“植樹問題”之兩端都種的教學設計

鮑海林

[摘 要]植樹問題的教學主要是為了滲透數學模型思想。通過生活中一些常見的問題，讓學生從中發現一些規律，提取其中的數學模型，然后再用發現的一些數學規律來解決生活中的一些簡單問題。

[關鍵詞]植樹問題；建構模型；尋找規律

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0077-02

【教學內容】人教版教材五年級數學上冊106頁

【教學目標】

1.通過合作探究、動手實踐，經歷將數學問題抽象成數學模型的過程。理解并掌握植樹棵樹與間隔數之間的關系。

2.滲透模型、數形結合和對應等基本數學思想，以及“化繁為簡”等解決問題的策略。

3.培養學生應用數學的意識和學習數學的興趣。

【教學重點】理解植樹問題棵樹與間隔數之間的關系，會應用“植樹問題”模型解決實際問題。

【教學難點】 構建“植樹問題”模型，準確應用“植樹問題”模型解決實際問題。

【教學準備】課件，圖片和小棒等。

【教學過程】

一、創設情境

師（課件出示設計圖（圖略）并指出要綠化的三處位置）：為了綠化生態園，需要在三處綠化植樹，請同學們觀察生態園的設計圖。

師：大家覺得這三處應該種什么樹？怎樣種才美觀？

生1：風景樹，每隔相等的一段距離種一棵，不同的樹間隔距離也不同。

師：今天我們就來一起研究植樹問題吧。

【設計意圖：合理處理教材能讓學生對本節課產生極大的興趣。讓學生說植樹方案能夠激發學生對植樹問題的思考，滲透概念——間隔距離。】

二、探索交流，解決問題

1.建構數學模型

師：（例1）在全長30米的花園路一旁種櫻花樹，每隔6米栽一棵（兩端都要栽）。一共要栽多少棵樹？

生2：5棵。

生3：6棵。

師：能用什么方法證明你的猜想呢？

生4：畫線段圖。

生5：擺一擺。

（學生先動手實踐，再在小組里交流自己的看法，最后在課堂上說出自己的驗證方法）

生6：我是通過畫線段圖的方式。總長30米，每6米栽一棵，我就畫了5段， 數一數有6個端點，所以一共栽6棵。

生7：我是用擺模型的方法。總長30米，每6米栽一棵，我就用一根小棒的長度表示6米，需要6根小棒；然后用1個小正方形來表示1棵樹，要擺6個，所以一共栽6棵。

師：大家說得都非常棒，我們把道路被樹木間隔成的段數叫作間隔數。（結合課件及學生的作品進行講解）

【設計意圖：通過猜想與驗證，讓思想與實踐進行碰撞，讓學生理解兩端都栽是什么意思，再讓學生在交流多種方法中清楚間隔數指的是什么，使得學生初步建立起數學模型，加強對植樹問題的理解。】

2.列式解決問題

師：你能結合自己所畫的圖或擺的模型列出算式并解答嗎？

生（齊）：能。

生8：30÷6+1=6（棵）。

師：能說一說你是怎樣列出算式的嗎？

生8：這條路全長是30米，每隔6米栽一棵，那么30÷6=5，因為兩端都要栽，就會多出1棵，所以要+1，于是5+1=6（棵）。

師：（例2）現在因為有井蓋，所以只有24米可以種樹，每隔6米栽一棵（ 兩端都栽）。一共要栽多少棵樹？

生9：5棵。

師：是5棵嗎？大家擺一擺，看看是不是5棵。

生10：是5棵。

師：你能快速列出算式嗎？

生10：24÷6+1=5（棵） 。

師：說一說你是怎樣列式的。

生10：這條路全長是24米，每隔6米栽一棵，那么24÷6=4，因為兩端都栽，所以4+1=5（棵），要栽5棵。

【設計意圖：例1是讓學生先嘗試列式解答，再結合圖形進行理解和消化，明白算式里為什么要+1，從而理解算理。由例1已獲得的經驗來解決例2相同情況的問題，意在讓學生熟悉解題方法、積累經驗，感受數形結合的魅力，引發學生的成就感。】

3.回顧解題過程，尋找解決此類問題的規律和技巧

（1）從算理角度觀察

師：對于解決這種兩端都栽的情況，我們可以怎樣快速得出答案？

（教師引導學生回憶例1和例2的解題過程，結合算式 30÷6+1=6（棵）和24÷6+1=5 （棵）得出規律）

生11：棵數=總長÷間隔距離+1。

（2）從圖形方面觀察

師：還有沒有其他不同的看法？

生12：棵數=間隔數+1。

（教師指導學生動手操作探究棵數與間隔數的關系并記錄數據）

得出規律：棵數=間隔數+1

總長÷間隔距離 =間隔數

【設計意圖：對于小學生來說，要探索知識間的規律是比較難的，所以教師要想辦法化繁為簡，引導學生多角度、多方面進行觀察分析，從而獲得知識的內在關系。】

三、鞏固應用

師：我們通過探究得出了解決此類問題的規律。如果有一條路是全長50米的沿湖路，要在兩旁栽桃樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹？（學生板演）

師：其實在日常生活中我們也有其他類似于植樹模型的問題。比如，在一條全長2千米的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50米安裝一盞。一共要安裝多少盞？

師：除了路燈，大家覺得現實生活中還有哪些類似于植樹問題的實例？

生：上樓梯的臺階，教室的座位，窗戶的不銹鋼鋼管，鐘表的指針走動方式……

【設計意圖：第一個問題是鍛煉學生運用新知去解決實際問題的能力，第二個問題是拓展學生對知識的認識，讓學生回歸生活，使學生明白數學知識來源于生活，又運用于生活。】

四、拓展延伸，激發興趣

師：周長60米的圓形湖的四周，每隔10米栽一棵樹。一共要栽多少棵樹？

生13：60÷10=6（棵）。

師：為什么不“+1”呢？

生13：因為它不屬于兩端都種的情況，它的首尾兩端是重合的，所以不能+1。

【設計意圖：誘發學生深層次的思考——能不能用前面所得規律來解題？為什么？數學中的一些規律只適用于特定情況，不能生搬硬套，此題不僅能檢驗學生的學習成果，還能滲透化曲為直的數學思想，將學生的思維推向一個新的高度。】

五、收獲喜悅，欣賞美景

師展示綠化植樹后的生態園圖片（略）。

【設計意圖：讓學生感受勞動之美，發現數學之魅力。 】

【課后反思】

1.正確解讀和合理處理教材

教材上是讓學生在一條100米的道路上植樹然后探究植樹問題，因為這條路比較長，學生既不知道從何下手，又不感興趣，課堂氣氛沉悶，學習積極性也差。為此，我設計了一個美麗生態園，學生一下子就有興趣了。通過綠化生態園的植樹問題將距離縮短為30米和24米，栽種方式既有直線型和也有圓弧型，層層遞進，讓學生逐步探究，學生在解決實際問題中獲得了知識，課堂教學事半功倍。

2.滲透數形結合思想，幫助學生建立植樹模型

數形結合是數學解題中常用的思想方法，可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠化抽象為形象，有利于學生把握數學問題的本質。

學生建立模型需要有一個過程，從初步感知猜想到畫一畫、擺一擺、看一看、辨一辨，一步步構建自己的植樹模型。從觀察圖形到列出算式，再由算式算理回到圖形分析，數與形始終聯系在一起，學生在不斷的變換中感受著數形結合的思想。這些思想能讓學生對植樹問題的認識達到一個新的高度從而構建數學模型。

（責編 金 鈴）