柔性航天器振動主動抑制及姿態控制

張秀云，宗群，竇立謙,*，劉文靜

1. 天津大學 電氣自動化與信息工程學院，天津 300072 2. 北京控制工程研究所 空間智能控制國家重點實驗室，北京 100190

航天器是指按照天體運行規律在大氣層外運行的空間飛行器，在天氣預測、經濟發展、環境監測、國家安全等方面發揮著日益重要的作用。為滿足日益增加的航天需求，航天器需攜帶柔性太陽帆板，而在航天器完成機動、轉向及空中對接等動作時，很容易激起柔性帆板的振動，從而嚴重影響系統的穩定性。此外，航天器在運行過程中受到太陽光壓力矩、重力梯度力矩、地球非球形攝動等外部干擾，這也為控制器設計帶來極大的挑戰。因此，干擾影響下柔性航天器的高精度快速姿態控制是目前研究的熱點及難點問題。

近年來，針對干擾影響下的航天器姿態控制問題，國內外研究者們提出了各類控制方法：H∞控制[1]、輸出反饋控制[2]、滑?？刂芠3-4]等，其中，滑?？刂品椒ǖ靡嬗谄鋵Ω蓴_的強魯棒特性，得到了廣泛的應用[5-7]。文獻[8]針對干擾影響下的剛體航天器姿態控制問題，設計終端滑?？刂破?，實現了航天器精確姿態跟蹤，但其控制器存在奇異性。針對該問題，國內外學者進行了相應改進[9-10]，提出非奇異終端滑模。北京理工大學夏元清等[11]進一步提出自適應非奇異終端滑模，實現剛體航天器姿態的有限時間穩定，但其僅能收斂到原點附近小鄰域內。天津大學宗群等[12-14]則針對剛體航天器姿態控制問題，利用自適應干擾觀測器-終端滑?？刂破骶C合設計方法，保證姿態的有限時間穩定。以上文獻大多針對剛體航天器姿態控制問題，未考慮柔性附件振動影響，且大多僅能保證剛體姿態有限時間收斂到小鄰域，并不能實現姿態的精確收斂。

針對航天器柔性附件振動抑制問題，現有文獻主要分為2種解決思路：被動抑制及主動抑制。被動抑制即將柔性振動視為系統不確定影響，利用控制器的魯棒性進行處理[15]，但其振動仍舊存在。而柔性振動主動抑制則通過外加指令，直接對振動進行抑制，如輸入成形器(Input Shaper，IS)等。作為一種有效抑制柔性振動的前饋控制方法，輸入成形器得到了廣泛的研究。其作用原理為：通過利用振動頻率及阻尼信息，設計其作用脈沖及幅值，保證加入系統后產生的振動響應能夠相互抵消[16-18]。輸入成形器技術可用于解決柔性航天器的振動抑制問題。哈爾濱工業大學胡慶雷團隊[19]通過結合輸入成形器及滑?？刂品椒ǎ鉀Q了干擾影響下的柔性航天器控制，但其需要干擾上界已知。文獻[20]則提出一種輸入成形器與自適應滑模結合的方法，無需干擾上界已知，且保證柔性航天器姿態控制，但其僅能保證姿態的漸近收斂，難以滿足航天器姿態控制的快速性要求。

在上述研究基礎上，本文針對干擾及不確定影響下的柔性航天器姿態控制問題，提出了輸入成形器-自適應有限時間干擾觀測器-有限時間積分滑?？刂破骶C合的設計方法，避免了干擾上界必須已知的限制，保證了干擾估計誤差有限時間收斂至零，實現了柔性航天器姿態的有限時間精確控制及有效的柔性附件振動抑制。

1 柔性航天器數學模型

采用單位四元數描述航天器姿態，則航天器運動學模型描述為[14]

(1)

考慮航天器柔性附件發生變形振動，系統姿態動力學方程及柔性振動方程可描述為[21]

(2)

(3)

(4)

基于式(1)～式(3)，得到姿態跟蹤誤差動力學為[14]

(5)

(6)

(7)

式中：Y=T-1。

基于動力學模型式(5)及式(6)，對式(7)求導可得

(8)

式中：J*=YTJY∈R3×3；綜合干擾D∈R3包含系統外部干擾(如重力梯度、太陽光壓等干擾力矩)及柔性振動主動抑制后的殘余振動帶來的內部干擾，記殘余振動模態為χc。

(9)

性質2[22-23]慣性矩陣J*滿足：

(10)

式中：λmax、λmin為正常數。

本文的控制目標表述為：針對柔性航天器姿態系統式(1)及式(2)，研究柔性振動主動抑制方法，設計控制器u(t)，實現對期望姿態的有限時間精確控制，即

(11)

式中：T為收斂時間。

2 航天器有限時間控制器設計

本節將針對航天器模型式(8)進行控制器設計，所采用的控制策略如圖1所示，主要包括輸入成形器、自適應有限時間干擾觀測器及有限時間積分滑?？刂破?部分。首先，基于振動模態的自然頻率及阻尼信息設計輸入成形器，并與姿態參考輸入進行卷積，獲得期望參考輸入；其次，基于系統姿態及控制輸入信息，設計自適應有限時間干擾觀測器，實現對干擾及殘余柔性振動影響的精確估計；最后，基于觀測器估計值，設計有限時間積分滑?？刂破?，實現對期望參考輸入的高精度快速跟蹤。

圖1 綜合控制策略設計框圖Fig.1 Block of integrated control strategy

2.1 自適應有限時間干擾觀測器設計

基于航天器系統式(8)，設計如下干擾觀測器：

(12)

式中：

(13)

(14)

其中：ρ=κL2+η，κ為待設計正常數，η為任意小的正常數；δ(t)的表達式為

(15)

式中：veq為等價輸出注入項[24-25]；0<α<1；ε為任意小的正常數。

基于式(8)及式(12)，對狀態估計誤差e求導可得

(16)

(17)

(18)

(19)

式中：V(x0)為V(x)的初值，x0為初始狀態。

注2有限時間收斂是指系統狀態在有限時間內到達平衡點并一直保持在該平衡點上。該概念廣泛應用于航空航天控制系統、機器人控制系統、電機控制系統等諸多實際領域，具有重要的實際應用意義[26-27]。此外，由引理1及引理2有限時間Tr的表達式可以看出，只要已知系統初始狀態x0，則有限收斂時間Tr的值就可以事先確定。

定理1針對航天器姿態控制系統式(8)，設計自適應有限時間干擾觀測器式(12)、式(13)，參數自適應律如式(14)所示，則觀測器的狀態估計誤差e及干擾估計誤差會在有限時間內收斂到0。

第1步定義Lyapunov函數為

(20)

-η|δ(t)|

(21)

根據式(21)及引理1可知，δ(t)會在有限時間T1內收斂到0。

當δ(t)=0后，由于0<α<1，ε>0，并基于式(17)，可以得到

(22)

第2步定義Lyapunov函數為

(23)

基于性質1，對V2求導可得

(24)

(25)

(26)

注3根據觀測器式(12)～式(14)，可以看出無需綜合干擾上界信息已知，消除了上界約束；另外，通過對定理1的證明可知，本文所設計的自適應有限時間干擾觀測器可以保證干擾估計誤差有限時間收斂到0。

2.2 有限時間積分滑?？刂破髟O計

針對航天器姿態系統式(8)，設計如下積分滑模面：

(27)

(28)

由積分滑模面式(27)可以看出，當t=0時，s=0，即系統狀態在初始時刻時就在滑模面上，消除了滑模面的到達過程，保證了全局的魯棒性。

基于積分滑模面式(27)，可得滑模動態為

(29)

控制器設計為

(30)

引理3[28]考慮如下積分鏈系統：

(31)

式中：xi(i=1,2,…,n)為系統狀態變量；τ為系統控制輸入。

若控制器設計為

(32)

定理2針對航天器姿態控制系統式(8)，基于積分滑模面式(27)及自適應有限時間干擾觀測器式(12)～式(14)，設計如式(30)所示的有限時間積分滑?？刂破餍问?，則航天器姿態跟蹤誤差qev及角速度跟蹤誤差ωev會在有限時間收斂到0。

證明首先證明在自適應有限時間干擾觀測器誤差收斂到0之前，系統狀態不會發散；其次證明干擾觀測器觀測誤差收斂到0之后，系統狀態跟蹤誤差將在有限時間內收斂到0。

第1步定義Lyapunov函數為

(33)

對V3進行求導，并代入式(29)、式(30)可得

(34)

第2步當干擾觀測器的觀測誤差收斂到0之后，系統滑模動態變為

(35)

此時，可以得到

(36)

(37)

3 輸入成形器

輸入成形器是指具有一定作用幅值及作用時間的脈沖序列，利用合適的輸入成形器與系統參考指令相卷積，改變系統輸入的形狀和作用位置點，達到抑制柔性振動的目的。

最基本的輸入成形器為2個作用脈沖，為獲得輸入成形器形式，基于系統振動的頻率及阻尼信息，建立振動響應表達式，并考慮以下約束條件：加入脈沖后的振動響應為0，且盡量減小成形器的作用時間，并保證不影響系統姿態的最終期望值等。建立如下約束方程組[16]：

(38)

式中：Aj為第j個脈沖的振動幅值，此時考慮的為2個脈沖；tj為第j個脈沖的作用時間；Ω0為振動頻率；ξ為阻尼。

通過求解方程式(38)，得到兩脈沖零振動輸入成形器(Zero-Vibration，ZV)形式為

(39)

輸入成形器具有多種形式[16]：ZV、ZVD (Zero Vibration and Derivative)、EI (Extra-Insensitive)等，其各具特點。其中ZV作用時間最短，但由于干擾等影響導致系統實際振動頻率不等于固有頻率時，其抑制效果不理想，即不具有魯棒性；ZVD作用時間與EI作用時間相同，且EI的魯棒性相對較強，但當航天器的真實頻率等于固有頻率時，EI仍存在殘余振動。因此，綜合考慮各類輸入成形器的優缺點，選擇ZVD對航天器柔性振動進行抑制，通過在方程式(38) 中增加對振動響應導數的約束，可得ZVD表達形式如下：

(40)

(41)

式中：“*”為卷積作用。

4 仿真分析

為驗證本文所提輸入成形器-自適應有限時間干擾觀測器-有限時間積分滑?？刂破骶C合方法的有效性，進行仿真驗證與分析。仿真中，各參數選取如下：

考慮前三階柔性振動模態，則衛星主體與柔性附件的耦合矩陣δ為

δ=

柔性模態自然頻率參數為：Λ1=0.768 1 rad/s,Λ2=1.103 8 rad/s,Λ3=1.873 3 rad/s。

柔性模態阻尼比為：ξ1=0.005 6，ξ2=0.008 6，ξ3=0.013。

所受到的干擾設置為

d=

[0.1sin(2t) 0.05cost+0.2sint0.08cos(3t)]T

航天器姿態及角速度初值為

期望姿態與角速度為

輸入成形器設計為

干擾觀測器及控制器參數選取如表1所示。

仿真結果如圖2～圖6所示。圖2為航天器姿態及姿態角速度跟蹤曲線?？梢钥闯觯藨B及姿態角速度均能在有限時間內收斂至平衡點，收斂時間約為20 s，精度數量級達到10-4，因此，加入輸入成形器未影響系統的跟蹤精度及收斂時間。圖3為系統綜合干擾的估計及估計誤差曲線。可以看出，本文設計的自適應有限時間干擾觀測器可以保證對綜合干擾的精確估計。圖4為系統控制輸入曲線?？梢钥闯觯刂戚斎敕秶侠?。圖5為滑模面變化曲線。系統狀態在15 s左右重回滑模面，即滑模面在有限時間收斂到0，驗證了控制算法的有效性。由于對系統產生主要作用的即為一階振動模態，其他模態影響較小，因此，通過針對一階振動模態加入輸入成形器，得到如圖6所示的一階柔性振動模態變化?？梢钥闯?，與未加輸入成形器時相比，加入后可有效抑制75%的柔性附件振動，具有良好的柔性振動抑制效果。

表1 觀測器及控制器參數設置Table 1 Parameter settings of observer and controller

圖2 姿態角和姿態角速度跟蹤誤差Fig.2 Attitude angular and velocity tracking errors

圖3 綜合干擾估計和估計誤差Fig.3 Estimation and estimation error of lumped uncertainty

圖4 控制輸入Fig.4 Control inputs

圖5 滑模面變化曲線Fig.5 Sliding mode surface

圖6 柔性振動模態Fig.6 Flexible vibration mode

因此，通過仿真可以驗證，本文所設計的輸入成形器-自適應有限時間干擾觀測器-有限時間積分滑?？刂破骶C合方法能夠有效抑制柔性附件振動，且能保證系統姿態的高精度快速收斂。

5 結 論

1) 本文提出了一種新型自適應有限時間干擾觀測器設計方法，無需綜合干擾上界信息，且能夠保證干擾估計誤差有限時間收斂至零。

2) 基于干擾觀測器對系統綜合干擾的估計值，設計了有限時間積分滑模控制器，保證系統姿態跟蹤誤差及角速度跟蹤誤差有限時間收斂到零。

3) 利用輸入成形器對系統參考指令進行變形，獲得期望參考輸入，解決航天器柔性振動主動抑制問題，并將抑制后的殘余振動利用觀測器進行估計并在控制器設計中進行補償，保證姿態控制的高精度，實現輸入成形器-自適應有限時間干擾觀測器-有限時間積分滑?？刂破骶C合的有限時間快速精確控制。