感應電動勢的多樣情景

云南 蔣金團

根據法拉第電磁感應定律，只要穿過回路的磁通量發生了變化，在回路中就會有感應電動勢產生，感應電動勢可以分為動生電動勢和感生電動勢兩類。動生電動勢的產生機理是由于外力使導體或回路切割磁感線，而使導體內自由電子受到洛倫茲力定向運動產生電動勢；感生電動勢的產生機理是固定回路中的磁場發生變化，變化的磁場產生渦旋電場，渦旋電場對回路中的電荷施加的作用力是一種非靜電力，它引起了感生電動勢。雖然產生感應電動勢的原因只有兩種情況，但命題者可根據改變導體的運動方式、改變導體的形狀、改變磁場的空間分布、改變磁場的變化方式等手段豐富磁通量變化的內涵，本文對這類問題做些探討。

一、恒定勻強磁場中產生的感應電動勢

1.直線導體平動切割磁感線

直線導體在勻強磁場中平動切割磁感線產生的電動勢為動生電動勢，計算公式為E=BLv，使用這個公式的條件是B、L、v三個物理量兩兩垂直；碰到不垂直情形時，必須通過正交分解構造兩兩垂直。

【例1】半徑為a右端開小口的導體圓環和長為2a的導體直桿，單位長度電阻均為R0。圓環水平固定放置，整個內部區域分布著豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B。桿在圓環上以速度v平行于直徑CD向右做勻速直線運動，桿始終有兩點與圓環良好接觸，從圓環中心O開始，桿的位置由θ確定，如圖1所示。則

( )

A．θ=0時，桿產生的電動勢為2Bav

C.導體直桿上M點的電勢低于N點的電勢

【答案】AD

【點評】(1)用E=BLv計算時，L為有效長度；(2)切割磁感線那部分導體相當于電源，用右手定則判斷出感應電流方向以后，根據“電源內部電流從負極流向正極”可判斷出其正負極，則正極端的電勢高于負極端的電勢；(3)當電路閉合時，電源兩端的電壓是路端電壓，不能錯誤當成電動勢。

【例2】如圖2，在水平面(紙面)內有三根相同的均勻金屬棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a點接觸，構成“V”字型導軌。空間存在垂直于紙面的均勻磁場，用力使MN向右勻速運動，從a位置開始計時，運動中MN始終與∠bac的平分線垂直且和導軌保持良好接觸。下列關于回路中電流i與時間t的關系圖線，可能正確的是

( )

【解析】設∠bac=2θ，單位長度電阻為R0

則MN切割產生電動勢

E=BLv=Bv·2vt×tanθ=2Bv2ttanθ=k1t

回路總電阻為

由閉合電路歐姆定律得

i與時間無關，是一個定值，故A正確，BCD錯誤。

【答案】A

【點評】本題巧妙之處在于電動勢和總電阻都隨時間均勻增加，從而導致電流恒定不變，該題可當成經典模型進行記憶。

2.折線(曲線)導體平動切割磁感線

當折線棒或曲線棒平動切割磁感線時，將棒的兩個端點連成直線，若該連線與速度和磁場的方向都垂直，則兩端點之間的距離為有效長度。

( )

【答案】B

【點評】將折線棒的兩個端點連成直線，設想回路是閉合的，則閉合回路的磁通量沒有發生變化，不會產生感應電流，此時可理解成折線棒產生的電動勢與兩端點連線產生的電動勢抵消，這樣一來，計算折線棒產生的電動勢可轉化成計算兩端點連線產生的電動勢，這正是有效長度的原理所在。

【例4】如圖4所示，一導線彎成半徑為a的半圓形閉合回路，虛線MN右側有磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右勻速進入磁場，直徑CD始終與MN垂直，從D點到達邊界開始，到C點進入磁場為止，下列結論正確的是

( )

A．感應電流方向不變

B．CD段直線始終不受安培力

C．感應電動勢最大值Em=Bav

【答案】ACD

3.直線導體棒旋轉切割磁感線

【例5】如圖5所示，長為L的金屬OA桿繞過O點垂直于紙面的固定軸勻速轉動,角速度為ω，勻強磁場垂直于紙面向里,磁感應強度為B,磁場范圍足夠大,金屬桿OA產生的感應電動勢的大小可以用以下2種方法推導。

方法1法拉第電磁感應定律法

設在時間Δt內金屬桿掃過的面積為ΔS，則

感應電動勢為

方法2等效法

( )

【解析】從靜止開始繞過圓心O以角速度ω勻速轉動時，線框中產生的感應電動勢大小為

磁場變化時產生的電動勢為

根據題意兩次產生的感應電流相等，因為電阻保持不變，兩次產生的感應電動勢也相等，即E1=E2

【答案】C

【點評】本題既考查了動生電動勢的計算方法，也考查了感生電動勢的計算方法，兩次產生的感應電流相等是聯系兩次電磁感應信息的橋梁。

【例7】半徑分別為r和2r的同心圓形導軌固定在同一水平面上，一長為r，質量為m且質量分布均勻的直導體棒AB置于圓導軌上面，BA的延長線通過圓導軌的中心O，裝置的俯視圖如圖7所示；整個裝置位于一勻強磁場中，磁感應強度的大小為B，方向豎直向下；在內圓導軌的C點和外圓導軌的D點之間接有一阻值為R的電阻(圖中未畫出)。直導體棒在水平外力作用下以角速度ω繞O逆時針勻速轉動，在轉動過程中始終與導軌保持良好接觸。設導體棒與導軌之間的動摩擦因數為μ，導體棒和導軌的電阻均可忽略，重力加速度大小為g，求：

(1)通過電阻R的感應電流的方向和大小；

(2)外力的功率。

【解析】(1)在Δt時間內，導體棒掃過的面積為

根據法拉第電磁感應定律，導體棒產生的感應電動勢大小為

根據右手定則，感應電流的方向是從B端流向A端，因此流過導體R的電流方向是從C端流向D端；由歐姆定律流過導體R的電流滿足

(2)對導體棒受力分析，豎直方向受重力，兩圓導軌的支持力，水平方向受外力F、安培力、兩圓導軌的滑動摩擦力。

在豎直方向根據平衡條件有mg=2FN⑤

在水平方向上根據平衡條件有F=BIr+2μFN⑥

【點評】(1)當導體棒只有部分旋轉切割磁感線時，可取切割部分兩端點的速度之和的一半作為平均速度；(2)本題中的外力不一定沿著速度方向，但是把外力分解成沿著速度和沿著半徑的兩個分力時，沿著半徑的分力不做功，因此求外力的功率時，可設外力方向與速度方向相同。

4.圓盤轉動切割磁感線

【例9】法拉第圓盤發電機的示意圖如圖9所示。銅圓盤安裝在豎直的銅軸上，兩銅片P、Q分別與圓盤的邊緣和銅軸接觸。圓盤處于方向豎直向上的勻強磁場B中。圓盤旋轉時，關于流過電阻R的電流，下列說法正確的是

( )

A．若圓盤轉動的角速度恒定，則電流大小恒定

B．若從上向下看，圓盤順時針轉動，則電流沿a到b的方向流動

C．若圓盤轉動方向不變，角速度大小發生變化，則電流方向可能發生變化

D．若圓盤轉動的角速度變為原來的2倍，則電流在R上的熱功率也變為原來的2倍

【答案】AB

【點評】本題考查了圓盤旋轉切割磁感線的處理方法，我們做這類題時不但要學會感應電動勢和感應電流的計算，還要學會判斷圓盤兩極電勢的高低。

二、恒定非勻強磁場中產生的感應電動勢

【例10】如圖10所示，一圓形閉合銅環由高處從靜止開始下落，穿過一根豎直懸掛的條形磁鐵，銅環的中心軸線與條形磁鐵的中軸線始終保持重合。若取磁鐵中心O為坐標原點，建立豎直向下為正方向的x軸，則以下最能正確反映環中感應電流i隨環心位置坐標x變化的關系圖象是

( )

【解析】圓形閉合銅環由高處從靜止開始下落，穿過一根豎直懸掛的條形磁鐵，銅環的中心軸線與條形磁鐵的中軸線始終保持重合，圓環中磁通量變化不均勻，產生的感應電流不是線性變化，A錯誤；銅環下落到磁鐵頂端的速度小于下落到磁鐵底端的速度，銅環下落到磁鐵頂端產生的感應電流小于下落到磁鐵底端產生的感應電流，選項B正確，CD錯誤。

【答案】B

【點評】本題也可以從切割磁感線的角度加深理解，磁鐵正中央發出的磁場方向是豎直向下，圓形線圈來到這個位置時，瞬時電動勢為0，所以前半段過程的電流先增大后減小。

三、磁場均勻變化時產生的感應電動勢

1.回路中只有感生電動勢

【例11】如圖11所示，一正方形線圈的匝數為n，邊長為a，線圈平面與勻強磁場垂直，且一半處在磁場中，在Δt時間內，磁感應強度的方向不變，大小由B均勻地增大到2B，在此過程中，線圈中產生的感應電動勢為

( )

【答案】B

【點評】計算磁通量的變化量時，必須取有效面積，對稱軸右方的面積無磁場穿過，為無效面積。

2.動生電動勢和感生電動勢共存

【例12】如圖12所示，兩條相距l的光滑平行金屬導軌位于同一水平面(紙面)內，其左端接一阻值為R的電阻；一與導軌垂直的金屬棒置于兩導軌上；在電阻、導軌和金屬棒中間有一面積為S的區域，區域中存在垂直于紙面向里的均勻磁場，磁感應強度大小B1隨時間t變化的關系為B1=kt，式中k為常量；在金屬棒右側還有一勻強磁場區域，區域左邊界MN(虛線)與導軌垂直，磁場的磁感應強度大小為B0，方向也垂直于紙面向里。某時刻，金屬棒在一外加水平恒力的作用下從靜止開始向右運動，在t0時刻恰好以速度v0越過MN，此后向右做勻速運動。金屬棒與導軌始終相互垂直并接觸良好，它們的電阻均忽略不計。求：

(1)在t=0到t=t0時間間隔內，流過電阻的電荷量的絕對值；

(2)在時刻t(t>t0)穿過回路的總磁通量和金屬棒所受外加水平恒力的大小。

【解析】(1)金屬棒越過MN之前，從t=0到t=t0的時間間隔內回路的磁通量的變化量ΔΦ=ΔB·S=kSt0

(2)當t>t0時，金屬棒已越過MN，設時刻t回路中的電流為It，則有

時刻t回路中的磁通量Φt=kSt+B0lv0(t-t0)

因為金屬棒在MN右側做勻速直線運動

【點評】動生電動勢和感生電動勢共存時，先用楞次定律和右手定則判斷出兩者的方向是否相同，當方向相同時，總電動勢等于動生電動勢和感生電動勢之和；當方向相反時，總電動勢等于動生電動勢和感生電動勢之差。

3.按正弦規律變換的磁場問題

【例13】(2018年全國Ⅲ卷第20題)如圖13中(a)，在同一平面內固定有一長直導線PQ和一導線框R，R在PQ的右側，導線PQ中通有正弦交流電i，i的變化如圖(b)所示，規定從Q到P為電流正方向。導線框R中的感應電動勢

( )

D.在t=T時最大，且沿順時針方向

【答案】AC