淺析轉化與化歸思想在高三數列專題復習中的應用

范建珍

化歸與轉化思想是重要的數學思想方法之一，它是學生運用所學知識解決數學問題的重要途徑，是處理解決復雜問題方法的精髓，是知識轉化為能力的橋梁，是培養核心素養的沃土[1].所謂的化歸與轉化思想是指在研究或解決數學問題時，借助觀察、聯想、分析、類比等思維方式，將問題變換歸結為已經解決或者比較容易解決的問題，進而使原問題得到解決的一種解題策略[2].簡而言之，即“化生為熟、化繁為筒、化難為易、化未知為已知”，轉化和化歸的特點是通過不斷轉化實現問題的熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化等，以便應用已知的知識和方法達到問題的有效解決[1]，其一般模式如圖1：

在數學學習的過程中處處都體現著轉化與化歸思想，常見的轉化有一般與特殊的轉化、正與反的轉化，特殊與一般的轉化，整體與局部的轉化，高維與低維的轉化，數與形的轉化、等價轉化等，

數列是高中數學的重要內容，是高考考查的重點，縱觀近年來新課標全國卷對數列考查的重點是以等差等比數列為載體，包括常見的簡單變形，考查學生對數列基礎知識和基本技能的掌握，以及運用所學知識經驗解決問題的能力和素養，特別是對“推理論證能力”、“運算求解能力”、“應用意識”以及“邏輯推理”和“數學運算”的考查.

由于數列公式多、計算雜、題型多樣，且常與其他知識點結合起來考察，所以對于基礎薄弱的高中校學生來說難度較大，學生常常因記憶不全，“思想”不明，用法不清，邏輯混亂，思維受限制，再加上運算能力低下，以及缺少反思感悟，因此在數列問題上出錯概率較大，失分現象較為普遍，本文以數列問題為例從四個方面闡述化歸與轉化思想在高三專題復習的應用，以例題為載體，以化歸與轉化思想滲透為核心，通過對基礎知識的梳理構建和基本題型的變式訓練，以期達到串“點”成“線”的目的，促進學生對基礎知識的掌握、基本技能的形成以及相應能力素養的發展，切實提高復習的有效性.

1 陌生問題熟悉化

在教學實際中，常常會看到這樣的現象：基本公式學生是會的，但是有些學生卻不明白什么時候該用哪個公式，因此在教學中應教學生學會將陌生問題熟悉化，并運用已有的知識、經驗和方法解決當前問題，

設計意圖首先，例1和變式1既先讓學生嘗到到陌生問題熟悉化的“甜頭”，又起到溫“等差、等比數列定義公式”之故，進而為知“更為陌生的問題熟悉化”之新做鋪墊，讓學生把數列問題轉化為簡單的等差、等比數列問題，再借助等差、等比數列的定義和通項公式解決問題，讓學生養成不斷回到概念去，是解決數列問題的常見的轉化思路;其次，隨著變式2～4問題的難度的逐步加大和問題形式的不斷復雜化，讓學生通過啟發和引導不斷地“化陌生為熟悉”，逐步掌握“陌生問題熟悉化”的基本“程序”，這樣設計符合學生的認知規律，激發學生探索的熱情，讓學生全面看待問題，學會合理轉化，感悟化歸與轉化的思想方法，把握等差等比數列定義的本質，熟練基本公式，通過啟發引導使學生不斷實現“從陌生到熟悉、從不懂到懂”，掌握基礎知識，形成基本技能，積累基本活動經驗.

2 未知問題已知化

當解決問題方向模糊時，可以通過適當對問題的表面形式加以挖掘、探究，找到“溝通”已知的“連結點”，進而達到未知問題已知化的目的，再借助已有的知識、經驗和方法解決問題，

變式5若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在x-y+2n+l=0上”，其它條件不變，求數列{an}的通項公式，

變式6 若把例1條件“在x-y+l=0上”改為條件“在x-y+3”=0上”，其它條件不變，求數列{an}的通項公式，

變式7 若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在上”，其它條件不變，求數列{an}的通項公式，

變式8若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在4x-y+1=0上”，其它條件不變，求數列{an}的通項公式，

變式9 若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在4x-y+3”=0上”，其它條件不變，求數列{an}的通項公式，

變式10 若把例1條件“點Pn（an，an+1）（n∈N*）改為“只（Sn，an+1）（n∈N*）”，其它條件不變，求數列{an}的通項公式，

變式11 若把例1條件“點Pn（an，an+1）（n∈N*）在x-y+l=0上”改為“P（Sn，Sn+1，an+1）（n∈N*）在x-y=O上”，其它條件不變，求數列{an}的通項公式，

設計意圖 首先通過變式5～7的解決讓學生進一步對等差、等比數列的定義進行辨析，把握等差、等比數列定義的本質，同時回顧等差等比數列通項公式的求法，讓學生學會將知識、方法進行正向遷移，從而達到未知問題已知化的目的;其次通過變式8，9的解決，讓學生逐步學會“透過現象看本質”，并將未知問題已知化，讓學生體驗感悟將新問題化為老問題，即努力將新問題化歸為等差、等比數列基本問題來解決是解決數列問題的基本思路和常規做法，合理轉化，滲透定義法、加K法、倒數法、疊加法、累乘法等;再次拋出變式10，11讓學生探究，加強比較，讓學生感悟在a與Sn同時出現的關系式中，一般通過進行轉化，使關系式僅含an或Sn，再根據情況進行處理，學生動腦獨立思考嘗試解答，并參與編題，加深學生對此類題型的印象;通過長期這樣的基本技能演練和數學思想方法的熏陶，學生就能逐步地將教師的做法轉化為其自覺行為，從而能逐步較有“章法”地解決數列問題.

3 復雜問題簡單化

通過一定形式的變形轉換將復雜問題化歸為熟悉的簡單問題，通過對簡單問題的解答，達到解決復雜問題的目的，或者獲得某種解決問題的啟示[1].

例2 （1）已知數列{an}滿足an+1=2an+3x2n，a1=2，求數列{an）的通項公式，本例（3）嘗試讓學生體驗把數列問題轉化為函數問題，引導學生執行數學運算三步曲：理解、選擇、運算，注重方法的選擇，規范答題的板書，結合課件展示，最值問題是普通高中學生掌握較為薄弱的題型，學生往往不知道如何下手，從何入題，結合學生實際，我們在平時的教學中，應該逐步滲透并總結出求數列最值問題的方法：（1）轉化為函數的單調性;（2）運用遞推公式，通過例2的解決讓學生體驗通過一定形式的變形轉換，將復雜的問題化歸為我們所熟悉的簡單問題，使問題得以輕松解決，讓學生親歷如何由“山重水復”到“柳暗花明”的過程，掌握通解同法、形成基本技能、感悟思想方法、積累基本活動經驗.

4 抽象問題具體化

通過考察問題的極端元素，靈活地借助特殊問題解題，避開抽象及復雜運算，優化解題過程，降低解題難度[1]，

設計意圖本例（1）用基本量法可以解決，但本題是填空題，在考試時最好能做到“省時、準確”，由題意可知，只要滿足a1，a3，a9成等比數列的條件，數列{an}取何種等差數列與所求代數式的值無關，因此可以將抽象數列具體化，例如a=n，則課輕松求得本例（2）的解決具體化方法則更顯優勢，結合題目信息，通過考察問題的特殊元素（即特值法），靈活地借助特殊問題解題，避開抽象及復雜運算，優化解題過程，降低解題難度.

5 結束語

數學思想方法是數學的精髓和靈魂，因此數學教學中數學教師應樹立“思想”意識，將隱性的思想方法充分的地挖掘出來使之顯性化，并貫穿在課堂教學的全過程，然而羅馬不是一天就蓋起來的，數學思想方法的滲透、掌握和靈活運用需要長期不懈的努力，但只要用心澆灌定能結出碩果，

參考文獻

[1]詹爽姿.數學高考中的化歸與轉化思想[J].中學教研（數學），2016（3）： 41-45

[2]楊恩彬，柯躍海，陳清華.化歸與轉化思想的數學能力統領功能探析[J].福建中學數學， 2013 （10）：4-7