淺談愛德華格林音程循環參數算法理論

在20世紀大量的音樂創作實踐中，音樂創作者探索非傳統的大小調功能和聲體系成為了一種趨勢。在這種發展浪潮中數理化邏輯的成分是前所未有的，其中諸如勛伯格的十二音序列作曲技法、斯特拉文斯基的輪轉陣列、巴托克以及艾夫斯作品中的音程循環等結構方式。無疑作曲家們在更加理性地探索音高結構新的組織方式，同時當代的研究也需要更加科學的運算模型對諸多音高結構加以囊括。

近年來美國音樂理論家愛德華.格林的音程循環算法理論開拓了通過數學算法方式進行音程循環研究的新思路并為進一步的數理化分析奠定了基礎。下文將分別從當代國內外音程循環研究現狀以及總結性地對愛德華.格林的音程循環分類及其算法理論進行介紹兩個方面進行論述。

一、音程循環國內外研究現狀

有關音程循環的定義與分類理論，不同的研究學者給出的定義略有偏差。美國學者羅伊格·弗朗科利在《理解后調性音樂》一書中將音程循環定義為“一系列重復的、均等的音程連續”[1]，他指出了5種將八度均分的音程循環模式，即以音程i1表示半音，音程i2表示全音，音程i3表示小三度，音程i4表示大三度，音程i5表示純四度，音程i6表示三全音，并由于音程的補集或轉位產生的音程循環完全相同的原理，劃分出了這5種循環模式 。[2]

這5種模式只涉及一種音程的循環，弗朗科利在此書中的研究沒有涉及混合音程循環。

美國學者蘇珊尼與安托克賴茨合著的《音樂和二十世紀的調性：以調式和音程循環為基礎的和聲進行》[4]，“將某一個單一音程循環中的每個相等截斷的內部再分成兩個或更多不均等的部分并稱之為混合循環集（Compound Cycles Collection）”，這是一種建立在已有的單音程循環基礎上的再劃分的理論。同時，安托克賴茨發表于1984年的文章《20世紀音樂的調性續進巴托克的音樂》與1995年的文章《有機發展與音程循環關于巴托克op18的研究》[5]也涉及了音程循環的內容，但這些研究多首先考慮的是一些簡單的單音程循環，并從這些單音程循環中抽象出全音音階、半音階等。雙音程組合式的循環略帶討論，并主要是集中在一些重要的由雙音程組合循環產生的諸如八聲音階與六聲音階為主。

美國學者萊姆貝爾以艾夫斯的音樂為研究對象，提出了由兩個或更多音程交替而形成的組合循環模式，其文章主要是對艾夫斯的作品進行解讀，對音程循環技法本身定義與內涵并未做過多的深入探討。[6]

中國學者研究起步相對較晚，中國學者石磊在2014發表的文章《音程循環的理論與早期實踐的研究》一文指出所謂音程循環是指“同一音程或一組音程經過一系列重復后又回到起點的過程，其結果是將八度進行均等或對稱的劃分”[7]，該定義與美國學者蘇珊尼與安托克賴茨建立在單音程循環劃分邏輯上的混合循環集表述相同。

另一位中國學者陳林在2014年的《復合音程循環的構成與技術特征研究》一文中指出“其按照一個恒定的、不相等的音程比產生音高材料的技術，稱作復合音程循環。[8]”陳林在該論文中考慮到包含兩個音程元素的循環結構，從有序音級音程的角度進行了研究。在這一點上，與石磊在單音程循環及其在單音程循環基礎上的混合拆分的觀念有所不同。那么綜合來看，一般情況下，音程循環在采用有序音級音程（簡寫Ord.PCI）的角度進行研究，可以解決無序音級音程在產生兩個以模12 為互補原則的雙音問題（如PCI 4與8、PCI 5與7、三全音程PCI 6因將八度等分，產生的為同一音級）。

二、愛德華格林音程循環分類與算法

綜合各種音程循環的相關理論來看，美國學者愛德華以有序音級音程為研究出發點，通過巴托克的部分音樂研究，提出了相關定義與分類[9]理論，尤其重要的是，愛德華提出了音程循環運算的相關公式，將音程循環分為單音程循環與混合音程循環兩大類，并又將混合音程循環依據回歸原始音高級的次數，再分為多重集群循環與非多重集群循環，如下文所述。

1、單音程循環定義與參數運算公式

愛德華將單音程循環（A simple interval cycle ）定義為以一個指定音高級開始循環出現的非0音程續進，同時愛德華指出單音程循環的循環長度即循環音數計算公式為：[10]“L=12/d ;d =GCD（12，x）;”

其中，L為Length的簡寫即長度，GCD代表最大公約數（Greatest Common Divisor），x為單音程循環的有序音級音程數值（簡寫為Ord.PCI），因此，d的值等于12與Ord.PCI的最大公約數。

如以Ord.PCI 2為例，d便等于12與2的最大公約數2，L便等于12/2=6。因此Ord.PCI 2產生的音程循環數為6，即全音階。對于與12形成互質關系的Ord.PCI 1、3、5、7，因其最大公約數為1，因此便產生半音階循環或五度循環。

2、混合音程循環定義與參數運算公式

愛德華定義混合音程循環（Compound Interval Cycle）為指定音高級開始的，循環出現的兩個或多個音程組合。愛德華標記雙音程循環為（x，y）-cycle。同時其給出雙音程循環音數長度的計算公式為

“L=2（12/d）;d=GCD（12，SUM）;SUM=x+y（mod12）”，公式中SUM為求和值

如以（4，5）-cycle為例，該循環產生一個八聲音階，即以數字音級表示為“0 4 9 1 6 10 3 8 0”，其SUM=x+y=4+5=9;d=GCD（12，SUM）=（12，9）=3;L=2（12/d）=2（12/3）=8，符合8聲音階的定義。

對于三音程混合循環愛德華標記為（x，y，z）-cycle，同樣給出了音數長度計算公式：

“L= 3（12/d）; d=GCD（12，SUM）;SUM=x+y+z（mod12）?！?/p>

3、混合音程循環的再分類理論

愛德華在對混合音程循環的研究中，依據最終回歸原始音高級的次數，又進行再分類。其中只需一次回歸原始音高級就可以恢復最初的混合音程組合值的稱之為非多重集群循環，如八聲音階、六聲音階、所有的梅西安有限移位模式等。

例如，以數字音高級列出八聲音階為：

Ord.PCI（1，2）即0 1 3 4 6 7 9 T 0

其中包含了一次由0音高級到0音高級的循環續進。因此，依據愛德華的理論，這是一個非多重集群循環，同樣也可這樣去驗證六聲音階以及所有的梅西安有限移位模式。

而多重集群循環（Multi-Aggregate Cycles），是指那些以多音程混合循環的音程組，在循環的過程中所產生的多次回歸原始循環點，并最終以原始音程循環組值到達起始點的現象。

如圖1（4，3）-cycle，若以起始點C音看該循環，包含兩次回歸C音的運動，其最后一次回歸到了原始有序音級音程循環組值，即i4+i3。

同時，愛德華指出的混合音程循環中Ord.PCI的排列移動不會改變最終的結果，如Ord.PCI（2，2，1）與（1，2，2）或（2，1，2）[11]所構成的循環，見圖2。圖2中筆者以方括、尖頭括與橢圓分別圈出了三種循環集群，它們在這三個多重集群循環中，永遠都是方括——尖頭括——橢圓括——方括的循環排列，因此為它們為同一多重集群循環。

綜合來看，愛德華在區分非多重集群循環與多重集群循環時，是對起始音以原始組合值回歸原點的次數上來進行區分，那么我們從另一個角度來看，所有的非多重集群循環也符合在單音程循環基礎上進行復合拆分的邏輯。這與愛德華論述了任何混合音程循環組都能被簡化成單音程循環的邏輯相符合。對于多重集群循環，如以有序音程<4，3>進行循環時，可以將其拆分成以其兩個音程數為5的交錯循環，愛德華給出了運算邏輯是將Ord.PCI4+3=7=SUM， 并進行MOD12（7）=5的運算。（見圖3中用方框與圓圈進行的交錯五度循環標注）

4、愛德華·格林多重集群循環矢量理念

多重集群循環的分散矢量理論是愛德華定義的另一個概念（Distribution Vector），其以尖括號標記這種多重集群循環中相同音高級回歸音數的量，即圖3中的7與17，其代表了循環中任意一音的回歸音數，如上例以<7，17>表示，則任意音都會經歷7與17個音數回歸同一個音。

結語

綜上所述由國內外相關的學術理論與研究文獻來看，愛德華·格林的算法理論對音程循環進行了科學化的分類并提供了運算公式，其中單音程循環涵蓋了例如：半音階、全音階、以及各種八度等分音階。同時依據格林的算法公式可以對音數進行計算。混合音程循環則包含了更加復雜的音高結構，同樣可以通過公式對長度進行運算，非多重集群循環與多重集群循環則進行一步對混合音程循環中是否建立在等分基礎上的混合劃分進行了分類，矢量理論則對多重集群循環的回歸音音數進行了界定。

就目前的研究來看通過算法公式對于音高結構組成方式的分析研究仍然處于探索階段，雖然有較為成熟的艾倫福特音級集合理論，但正如任何一種理論都是在不斷的發展中前行，人們通過更加理性的思維方式探索音樂深層邏輯的道路也將繼續前行。

參考文獻：

[1]彼德.斯.漢森.二十世紀音樂概論.上、下冊[M]孟憲福譯，人民音樂出版社，北京， 1984.

[2]楊立青.《真誠.高雅.純摯——梅西安的音樂語言》[M]人民音樂出版社，2011，第二版.

[3]羅伯特.摩根：《二十世紀音樂——歐美音樂風格史》陳鴻鐸等譯.[M]上海音樂出社，2014.

[4]羅伊格.弗朗克里：《理解后調性音樂》杜曉十等譯.[M]人民音樂出版社，2012.

[5] Paolo Susanni and Antokoletz Elliott.”Music and Twentieth-century Tonality：Harmonic Progression Based on Modality and Interval Cycles.21-25;

[6] 1995. “Organic Development and the Interval Cycles in Bartóks Three Studies， Op. 18.” Studia Musicologica

36.3/4： 249-61. 1984. The Music of Béla Bartók： A Study of Tonality and Progression in Twentieth-Century Music. Berkeley：University of California Press.

[7]Philip Lambert.”Interval Cycles as compositional Resources in the music of Charles Ives.Music Theory Spectrum，Vol12，No.1，1990，pp.43-81.

[8] 2007. “Multi-Aggregate Cycles and Multi-Aggregate Serial Techniques in the Music of Béla Bartók.” Music Theory Spectrum 29.2： 143-76.

注釋：

[1]《理解后調性音樂》羅伊格.弗朗科利著，杜曉十，檀革勝翻譯。40-41頁。

[2]由于八度等同，在音級空間中補集音程之間也是等同的。也就是說，小二度（i1，如E-F）和補集大七度（i11，或F-E）是由同樣的音高級構成的，因此它們在音級空間中構成同一個音程類別。

[3]有關音級的表述方式采用數字音級的方式表述，T表示音級10，E表示

[4]Paolo Susanni and Antokoletz Elliott.”Music and Twentieth-century Tonality：Harmonic Progression Based on Modality and Interval Cycles.21-25;

[5]1995. “Organic Development and the Interval Cycles in Bartóks Three Studies， Op. 18.” Studia Musicologica

36.3/4： 249-61. 1984. The Music of Béla Bartók： A Study of Tonality and Progression in Twentieth-Century Music. Berkeley：University of California Press.

[6]Philip Lambert.”Interval Cycles as compositional Resources in the music of Charles Ives.Music Theory Spectrum，Vol12，No.1，1990，pp.43-81.

[7]石磊《音程循環的理論與早期實踐的研究》，音樂創作2014年第4期。

[8]陳林 《復合音程循環的構成與技術特征研究》，武漢音樂學院學報2014年第4期。

[9]2007.“Multi-Aggregate Cycles and Multi-Aggregate Serial Techniques in the Music of Béla Bartók.” Music Theory Spectrum 29.2： 143-76.

[10]通過計算，仍可推導出對于四音程混合循環的多重集群循環公式為：（w，x，y，z）-cycle;L=4（12/d）;d=GCD（12，SUM）;SUM=w+x+y+z（mod12）

[11]愛德華的表述應該指的確切意思是類似轉位的應用方式.

張晨明 ? ? 周口師范學院講師