課堂教學(xué)中的預(yù)設(shè)與生成

魏巍

【摘要】課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)教育落實(shí)的主要方式，如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的能力和意識(shí)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，是每位教師都應(yīng)該著重研究的方向。文章借助基本不等式的教學(xué)過(guò)程展示了預(yù)設(shè)與生成是教學(xué)中的一對(duì)矛盾統(tǒng)一體，兩者相輔相成，缺一不可。

【關(guān)鍵詞】基本不等式；課堂教學(xué)；預(yù)設(shè)；生成

2018年，筆者有幸參加了山東省中學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)選活動(dòng)，課題是人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修5）》中的“基本不等式 ”。本節(jié)課中，教材運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)基本不等式進(jìn)行了證明和解釋。在備課、上課及課后反思中，筆者對(duì)課堂教學(xué)中的預(yù)設(shè)與生成有了深刻體會(huì)，不吐不快。下面把這節(jié)課的內(nèi)容分析、教學(xué)設(shè)計(jì)、教后反思與教學(xué)心得記錄下來(lái)，愿與同行研討。

一、教學(xué)內(nèi)容分析與教法說(shuō)明

“基本不等式 ”是必修5的重點(diǎn)內(nèi)容，在課本封面上就體現(xiàn)出來(lái)了。它是在學(xué)完“不等式的性質(zhì)”“不等式的解法”及“線性規(guī)劃”的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究。在不等式的證明和求最值過(guò)程中有著廣泛的應(yīng)用。求最值是高考的熱點(diǎn)。同時(shí)本節(jié)知識(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

本節(jié)課是第一課時(shí)，教學(xué)重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過(guò)程，而不是如何應(yīng)用基本不等式解決具體問(wèn)題。在教學(xué)中，筆者應(yīng)用“情景-問(wèn)題-研究”模式教學(xué)，展示了“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”。教師是活動(dòng)的組織者、指導(dǎo)者、協(xié)作者和調(diào)控者，學(xué)生是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動(dòng)的主人。教學(xué)設(shè)計(jì)不是用傳統(tǒng)的“公式+例子+練習(xí)”模式設(shè)計(jì)，而是把公式的建立當(dāng)作一種情境，設(shè)計(jì)問(wèn)題串為學(xué)習(xí)搭建腳手架，引發(fā)學(xué)生去操作，活動(dòng)，討論，反思。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)及設(shè)計(jì)意圖

（一）設(shè)計(jì)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境

（多媒體展示）華羅庚先生的詩(shī)：

“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”

開(kāi)場(chǎng)白：華羅庚先生有數(shù)學(xué)家的睿智、詩(shī)人的浪漫。同學(xué)們請(qǐng)說(shuō)出華先生的這首詩(shī)表達(dá)的思想。

生：“數(shù)形結(jié)合百般好”。

師：今天我們一同來(lái)體會(huì)如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)研究問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想，盡快進(jìn)入數(shù)學(xué)情景；為本節(jié)課問(wèn)題的探究指明方法，做鋪墊。給學(xué)生留下疑問(wèn)：“我們要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究什么問(wèn)題呢？如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問(wèn)題呢？”激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生對(duì)將要出現(xiàn)的探究問(wèn)題充滿期待。

（多媒體展示）第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)。

師：第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年在北京召開(kāi)，這是大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中的圖案大家見(jiàn)過(guò)么？

生：見(jiàn)過(guò)，這是“趙爽弦圖”，在初中曾用它證明過(guò)勾股定理。

師：我們還能在“趙爽弦圖”中探究出什么信息呢？

（多媒體展示）

問(wèn)1：同學(xué)們?cè)谠瓉?lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖形嗎？

問(wèn)2：在此圖中有哪些幾何圖形？

問(wèn)3：若我們?cè)O(shè)圖中直角三角形的直角邊分別為 、 ，你能用 、 表示四個(gè)直角三角形的面積和嗎？你能用 、 表示大正方形的面積嗎？

問(wèn)4：根據(jù)圖形，比較四個(gè)直角三角形的面積和與大正方形的面積的不等關(guān)系，寫出不等式。

設(shè)計(jì)意圖：尋求學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，以學(xué)生初中已經(jīng)接觸過(guò)的趙爽弦圖作為導(dǎo)入素材，使學(xué)生有熟悉的感覺(jué)，樂(lè)于探究新的知識(shí)。以 、 表示直角三角形的兩條直角邊，為后面的學(xué)習(xí)掃清障礙。若以教材的安排，以 、 分別代替 、b，學(xué)生不太容易理解。四個(gè)問(wèn)題的設(shè)置，便于學(xué)生層層深入地研究，使研究方向更明確。

（二）學(xué)生探究，嘗試解決

師生互動(dòng)：學(xué)生觀察圖形，思考問(wèn)題，寫出結(jié)果。教師巡視，了解學(xué)生情況，在適當(dāng)時(shí)候建議學(xué)生小組內(nèi)部相互交流。學(xué)生在小組內(nèi)部對(duì)比結(jié)果，互相交流，達(dá)成共識(shí)，展示成果。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立動(dòng)手、動(dòng)腦能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生交流合作的能力，通過(guò)交流培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（不全面）的能力，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問(wèn)題的意識(shí)以及努力探究的精神。

師：請(qǐng)一位同學(xué)展示一下研究成果。

預(yù)設(shè)：有的學(xué)生可能會(huì)寫出 ，也可能寫出 。

師：四個(gè)直角三角形的面積和與大正方形的面積有沒(méi)有可能相等？相等時(shí)，圖形產(chǎn)生了怎樣的變化？ 、 有什么關(guān)系？

生：有可能相等，四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)會(huì)重合，此時(shí) 。

師：如此一來(lái)，我們可以得到如下結(jié)論：（多媒體展示并板書）結(jié)論（1）：對(duì)任意實(shí)數(shù) ， ，我們有 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。

以上結(jié)論是我們從幾何圖形中的面積關(guān)系獲得的，同學(xué)們能否運(yùn)用代數(shù)的方法對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明？

師生互動(dòng)：學(xué)生觀察結(jié)論內(nèi)容，積極思考，寫出證明過(guò)程；教師巡視，及時(shí)掌握學(xué)生情況，指出學(xué)生在證明過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，適當(dāng)?shù)臅r(shí)候挑選學(xué)生板演證明過(guò)程。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生體會(huì)不等式證明的常用方法，使學(xué)生感受到幾何的直觀性后，進(jìn)一步感受代數(shù)證明的嚴(yán)謹(jǐn)。

預(yù)設(shè)：有的同學(xué)會(huì)把要證明的結(jié)論作為條件使用；有的同學(xué)只證明 ，而忽視了“當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立”的證明；有的同學(xué)會(huì)以 為條件，證明“當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立”；有的同學(xué)會(huì)使用作差法證明這個(gè)結(jié)論。

（三）師生交流，解釋規(guī)律

師生互動(dòng)：教師對(duì)學(xué)生板演的證明過(guò)程做出評(píng)價(jià)；注意方法的選擇、步驟的規(guī)范；強(qiáng)調(diào)等號(hào)成立的條件。

師：同學(xué)們對(duì)結(jié)論中的“當(dāng)且僅當(dāng)”如何理解？

生：當(dāng) 時(shí)，并且只有 時(shí)，等號(hào)成立。