)路徑是廣大數(shù)學(xué)教師共同思考的一個(gè)問(wèn)題，因此筆者所在的學(xué)校數(shù)學(xué)組經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期深入研究，提出“類型化選題一切題點(diǎn)分析一多思多悟一橫縱深推進(jìn)”教研活動(dòng)模式，旨在提高教師深入思考題目立意，挖掘背后的思想方法，引導(dǎo)教師從提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度深度剖析數(shù)學(xué)問(wèn)題，解題教學(xué)時(shí)展示思維過(guò)程，提高中考復(fù)習(xí)的效率，本文以一個(gè)案例說(shuō)明教研活動(dòng)模式和對(duì)解題教學(xué)研究的一些理解.

1 選題背景

解題是每個(gè)數(shù)學(xué)教師必須磨練的基本素養(yǎng)，學(xué)校教研組平常要求教師多解題、多研究，提前一周選定主題和主講人，試題選取標(biāo)準(zhǔn)以“試題背景”“研究?jī)r(jià)值”為主要參考，主講人應(yīng)說(shuō)明試題背后的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.1 原題呈現(xiàn)

（2018年寧德市質(zhì)檢.24）如圖1，在AABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊向右側(cè)作等腰直角AADE，其中∠ADE= 90°.

（1）如圖2，G，H分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DG，AH，EH.求證：AGD∽AHE;

（2）如圖3，連接BE，直接寫出當(dāng)BD為何值時(shí)，ABE是等腰三角形;

（3）在點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求ABE周長(zhǎng)的最小值.

1.2 入選說(shuō)明

本題入選是基于以下幾個(gè)方面的思考：首先，這是一道幾何動(dòng)態(tài)壓軸題，綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)面廣，包括相似、等腰三角形、對(duì)稱、勾股定理等;其次，背后的數(shù)學(xué)思想方法多，包含轉(zhuǎn)化、變換、構(gòu)造、分類討論、解析法等;第三，解法靈活多變，可多角度切入思考，發(fā)展發(fā)散思維，本文重點(diǎn)談第（2）、（3）問(wèn)，它們分別屬于等腰三角形的分類問(wèn)題和運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)的路徑問(wèn)題，從各地市的模擬卷和中考卷來(lái)看，這類問(wèn)題已成為命題的關(guān)注點(diǎn)，因而對(duì)此類問(wèn)題的解題通法研究和拓展富有意義和研究?jī)r(jià)值.

2 巧思妙解，集思廣益

教研活動(dòng)時(shí)，組長(zhǎng)把選題發(fā)給組員，要求大家在限定時(shí)間內(nèi)解題，并在黑板上寫出自己的思路，分享體會(huì)，鼓勵(lì)大家從通性通法、特殊巧解、合理變式、教學(xué)思考這四個(gè)角度去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.

2.1 借助勾股，尋找思路

通過(guò)對(duì)（2）問(wèn)的分析，我們得出解題關(guān)鍵是對(duì)ABE是等腰三角形哪兩邊為腰進(jìn)行分類討論，如何通過(guò)設(shè)元借助勾股定理合理地表示三角形的三條邊呢？看似思路簡(jiǎn)單，卻蘊(yùn)含著大量的計(jì)算，但不失為一種解決問(wèn)題的通法，EH為線段AB的垂直平分線，則直線EH必過(guò)點(diǎn)G，

∴當(dāng)BD=O或√2或2√2時(shí)，MBE是等腰三角形.

研習(xí)與反思這是針對(duì)當(dāng)BE= AE時(shí)的一種巧妙的解題思路，利用垂直平分線的判定定理將（1）、（2）兩小題聯(lián)系在一起，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的結(jié)論進(jìn)行求解.

2.3 再探距離，以直代折

如何求解第（3）問(wèn)呢？已知AB=4，則只需思考何時(shí)BE +AE最小，

思路1 由第（2）問(wèn)的解法1知：

研習(xí)與反思由設(shè)元將幾何問(wèn)題代數(shù)化，利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義來(lái)解決最值問(wèn)題，在初中階段兩點(diǎn)間的距離公式是教學(xué)的良好補(bǔ)充，教師可用此法來(lái)開拓思路、引發(fā)問(wèn)題探討，問(wèn)題1：為什么x=√2呢？此時(shí)若作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)A，如圖7，是否有B，E，A三點(diǎn)共線呢？問(wèn)題2：連接CE，CE是否垂直平AA呢？問(wèn)題3：點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？如何證明呢？

研習(xí)與反思以上解法主要分兩個(gè)步驟，先證點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡在一條確定的直線上，再利用“將軍飲馬”模型來(lái)解決問(wèn)題，這說(shuō)明本題最大的難點(diǎn)在于探究點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，但此法是點(diǎn)E在直線BC的下方，若點(diǎn)E在直線BC的上方呢？注意到ACE∽AHD仍然成立，所以∠ACE =∠AHD= 90°，即點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是在一條確定的直線上，如圖9，觀察圖形會(huì)發(fā)現(xiàn)∠ACE=∠ADE= 90°，聯(lián)想到直徑所對(duì)的圓周角為直角，因此A，D，C，E四點(diǎn)共圓，能否由四點(diǎn)共圓來(lái)證明呢？

研習(xí)與反思在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中又伴隨著角度的不變，往圓周角方面去思考往往有柳暗花明的感覺(jué)，盡管在考綱中對(duì)四點(diǎn)共圓的要求有所淡化，但從各地的模擬卷、中考卷中均有不同程度的體現(xiàn)，

研習(xí)與反思也可直接設(shè)E（x，y），去尋找點(diǎn)E橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系，或者過(guò)直角頂點(diǎn)D構(gòu)造出“K”型圖來(lái)求取點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而確定E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，建立直角坐標(biāo)系可以實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)問(wèn)題的完美轉(zhuǎn)化.

2.4 回歸本質(zhì)——旋轉(zhuǎn)位似

回顧各類解法，重新審視E點(diǎn)的軌跡，它的形成過(guò)程是由D點(diǎn)來(lái)決定的，每一個(gè)E點(diǎn)都是由D點(diǎn)繞著旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)450再按1：√2位似放大得到，而D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條線段，因此E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是一條線段，且點(diǎn)E經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)一定是點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)的√2倍，這是用一種函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)刻畫圖形的運(yùn)動(dòng)變化.

3 精心變式，觸類旁通

合理變式是走出題海的最好辦法，緊緊抓住題目的核心知識(shí)改變其外在形式，對(duì)題目進(jìn)行充分拓展，挖掘其內(nèi)在本質(zhì)，才可以真正做到觸類旁通，培養(yǎng)發(fā)散思維和創(chuàng)新精神，同時(shí)也可以提高教師的命題水平，

變式1改動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，如圖12，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，CD⊥AB于D，P是CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角PBE，連接DE，求DE的最小值，

研習(xí)與反思由思路2的解答想到，連接AE，易證ABE∽CBP，則∠BAE= 45°，所以E點(diǎn)在直線AE上運(yùn)動(dòng)，考慮垂線段最短和中位線的相關(guān)知識(shí)，得出DE的最小值為2.

變式2改等腰直角三角形為矩形，如圖13，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P，E分別是線段AC，BC上的點(diǎn)，且四邊形PEFD為矩形，求在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)F經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，變式2和變式1類似，只不過(guò)相似的證明稍有不同（但在原題的解法中均有呈現(xiàn)），有興趣的讀者不妨試一試.

4 解而思教，悟道有方

4.1 以知識(shí)為載體的素養(yǎng)思考

以旋轉(zhuǎn)相似為背景的壓軸題，往往和四邊形、三角形、圓、函數(shù)等知識(shí)綜合，結(jié)合其他代數(shù)、幾何知識(shí)來(lái)命題，既讓圖形問(wèn)題生動(dòng)有趣又富有數(shù)學(xué)味，又是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體和培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的良好契機(jī)，圖形的變換問(wèn)題要求抓住圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)的不變量，從點(diǎn)、線、面著手，把握變化規(guī)律，將其中的數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來(lái)，這要求教學(xué)要時(shí)時(shí)關(guān)注到學(xué)生的知識(shí)能力，關(guān)注知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注思維層次，關(guān)注核心思想和素養(yǎng).

4.2 復(fù)習(xí)建議

近年來(lái)，以圖形的運(yùn)動(dòng)為命題角度的中考數(shù)學(xué)試題在各地市已經(jīng)屢見(jiàn)不鮮，因此，在復(fù)習(xí)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，并運(yùn)用這些基本性質(zhì)來(lái)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，特別是積累各類基本模型，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，以數(shù)學(xué)基本思想為指導(dǎo)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，提高學(xué)生解決與圖形有關(guān)的問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、敏捷性、靈活性，在具體實(shí)施過(guò)程中，建議借助方格紙來(lái)幫助學(xué)生操作圖形的旋轉(zhuǎn)，同時(shí)厘清圖形運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)是一個(gè)點(diǎn)的集合進(jìn)行同樣的圖形變換，前后的圖形之間的各種對(duì)應(yīng)關(guān)系往往是解題關(guān)鍵，有條件的課堂教學(xué)可以結(jié)合幾何畫板進(jìn)行模擬操作，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的每個(gè)時(shí)刻圖形又都是相對(duì)靜止的，這些靜止時(shí)刻的圖形和原圖形又有哪些不變性.

4.3 自省內(nèi)化

以說(shuō)題為載體的研修活動(dòng)，要求教師在解題之后反思思維過(guò)程，暴露思維局限，在交流中學(xué)習(xí)新的思考角度，優(yōu)化解題方法，歸納解法共性，這對(duì)解題能力的提高和經(jīng)驗(yàn)的積累大有裨益，同時(shí)研修活動(dòng)也將教師置于學(xué)生的同等情境，體會(huì)解題的樂(lè)趣和成就感，只有這樣課堂教學(xué)中才能更合理地說(shuō)明“為什么這樣思考？”、“這些思考是基于什么背景？”久而久之，學(xué)生在解題過(guò)程中也會(huì)學(xué)會(huì)反思，提高自身的反省能力.

參考文獻(xiàn)

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