GGB軟件在設置動態幾何問題中的應用——以特殊位置問題為例

曾飛鵬

GeoGebra（GGB）是數學教授MarkusHohenwarter創建的免費動態教學軟件，能將幾何（Geometry）與代數（Algebra）以直觀、易用的方式集于一體，其功能強大，操作簡單，資源豐富，能夠在電腦、平板、手機等設備上運行，占用空間小，被廣泛應用于數學、化學、物理等學科教學.

動態幾何是初中數學重要的教學內容，也是每年中考的壓軸問題，以近年廣東省中考為例，動態幾何問題常常在中考中以幾何圖形中的動點、平移、旋轉、折疊為背景，考察線段、面積的最值，以及運動過程中的特殊位置問題等，因此動態問題是初三復習重要專題，由于動態幾何題目信息量大，有一定難度，若一堂課講多道題，則只能就題講題趕速度;若一堂課只講一道題，則課堂效率低下，那么，充分利用題干，進行變式教學，顯得尤為重要，而進行變式教學的關鍵是能編制出有代表性的例題，設置出恰當的問題，好的問題既能給學生以方法上的指引，又能引發學生探究問題的興趣，還能培養學生舉一反三的能力.GGB軟件的動畫功能，能幫助教師、學生通過數學實驗，更好的發現數學問題，從而有效提高動態幾何教學的效率.

本文在《在平板上利用GGB軟件探究動態幾何問題》課題組研究的基礎上，以課題組公開課《動態幾何中的特殊位置問題》的備課歷程為例，簡述利用GGB軟件的動畫功能設置動態幾何中的特殊位置問題.

例題如圖1，在矩形ABCD中，AB= 6cm，BC= 8cm，對角線AC，BD交于點O.點P從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為lcm/s，同時，點Q從點D出發，沿DC方向以相同速度運動，連接PO并延長，交BC于點E，過點Q作QF∥AC，交BD于點F.設運動時間為f（s）（0

本題原型為2016年青島中考題，若只就題講題，則課堂會略顯單調，學生所學的思想方法不能及時加以應用鞏固，不妨將本題作如下幾方面思考研究：

1 與面積有關問題

以廣東省中考為例，壓軸題通常會在動態幾何背景下，考查二次函數相關知識，而動態幾何與二次函數相結合的問題中，面積問題又是最常見的考題，哪些三角形面積可表達為關于某個自變量的二次函數形式呢？怎樣巧妙設問，才能達到預設效果呢？對于這些問題，GGB軟件可以很快解決，如圖2，選定點P，E，Q，構造APEQ，輸入（距離（A，P），面積（P，Q，E）），得到以t為橫坐標，PEQ的面積為縱坐標的點，，跟蹤點，的軌跡，可以得到APEQ的面積關于t的函數圖象，依據圖像，可以發現PEQ的面積是關于t的二次函數，符合中考考查題型，在此基礎上，教師可根據實際情況，設置各種與函數最值有關的，或者與方程的解有關的問題，如問題（1）當APEQ面積最大時，求t的值，或者“當PEQ面積為16時，求t的值”;“PEQ面積可以等于10嗎？若能，求t的值，若不能，說明理由”等等，這類問題利用差值法可以輕松得到SAPEQ=t2-7t +24，當APEQ的面積最大時，t=7/2;當△PEQ面積為16時，;由 或者由+24=10無解，可得△PEQ面積不可以等于10.用同樣的方法操作方法，還可以提出問題（2）當時，求f的值.

2 與角有關問題

隨著點P，點Q運動，圖形中大量的角也在隨之變化，根據角的變化，大致可以設置一下兩種基本題型.

2.1 直接由角的關系設問

如圖3，度量∠POD，∠COD.啟動動畫，發現隨著點P，點Q運動，∠POD逐漸減小，據此，可提出問題（3）當OD平分∠COP時，求t的值，通過數學實驗，發現OD平分∠COP是存在的，那么，這類問題是否符合初中學生知識結構？我們知道，對于角平分線相關問題，大致可以從角平分線的性質定理和角平分線的定義兩個角度來解決問題.

2.2 由線的位置關系設問

線的位置關系可由角的大小或者角與角之間的大小關系決定，所以，可以通過度量角來設置與線的位置關系的問題，如圖5，設BD，AC交于點G，度量∠DGQ，可以發現，隨著點P、點Q運動，∠DGQ逐漸增大，當達到某個位置時，∠DGQ= 900，據此，可提出問題（4）當PQ上BD時，求，的值，而解決這類問題涉及知識點為初中常見考點：利用相似三角形的性質或三角函數列方程，簡單思路如下：由題意知∠PQD= ∠BDA，所以tan∠PQD= tan∠BDA，，列方程，得t=32/7，若想考查學生利用相似三角形的性質或三角函數解題能力，還可以提出更為新穎的問題（5）當點P，點F，點Q共線時，求t的值，實際上，該題只要將三點共線轉化為∠PQD=∠ACD，從而tan∠PQD= tan∠ACD，列方程，得t=24/7，我們還容易發現，當∠DBC=∠QEC時，QE∥DB，那么有問題（6）當QE∥DB時，求t的值，啟動動畫，發現當O

3 與線段數量關系有關問題

在GGB繪圖區顯示將想要考察的線段標簽，如本題線段AP的標簽為線段a，將線段的長從代數區拖入繪圖區，如圖6，清晰地顯示在運動變化過程中，各線段大小的變化情況，我們提出問題（7），當FQ=PO時，求t的值，而解決本題的關鍵是利用ADFQ

我們還可以進一步探究，設置一些符合初中生認知水平的問題，當然，探究出來的問題，既可以教師直接提出，也可以啟發學生自行設置;既可以在課堂與學生共同完成一部分，還可以留一些問題作為課后思考與練習用以加強與鞏固，總之，利用GGB進行數學實驗，發現問題，提出設想，通過演算驗證，從而設置出恰當的習題，既能提高教師備課效率，又能提高課堂效率，解放學生，在教學中，教師不妨遇到有價值的習題，多利用信息技術工具進行數學實驗，在不斷地研究過程中，發現新問題，與學生共享新的發現，將課堂提升為探究式的、研究性的新型課堂教學模式，