逐差法求加速度及逐差法的推廣應用

山東 張學敏 趙世渭

物理實驗中，根據實際需要測量多組實驗數據時，必定存在實驗誤差。為消除實驗誤差對實驗結果的影響，常采用多次測量取平均值作為最終的結果，這樣可以有效地減小誤差。但是，當物理變量之間是線性關系、且自變量均勻變化時，實驗中測得的數據，如果是相鄰兩組逐項作差進行計算，就會出現中間測量數據相互抵消的現象，從而失去多次測量取平均值的意義，如在“研究勻變速直線運動的規律”的實驗中由打出的紙帶計算加速度a。

逐差法是中學物理實驗數據處理中常用的一種重要方法。所謂逐差法，就是將實驗中測得的因變量按實際情況分為兩組進行對應作差，將得到的差值取平均值作為因變量的測量值進行數據處理的方法。

當物理變量間呈線性關系，自變量均勻變化時，若測得的數據有多組(一般四組或四組以上)，即可用逐差法處理所測數據。

一、用逐差法求加速度a

【例1】如圖是在“研究勻變速直線運動的規律”的實驗中得到的一條紙帶，A、B、C、D、E、F、G為7個相鄰計數點，相鄰的兩個計數點之間還有四個點未畫出。測出相鄰的計數點之間的距離分別為x1=4.22 cm、x2=4.65 cm、x3=5.08 cm、x4=5.49 cm、x5=5.91 cm、x6=6.34 cm。已知打點計時器的工作頻率為50 Hz，則小車的加速度a=________m/s2。(結果保留2位有效數字)

【解析】由題意知，相鄰兩計數點間的時間間隔t=0.1 s

用逐差法處理可用如下方式

(1)先求得平均加速度的表示式，再代入數據求得結果

x4-x1=3a1t2

x5-x2=3a2t2

x6-x3=3a3t2

(2)先求得Δx的平均值，再根據Δx=at2求出加速度

x4-x1=3Δx1

x5-x2=3Δx2

x6-x3=3Δx2

可得加速度a=0.42 m/s2

二、用逐差法測量彈簧的勁度系數

【例2】某實驗小組用如圖所示的裝置測量彈簧的勁度系數k。當掛在彈簧下端的砝碼處于靜止狀態時，測出彈簧受到的拉力F與對應的彈簧長度L(彈簧始終在彈性限度內)，記錄如下表所示。

次序123456F/N0.490.981.471.962.452.94L/cm60.2061.6063.0564.6566.1067.55

因為逐差法常用于處理自變量等間距變化的數據組，所以小組一成員用逐差法處理數據，具體如下：將表中相鄰的兩項求差，得出彈簧伸長量ΔL，每個ΔL都是與相同的拉力ΔF=0.49 N相對應的伸長量，求出ΔL的平均值

請你用逐差法處理表格中的數據，盡量精確計算出彈簧的勁度系數k=________N/m。(結果保留三位有效數字)

【解析】根據逐差法有

L4-L1=3ΔL1

L5-L2=3ΔL2

L6-L3=3ΔL3

三、用逐差法求動摩擦因數

【例3】為測定木塊與桌面之間的動摩擦因數，小亮設計了如圖所示的裝置進行實驗。實驗中，當木塊A位于水平桌面上的O點時，重物B剛好接觸地面。將A拉到P點，待B穩定后靜止釋放，A最終滑到Q點。分別測量OP、OQ的長度h和s。改變h，重復上述實驗，分別記錄幾組實驗數據如下表所示。

h/cm20.030.040.050.060.070.0s/cm19.528.539.048.056.565.3

實驗測得A、B的質量分別為m=0.40 kg、M=0.50 kg，則木塊A與桌面間的動摩擦因數μ=________。(結果保留一位有效數字)

【解析】當B下落至臨落地時，據動能定理有

在B落地后，A運動到Q，根據動能定理，有

由題意得，長度h每次增加10 cm，即Δh=10 cm，則Δs=kΔh

根據逐差法有

s4-s1=3Δs1

s5-s2=3Δs2

s6-s3=3Δs3

則Δs的平均值

將M=0.5 kg、m=0.4 kg代入上式得μ=0.4

四、用逐差法測量線性電阻的阻值

【例4】如圖所示電路。閉合開關，調節滑動變阻器，當電壓表讀數U從0逐漸增加，記錄電流表相應的讀數I。測得實驗數據如下表所示。其中所測電阻的阻值R=10 Ω。

次序12345678U/V00.20.40.60.81.01.21.4I/A00.0210.0430.0630.0810.1020.1220.143

根據逐差法有

I5-I1=4ΔI1

I6-I2=4ΔI2

I7-I3=4ΔI3

I8-I4=4ΔI4

代入數據解得R=9.969 Ω

從計算結果來看，逐差法處理實驗數據，計算線性電阻的阻值更接近實際值R=10 Ω，相對誤差較小，具有較高的準確性。

五、用逐差法測定金屬電阻率

【例5】如圖所示為測定金屬電阻率的電路圖。閉合開關S，調節滑動變阻器R0，使電表有明顯示數變化，記錄多組電流表和電壓表相應的讀數(I，U)。當電壓表的數值U從20.0 mV以10 mV的幅度增加到70.0 mV時，分別測量出電流表的數值I，實驗數據如下表所示。其中，金屬絲的長度L和直徑D分別為50 cm及0.875 mm。

次序123456I/A1.382.092.713.464.154.83U/mV20.030.040.050.060.070.0

根據逐差法有

I4-I1=3ΔI1

I5-I2=3ΔI2

I6-I3=3ΔI3

則ΔI的平均值

代入數據解得ρ=1.73×10-8Ω·m

六、逐差法測量電池的內阻

(2)根據圖甲，用筆畫線代替導線將圖乙連接成完整電路；

(3)某次實驗的數據如下表所示：該小組借鑒“研究勻變速直線運動”實驗中計算加速度的方法(逐差法)，計算出電池組的內阻r=Ω(保留兩位小數)；為減小偶然誤差，逐差法在數據處理方面體現出的主要優點是；

測量次數12345678電壓表V讀數U/V5.265.165.044.944.834.714.594.46改裝表A讀數I/mA20406080100120140160

(2)實物圖如下圖所示。

(3)借鑒“研究勻變速直線運動”實驗中計算加速度的方法(逐差法)，采用1與5、2與6、3與7、4與8，兩兩組合，由E=U+I(R0+r)得ΔU=ΔI(R0+r)，聯立求出E、r，而后取其平均值可得。

由E=U+I(R0+r)得，ΔU=ΔI(R0+r)

=1.66 Ω

用逐差法處理數據的優點：充分利用測量數據，提高實驗數據的利用率，減小隨機誤差的影響。另外也可減小實驗中儀器誤差分量，具有對數據取平均的效果，可及時發現差錯或數據的分布規律，及時糾正或總結數據規律。