數列通項公式的常見題型及求法

馮淑萍

【摘要】數列通項公式是高考重要考點之一。從歷年高考及教學情況來看，數列通項公式試題的題型復雜，求解方法靈活多樣，需要在解題過程中充分利用轉化與化歸思想進行相應題目的求解計算，是高中數學教學關注的重要內容。文章結合教學實踐對數列通項公式的常見題型與求解方法進行了總結分析，以供參考。

【關鍵詞】數列通項公式；常見題型；求法

高中數學數列通項公式求解中，比較常見的題型主要包含給出前幾項和、給出遞推關系和周期函數型幾種數列通項公式計算，其主要解題方法包含公式法、觀察歸納法以及遞增關系變形法等。下面結合數列通項公式的教學實踐與體會，對其常見題型與求解方法進行總結，以供參考。

一、給遞推關系的數列通項公式及求法

（一）遞推關系的數列通項公式常見題型

一般情況下，對題目中給出數列的前幾項，要求其數列通項公式的題型求解分析中，可通過對給出前幾項數列規律的觀察基礎上，對該數列的通項公式進行計算求解。

比如，在某例題中，給出了該數列的前四項，要求求出該數列的通項公式，像“已知 ， ， ， ， ”或者“已知1， ， ， ， ”，求數列通項公式。

在進行上述數列通項公式計算中，根據所給出的各項數列，進行觀察分析后發現，在“已知 ， ， ， ， ，求數列通項公式”一題中，其各項數列分母分別為 ， ， ， ，因此可將數列的第一項轉化為 ，其余各項分別為 ， ， ， ，從而得出該數列的通項公式為 。

在“已知 ， ， ， ， ，求數列通項公式”一題中，通過將原數列轉化為 ， ， ， ， ，后可觀察得出其數列通項公式為 。

再比如，在進行 ，其中 為常數的數列通項公式計算題型中，可以根據等比數列的定義，在判斷數列為等比數列的情況下，采用公式法進行計算。

如：已知數列 滿足以下條件， ， 求該數列的通項公式。可以根據題目求出該數列的公比，并且根據等比數列的定義，在確定首項的情況下，計算得出其通項公式為 。同樣，對于數列 ，其中， 是以 作為自變量的函數，對其數列通項公式可以采用累乘法 進行計算分析。像“已知數列 滿足以下條件， ， ，求該數列的通項公式”一題，就可以根據題目中給出的已知條件，通過累乘法計算得出其數列通項公式為 。

（二）遞推關系的數列通項公式求法

在“已知數列 滿足以下條件， ， ，求該數列的通項公式”一題中，根據題中已知條件可以運用猜想證明、歸納證明以及累加法、換元法、待定系數法等多種方法進行計算求解。

其中，猜想證明法也是數學歸納證明法，從有限個特殊情況中猜想總結與歸納一般的結論，并通過嚴格證明對該猜想歸納的過程進行驗證，從而獲取相應的數列通項公式。根據上述題目中的已知條件，在推算獲取 ， ， 等其他各項數列的結果后，根據各數列關系可猜想得出 ，對該猜想結論可以通過假設 或 ，將該條件代入上述猜想結果中進行驗證，最終證明該猜想成立。因此，數列 的通項公式為 ，其中 。

其次，采用歸納證明法進行“已知數列 滿足以下條件， ， ，求該數列的通項公式”一題求解計算中，根據題中給出的已知條件，將 代入得出 ， ， ，根據各數列結果，歸納總結得出 。對于歸納分析后計算得出的結果，還可以通過代入驗證進行證明，以確保計算結果的準確性。

運用累加法進行上述例題“已知數列 滿足以下條件， ， ，求該數列的通項公式”計算中，結合題目中的已知條件，將該數列轉換成為可以累加的一系列式子后，通過累加計算得到相應的數列通項公式，即根據該題中已知條件，在 的情況下，可以根據 得出 ，即 ， ，將各計算結果累加可得 ，因此， ，將 代入驗證后該結果仍然成立，因此，該數列通項公式為 。

對上述例子“已知數列 滿足以下條件， ， ，求該數列的通項公式”，還可以采用構造法進行數列通項公式計算，具體方法如下。

根據該題目中給出的已知條件，將 的兩邊同時除以 后可得到 ，然后采用累加法求出數列 的通項公式，從而計算求出數列 的通項公式，即 。

二、給出前項和的數列通項公式及求法

在給出數列前項和的通項公式計算中，以“ 為常數”為例，根據等差數列的定義能夠判斷出其數列為等差數列，因此可以采用公式法進行計算求解。

比如，在“已知數列 滿足以下條件， ， ，求該數列的通項公式”一題中，根據等差數列的定義，可以判斷出該題中的數列為等差數列，因此對其數列的通項公式計算可以采用公式法，具體如下。

根據題目可知 ，且數列 滿足首項 ，同時又為等差數列，因此可得出其數列通項公式為 。

此外，在“ ，其中， 為以 作為自變量的函數類型的數列通項公式”計算中，多采用累加法進行求解分析，即 。比如“已知數列 滿足以下條件， ， 求該數列的通項公式”一題中，根據題目可知， ，通過累加法代入各項數列進行計算可得出 。

三、周期函數型數列通項公式求解分析

對于周期函數型數列通項公式的求解計算，如“已知數列 滿足以下條件， ， ，求 ”一題中，分別給出相應的題目選項，即“A. ，B. C. D. ”，要求選出正確的選項。根據題目中已知條件，在確定該數列首項，并對其余各項數列進行推算得出后，判斷該數列為一個周期數列，其中數列的最小正周期值為 ，即可求出相應的數列項 。

四、數列通項公式高考命題的思想方法分析

掌握數列通項公式高考命題的思想方法，對教學開展以及數列通項公式的解題作答都有著非常重要的積極促進與指導作用，使學生在學習實踐中將所學數學知識轉化成相應的基本技能，以促進學生良好思維能力與知識素養的培養提升。高中數列知識不僅滲透類比、轉化、化歸以及數形結合、分類整合、函數、方程多個數學知識與思想方法，根據最近一年高考試題中數列通項公式的命題方向及其解題思想方法等，主要集中在對等比與等差數列的概念以及通項公式前 項和公式等基礎知識及其算法的掌握考查上，同時在數列通項公式知識考查方面，也加強了對數學的基本思想以及基本方法等方面考查，其整體所考查的思想方法可以總結為四個方面，即方程、轉化和化歸、分類整合、函數等。

首先，在通過數列通項公式求解進行高中數學方程知識有關思想方法考查上，在運用數列的基本量法進行解題計算中，需要根據題目中設定的已知條件，在對數列通項公式以及求和公式進行綜合分析后，進行相應的方程或方程組構建。其次，對轉化與化歸知識內容和思想方法的考查體現在通過數列的遞推公式對其通項公式進行求解計算中，對解題者的觀察分析以及推理能力要求相對較高，通過對其思維變形和轉化、轉歸能力的考查，在實現數列中遞推關系的靈活變換同時，實現相應的等比或等差數列轉換，以完成數列通項公式求解。關于分類整合以及函數思想，在歷年的數列通項公式高考命題考查中體現得也比較豐富，像對包含函數知識的數列通項公式求解計算，需要在對數列通項公式和函數之間關系理清并掌握前提下，利用函數的圖象與性質對解題計算過程進行簡化，從而快速準確地求出數列的通項公式。

五、結束語

總之，數列是高中數學學習的重要內容之一，在高中數學教學中具有非常重要的作用和影響，并且和函數、方程以及數列、不等式知識內容之間存在密切的聯系，對后續數列極限以及級數的學習存在重要影響，是教學關注和研究的重點之一。在數列通項公式計算中，題型繁雜，且其求法靈活多樣，在實際教學中對上述列舉方法也可以結合應用進行求解計算，以快速、準確地求出正確結果，達到數列通項公式教學目的。

【參考文獻】

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