算子的外積表示在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

席政軍

摘要：本文首先給出非正交基下線性算子的外積表示，其次通過(guò)引入Gram矩陣給出線性算子在非正交基下矩陣表示和外積表示的系數(shù)矩陣之間的關(guān)系，再次討論了非正交基下恒等算子的完備性關(guān)系，最后給出了幾類線性算子的運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：線性算子；非正交基；矩陣表示

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2019）17-0220-03

線性算子或者線性變換是線性代數(shù)中非常重要的一個(gè)概念，在有限維向量空間上，線性算子和矩陣是等價(jià)的概念。線性算子是抽象的概念，而矩陣相對(duì)容易理解。選擇合適的基，給定的線性算子的矩陣表示就可能會(huì)簡(jiǎn)單，甚至出現(xiàn)對(duì)角化的形式。特別是在Hilbert空間中，一般選取標(biāo)準(zhǔn)正交基，進(jìn)而利用外積來(lái)表示線性算子，相應(yīng)的系數(shù)正好是線性算子的矩陣表示。此時(shí)，線性算子的許多運(yùn)算就相對(duì)比較簡(jiǎn)單，比如線性算子的復(fù)合就直接用這種外積表示的線性算子的乘積直接計(jì)算可得。但是在許多的線性代數(shù)教材中，線性算子的矩陣表示并沒(méi)有依賴于標(biāo)準(zhǔn)正交基給出，而且沒(méi)有給出非正交基下線性算子的外積表示。而在量子力學(xué)或者在實(shí)際問(wèn)題的處理中以及有些習(xí)題課堂中會(huì)遇到非正交基的算子表示形式，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中自然地就不能再直接使用正交基下的運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)單的推廣講授，因此必須從原始的定義出發(fā)做一些相應(yīng)的修改。本文首先給出非正交基下線性算子的外積表示，其次引入Gram矩陣給出線性算子在非正交基下矩陣表示和外積表示的系數(shù)矩陣之間的關(guān)系，再次討論了非正交基下恒等算子的完備性關(guān)系，最后給出了幾類線性算子的運(yùn)算。本文的具體討論是在復(fù)數(shù)域的Hilbert空間上進(jìn)行的，一些概念和準(zhǔn)備將會(huì)涉及更加一般的向量空間。定義了內(nèi)積的完備的復(fù)向量空間就是Hilbert空間。

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