高考全國卷理科數(shù)學(xué)“函數(shù)和導(dǎo)數(shù)”試題特點及復(fù)習(xí)策略

陳序平

【中圖分類號】H310.4 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）08-0266-01

“函數(shù)和導(dǎo)數(shù)”是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，全國卷理科數(shù)學(xué)從分值比重來看，近三年（2016年～2018年）高考所占分值基本上保持在17～27分之間，具體如下表：

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是函數(shù)考查的重要要求之一，從近三年全國卷高考理科數(shù)學(xué)試題分析看，常見考點可分為六個方面：（1）含參變量的取值范圍問題，如2018年全國Ⅱ卷第21題、2016年全國Ⅰ卷第21題，通常在“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”的解答題出現(xiàn)。（2）證明不等式的問題，如2017年全國Ⅲ卷第21題、2016年全國Ⅰ卷第21題。（3）函數(shù)零點（方程的根）問題，如2017年全國Ⅰ、Ⅱ卷。（4）函數(shù)的最值與極值問題，如2018年全國Ⅰ卷第16題、2016全國Ⅱ卷第21題。（5）導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題，如2018年全國Ⅱ卷14題、2016全國Ⅱ卷16題，通常在選擇填空題較多。（6）存在性問題，如2018年全國Ⅱ卷21題、2017年全國Ⅱ卷第21題。

選擇、填空題考點可總結(jié)為八類：一是分段函數(shù)，如2018全國Ⅰ卷第9題、2017年全國Ⅲ卷第15題；二是函數(shù)的性質(zhì)，如2017全國Ⅰ卷第5題；三是基本函數(shù)，如2016年全國Ⅲ第6題；四是函數(shù)圖象，如2018年全國Ⅱ卷第3題；五是函數(shù)零點（方程的根），如2017全國Ⅲ卷第11題；六是函數(shù)的最值，如2018年全國Ⅰ卷第16題；七是導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，如2016全國Ⅰ卷第7題；八是定積分，雖然近三年全國卷沒有考查到，但這以前的全國卷也偶爾涉及到，也應(yīng)引起關(guān)注。

選擇、填空題考查涉及到的數(shù)學(xué)思想方法也相當(dāng)豐富，如分段函數(shù)問題常與分類討論思想相結(jié)合，有關(guān)方程根的情況判斷常涉及函數(shù)與方程思想和等價轉(zhuǎn)化思想，研究函數(shù)的圖象問題和基本函數(shù)的性質(zhì)時常利用數(shù)形結(jié)合思想等。

例1（2018年理科全國Ⅰ卷T9）已知函數(shù)f（x）=ex，x≤0Inx，x>0，g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（ ）

A.[-1，0） B.[0，+∞） C.[-1，+∞） D.[1，+∞）

分析：本題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)零點個數(shù)等知識的綜合運用，考查分類討論，數(shù)形結(jié)合等思想的應(yīng)用。

例2（2017年理科數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷T11）若x=2是函數(shù)f（x）=（x2+ax-1）ex-1的極值點，則函數(shù)f（x）的極小值為 （ ）

A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D. 1

分析：本題考查導(dǎo)數(shù)計算，導(dǎo)數(shù)與含參函數(shù)極值問題的結(jié)合，求導(dǎo)數(shù)時涉及簡單的復(fù)合求導(dǎo)問題。

解答題主要是利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)、方程和不等式等問題，有一定的難度，往往是解答題最后兩道題之一，特別地，近五年全國卷都是以最后一道壓軸題的形式出現(xiàn)。解答題較為側(cè)重考查豐富的數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與方程思想常應(yīng)用解決函數(shù)與方程的相關(guān)問題，等價轉(zhuǎn)化思想常應(yīng)用于不等式恒成立問題和不等式證明問題，分類討論思想常用于判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題。同時要求考生有較強的計算能力和綜合問題的分析能力。

例3 （2016年理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷T21）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.（I）求a的取值范圍；（II）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析：本題考查含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點等問題，難度較大。通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡，解決函數(shù)不等式的證明問題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.

近幾年來與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)壓軸題，經(jīng)常會碰到導(dǎo)函數(shù)具有零點，但求解相對比較繁雜甚至無法求解的問題。此時，我們不必正面強求，可以采用將這個零點只設(shè)出來而不必求出來，然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過渡，再結(jié)合其他條件，從而最終獲得問題的解決，我們稱這種解題方法為“虛設(shè)零點”法。“零點分布和運用極值點滿足關(guān)系式——虛設(shè)零點”，這一方法最早在2012年全國文科第21題官方答案中出現(xiàn)，接著在2013年全國Ⅱ卷理科第21題、2015年全國Ⅰ卷和Ⅱ卷第21題、2016年全國Ⅱ卷理科第21題、2017年全國Ⅱ卷理科第21題第二問等題目的官方答案中多次出現(xiàn)。在教學(xué)時候，如果學(xué)生本身程度較高，需要做必要的突破時，可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生理解并運用這一方法。

針對近幾年高考全國卷的試題特點，我們在復(fù)習(xí)備考時要強調(diào)幾點：（1）深研課標(biāo)、考綱，深入學(xué)習(xí)新課改的數(shù)學(xué)理念，在教學(xué)中滲透“六大核心素養(yǎng)”的要求；（2）落實“三基”教學(xué)，確保基礎(chǔ)過關(guān)；（3）注重思想方法，掌握通性通法；（4）回歸課本，研究題型來源及變化；（5）重視重要知識和重要思想方法；（6）強化解題能力，注意解題規(guī)范；（7）遵循課標(biāo)理念，合理控制題目難度，要基礎(chǔ)也要區(qū)分度；（8）降低選擇填空題的難度并多涉獵壓軸題的題型。

注：本文是基于“福建省寧德市中學(xué)教育科學(xué)研究2018年度課題：高考全國卷數(shù)學(xué)科試題特點及教學(xué)對策研究”的研究成果，課題立項批準(zhǔn)號：FJNDKY18-803。