多角度探究解析幾何的應用研究

白天羽

摘 要：解析幾何是通過建立坐標系來用解析式研究幾何問題的一門幾何學分支，其本質是利用平面直角坐標系與方程的關系，建立幾何和代數問題相互轉化的關系，也就是變量的表示方法。因此，解析幾何與其它研究變量之間關聯的數學分支都有密切的聯系，探究它們的聯系，可以更好地在數學研究中做到舉一反三。在此基礎上，本文從微積分、向量和行列式等角度探析了這些關系，以更好地理解解析幾何的實質。

關鍵詞：解析幾何；微積分；向量；行列式；線性代數

中圖分類號：O182 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）05-0255-02

0 引言

解析幾何是通過建立坐標系來用解析式研究幾何問題的一門幾何學分支，主要由笛卡爾和費馬創立并發展。十六世紀左右，隨著生產和科學技術的發展，原有的幾何學知識無法應用在許多新的發現中。例如：天文學家開普勒發現行星運行的軌道是橢圓形，伽利略發現被拋出的物體的運動軌跡是拋物線，這些曲線都不是以前的幾何學可以分析的，因此迫切需要一套新的幾何方法來探究其性質。應運而生的則是笛卡爾的《幾何學》，其中笛卡爾的中心思想是建立起一種把代數和幾何統一起來的工具，即把任何數學問題化為一個代數問題，進而歸結到去解一個方程式。而在此當中聯系幾何和代數的是坐標系，在坐標系引入過程中笛卡爾的想法并不是偶然的，之前也有人提出了可由兩個數字“坐標”（經度和緯度）來確定一個點的位置的思想，以對天文和地理問題進行研究。

解析幾何的創立開拓了數學的一個全新發展領域，進而推動了近代科學技術的發展。解析幾何的引入使得運動和變化進入到數學，微積分和牛頓力學被發明，科學和哲學也在其基礎上有了進一步突破和發展。由此可見，解析幾何并不是一個孤立的學科，而是一種實用的研究方法和思想，它和很多數學、科學分支學科都有極大的關聯。本文分析解析幾何與其它幾個數學分支的聯系，以更好的理解解析幾何的思想方法，對數學的方法論有更深刻的認識。

1 微積分與解析幾何的關系

微積分是高等數學的重要組成部分。從初等數學到高等數學的過渡，其核心在于“極限”的概念。例如，曲線在x0處的切線的定義是割線在x→x0時的極限位置，導數的定義也建立在Δx趨于0的條件下。而在極限的定義中，我們說變量y趨近于a，即y→a，是一個變量對于一個常量的一種關系[1]。由此可見，高等數學建立在對變量和常量關系的進一步研究中，而關于變量與常量的討論又是解析幾何的核心思想。

在笛卡爾的理論中，首先建立坐標，進而將平面上的點和一對未知數聯系起來，然后在點動成線的思想下，用方程來表示曲線，只要在最后的方程中出現兩個未知量就能得到一條軌跡，開創了應用方程來研究軌跡的思想[2]。由此可見，代數的主要研究對象未知數在解析幾何中變成了變量，變量之間的關系變成了解析式。在解析幾何的基礎上，微積分對變量之間的關系有了更深入的探究：求導和積分都是對兩個變量關系的探究，引入另一個變量來刻畫函數關系。微積分是解析幾何的發展，解析幾何是初等數學到高等數學的過渡，二者都是對變量關系的刻畫方法。

有了微積分，解析幾何中的一些問題就可以輕松地解決。求導重新定義了切線，使得求坐標系中曲線的切線有了一種新的方法，不再需要用平面幾何的定義來進行求解。定積分對曲線圍成的面積有了代數上的定義，提供了這類問題的解決方法。又如函數的畫圖：有些函數單憑描點作圖很難畫得精確，而求導之后用幾個點就可以反映函數的關鍵特征，進而可以相當準確地繪出圖像。由此可見，微積分是解析幾何的發展，對一些坐標系中的問題有了新的認識，它的思想方法應用在解析幾何中，也能為進一步解決問題提供新的思路。

2 向量在解析幾何中的應用

數學中的向量和物理中的矢量是指具有大小和方向的量，在坐標系中能把向量以數對形式表示。在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，作為一組基底，為任意向量，以坐標原點O為起點，P為終點作向量。把實數對（x，y）叫做向量的坐標，記作= （x，y）。由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數（x，y），使得，因此向量可以和有序實數對一一對應，也就可以和平面直角坐標系中的點一一對應，在空間直角坐標系中亦是如此。由此，向量通過有序實數對與坐標系聯系了起來，也就代表著它可以應用在解析幾何中。向量為幾何問題的代數化提供了一種方法，以下將從兩方面進行分析。

2.1 平行和垂直問題

在幾何學中證明平行或垂直，以及對平行或垂直的條件的應用都是根據幾何定理來解決的，如四邊形的性質定理和勾股定理等。而在解析幾何中，運用向量的知識可以用代數方法來解決問題。由向量的定理可知，若=（x，y），=（m，n），則等價于xn-ym=0；⊥的等價于·=0，即xn+ym=0。這就給使得許多幾何問題可以轉化為代數問題。如例1所示：

例1：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且|PQ|=，建立如圖1所示的坐標系。

確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P。

分析：在對這道題目進行解決的時候，由于幾何內容中涉及到了向量的關系，所以這時可以對向量進行坐標化的發展，將問題轉化為與點相關的坐標問題。

解答：設|BP|=t，則P（2，t，0）

∵QB1·PD1=0，∴t=1。

即P、Q分別是棱BC、CD的中點時，B1Q⊥D1P。

在這道題中，向量與有序實數對的對應使得垂直問題轉化為了代數中的解方程，變成了一個運算問題。而若是用幾何方法進行推導和證明，問題就會復雜許多。

2.2 角度問題

在向量中，可以利用向量的數量積解決角度的計算問題。向量的數量積的定義：已知兩個非零向量，，作OA=，OB=，則∠AOB稱作向量和向量的夾角，記作θ。兩個向量的數量積是一個數量，記作·，等于||·||·cosθ。而在坐標系中，若=（x，y），=（m，n），可證·=xm+bn。它可以應用于許多與夾角相關的問題中，如例題2所示：

例2：如圖2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，|AC|=2a，|BB1|=3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點。

求直線BE與A1C所成的角。

解答：

以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。

∵|AC|=2a，∠ABC=90°，

∴|AB|=|BC|=a

C（0，a，0），A（a，0，0），A1（a，0，3a），C1（0，a，3a），B1（0，0，3a），D（a，a，3a），E（0，a，a）

∴=（a，-a，3a），=（0，a，a）.

∴|CA1|=a，|BE|=a

∴·=0-a2+a2=a2

∴cosθ==

故BE與A1C所成的角大小為arccos。

在這道例題中，直觀上沒有關聯的兩條線的夾角并不好通過幾何方法求出來，而向量的方法巧妙地將其轉化為了兩個左邊的問題，進而變成解方程的問題。由此可見，向量在解析幾何的問題中提供了幾何與坐標、乃至方程之間轉化的方法，將很多幾何上不好解決的問題轉化為了解方程的計算問題。

3 行列式在解析幾何中的應用

在數學中，矩陣是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合，是一種數學上的結構化語言。由于它的本質實際上是方程組的解的一種排列方式，而方程組是解析幾何中解析式的變形，所以矩陣本身在解析幾何中也能發揮很大的作用。如關于平面圖形的面積：

定理：已知ΔABC在平面直角坐標系中的三頂點坐標：A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3）則：

SΔABC=

由此可得出推論：在平面直角坐標系中的三點：A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3）共線的充要條件是=0[3]。

4 結語

解析幾何本質上是利用平面直角坐標系與方程的關系，建立幾何和代數問題相互轉化的關系。由此可知，其它與變量有關的數學問題，都是可以和解析幾何密切相關的。在上面的分析中我們發現，微積分是解析幾何的發展，向量是解析幾何的工具，行列式作為方程組的解的表達方法，也是解析幾何的延申拓展及使用工具。理解解析幾何和其他數學分支的關系，可以更好地理解解析幾何數形結合的思想，做到舉一反三。

參考文獻

[1] 劉曉蘭.從解析幾何到微積分——談微積分的實質與教學[J].丹東紛專學報，1996（1）：68-69.

[2] 曹澤.解析幾何的創立及其在近代科學認識上的作用[J].安陽大學學報，2003（3）：59-61.

[3] 黃莉，湯茂林.行列式在解析幾何中的應用[J].貴陽學院學報（自然科學版），2014（1）：42-44.