重新定義，才能辨明真假分數

許瑞豐

[摘 要]對假分數的認識障礙一直是分數教學的頑癥。由于學生認定了平均分的份額總量不能超過“單位1”，于是，他們始終無法接受分子大于分母。為了幫助學生克服這一障礙，教師要另辟蹊徑，從分數的除法定義入手進行教學。

[關鍵詞]分數；分數值；假分數；零分數

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0042-01

同分母加減法的教學重點是講解并揭示其算理，讓學生能熟練無誤地進行計算。但實際教學中，不少學生的做法令人瞠目結舌。那么，學生究竟會有哪些失誤？是什么原因引起的？又該如何彌補挽救呢？

一、錯認分數值的上下限

[片段一]計算[38+48]。有的學生認為3個[18]加上4個[18]等于7個[18]，即[78]；有的學生認為[38]代表將物體均分為8份取其中3份，而[48]則表示把另一個物體均分為8份，取其中4份，所以，是將兩個相同物體平分成16分，前后一共取7份，即[716]。

[片段二]計算[38+68]。對于[98]這一結果，有學生認為不正確，因為這相當于將一個物體平均分成8份，然后共取走9份，超出了總份數。

[片段三]計算[34-34]。一些學生聲稱結果“0”是錯的，理由是分子不能為0；有的則表示分母相減為0，于理不合。

這三個教學片段暴露出以下問題：學生對分數的認識僅局限于分子不為0的真分數和分子等于分母的這種假分數，將0分數和超過1的分數屏蔽在意識之外。教材在界定份數時，是將整體看作“單位1”。因此，對學生而言，“單位1”就是一個不可超越的囊括一切的整體，當相對量發生變化時，對“單位1”的認定就會產生混亂。換句話說，一旦選取的份數超過“單位1”分的總份數時，學生就會犯迷糊。

二、平均分，分不清真假

對上述問題的出現，筆者進行了及時總結和反思：教學分數時，對“份數”的定義不夠明確。按照“劃分份數取其中若干”來編制材料，雖然能直觀地揭示出分數的基本涵義，但是也存在一些弊端。

弊端之一就是不能解釋0分數的存在。縱觀教材，無一不是從平均分切入；這里，平均分的對象是一個單件的物體，或者有許多單個的物體組成的集合，分數表示的是獲取份數與總體之間的比例；從這點上講，分數的分子下限不能達到0。因為0就代表沒有選取，毫無意義。

弊端之二就是不能證實分子大于分母的假分數的存在。教材設計中，通過讓學生分撥、涂畫、對折、述說等活動，認知和接受“單位1”和平均分概念。因此，學生基于實物分配的刻板認識，就會形成總份數不能大于整體1的僵化認識，即分數的分子不能大于分母。

弊端之三就是教師解讀教材不到位。教材一味強調平均分，把單個整體看作單位“1”，從而導致學生無法參悟總份數逾越“1”這一整體的情形。教師忽視了分數的除法定義（為了將無法整除的余數整合到商數中，從而衍生出分數），讓學生誤以為分數就是均分后的取值結果。

三、另辟蹊徑，重新定義

教學中又該如何規避以上障礙呢？首先，從除法運算引入分數。在學生遇到兩數相除有余數的認知沖突時引入分數進行表示。可以這樣設計新課導入：①把6塊巧克力平均分給2個小孩，每人分得幾塊？②把1塊巧克力平均分給2個小孩，每人分得幾塊？③把3塊巧克力平均分給2個小孩，每人分得幾塊？學生根據題意列式，對算式“[1÷2=]”“[3÷2=]”產生困惑，并產生探究動機。這時教師乘勢推出“分數的認識”。從第二個問題的研究開始，認識分數[12]。這樣將除法和分數融為一體，讓學生認識到分數是商數帶余的一種簡寫形式。

其次，引入“數軸”闡釋分數。在教學中，為了將分數的概念與整數對上號，不妨引入“數軸”進行直觀演示。數軸模型的分數表示是對矩形模型的二次簡約抽象，將原來二維的平面面積表示的份數，用一維線段長短來表示，所有具備具體尺寸的物體到這里統一簡化為“單位1”，學生對1和2的認識會變成份數而不是整數。如[35]、[45]這兩個分數就可以在數軸中表示：

[ ][0][1]

綜上所述，從新的角度理解和領悟分數，可以排除學生無法接納0分數和分子大于分母的假分數的認知障礙，為學生理解分數的基本性質奠基。

（責編 羅 艷）