零耦合度且部分解耦的3T1R并聯機構設計與運動分析

沈惠平 許正驍 許 可 鄧嘉鳴 楊廷力

(常州大學現代機構學研究中心， 常州 213016)

0 引言

具有空間三平移一轉動(3T1R)功能的并聯機器人操作手，其工作空間大、速度快、剛度高，在現代制造業中有著良好的應用前景。但是，一般這類少自由度并聯機構結構復雜、耦合度高、運動輸入-輸出不解耦，且易出現奇異位置，因此，4自由度3T1R并聯機構新機型的設計和性能研究一直受到國內外學者的關注。文獻[1-3]設計了H4、I4、Par4等系列的4自由度3T1R并聯操作手；趙鐵石等[4]提出了一種4-URU型3T1R并聯機器人；金瓊等[5]基于單開鏈(Single-open-chain，SOC)方法，提出了一類3T1R并聯機器人；KONG等[6]基于螺旋理論，通過構建能產生3T1R運動的支鏈，綜合出一組具有相同支鏈的并聯機構；RICHARD等[7]對一種部分解耦的4自由度3T1R并聯機構進行了運動學分析；CORBEL等[8]對3T1R并聯機械手的加速度特性進行了研究；AMINE等[9]對具有相同支鏈的3T1R并聯機構的奇異性條件進行了研究；黃田等[10]在H4、I4、Par4等相似機器人主體構造的基礎上，發明了一種3T1R的Cross-Ⅳ型高速搬運機器人，并實現了產業化；劉辛軍等[11]研發了X4機器人；文獻[12-13]對含有4條相同支鏈的3T1R并聯機構進行了分析。但上述3T1R機構大部分耦合度κ大(κ≥2)，且運動不解耦，給運動控制及軌跡規劃帶來了困難。文獻[14]提出了一種低耦合度且運動解耦的3T1R并聯操作手，但因其耦合度κ=1，位置正解仍無法求得其解析解，給誤差分析、實時控制等帶來了困難。

本文提出一種零耦合度且具有部分運動解耦性的3T1R并聯機器人機構，并對此機構的拓撲特性(POC集、自由度、耦合度、運動耦合性)以及運動學(位置正逆解求解、工作空間與轉動能力、奇異位置，以及速度、加速度)特性進行系統分析。

1 3T1R并聯機構設計及拓撲分析

1.1 機構設計

根據基于POC方程的并聯機構拓撲結構設計理論[15-16]、并聯機構結構降耦原理[17]，以及冗余支鏈消除奇異位置的原理[18-19]可知：需具有零耦合度(κ=0)，即要求有部分支鏈回路的約束度為零；需具有運動部分解耦性，即要求包含兩個以上至少各含一個驅動副的基本運動鏈(BKC)；冗余支鏈消除奇異位置，即需要根據POC集和自由度，對支鏈在動靜平臺之間作特殊布置。根據這些分析，本文提出一種含冗余支鏈的零耦合度且具有部分運動解耦的4-DOF 3T1R并聯機器人機構，如圖1所示。

(1)該機構包括含平行四邊形的一條混合支鏈(Hybrid single-open-chain，HSOC1)，包含4個分支鏈A、B、C、D，其中，由4個球副組成的平行四邊形(◇S1S2S3S4)，其一短邊桿3與驅動桿2固接后，再用轉動副R11與靜平臺0連接，為支鏈A，記作RPa(4S)；另一短邊桿5的右側延伸端，與三平行軸線轉動副組(R21‖R22‖R23)(記支鏈B)并聯連接；短邊桿5的左側延伸端，與另一三平行軸線轉動副組(R51‖R52‖R53)(記支鏈C)，也并聯連接，這樣，支鏈A與B(或A與C)構成一個子并聯機構，記作：RPa(4S)3R(3R表示支鏈B或C的3個轉動副)；同時，短邊桿5的上側通過與其固接的桿8，與桿9兩平行軸線轉動副組(R12‖R13)(記支鏈D)串聯連接，但R12⊥R23。

1.2節將說明：該混合支鏈中的子并聯機構(RPa(4S)3R)的子平臺輸出桿5將產生兩平移的輸出；而整個混合支鏈的末端(即動平臺1的一部分)將產生三平移一轉動(繞R13)的輸出。

(2)另外，無約束支鏈SOC2{R31-S32-S33}鉸接于SOC3{R41-S42-S43}的球副S43處，從而構成第2條HSOC2，因此，機構動平臺1只有兩個聯接點，即R13和S33。

靜平臺0上的各轉動副軸線的布置關系為：R11⊥R21，R21‖R51；而R21與R31，R41與R51軸線分別重合。1.2節將證明輸出桿5兩側的任一支鏈B、C為冗余支鏈，設支鏈C為冗余支鏈。因此，可取轉動副R51為冗余驅動副：機構正常工作時，該冗余支鏈處于被動、隨動狀態；當機構出現奇異時，該冗余驅動副R51產生動作，以消除機構奇異位置。

1.2 機構的拓撲分析

1.2.1機構的方位特征(POC)

由文獻[15-16]可知，串聯、并聯機構的POC集方程分別為

(1)

(2)

式中m——運動副數v——獨立回路數

MJi——第i個運動副的POC集

Mbj——第j條支鏈末端的POC集

MPa——機構動平臺的POC集

選動平臺1上任意一點O′為基點，由1.1節可知，HSOC1包含A、B、C、D 4個支鏈，其構成分別為RPa(4S)(支鏈A)、R21‖R22‖R23(支鏈B)、R51‖R52‖R53(支鏈C)，以及R12‖R13(支鏈D)。因此，由式(1)、(2)可得

MHSOC1=(MA∩MB∩MC)∪MD

由式(1)可得

由式(2)可得

(3)

由式(3)可知，因支鏈A、B構成一子并聯機構，其輸出桿5已得到兩平移零轉動(2T0R)的輸出，且支鏈C與支鏈B的拓撲結構和POC集完全相同，支鏈C對支鏈A、B構成的子并聯機構的POC集沒有影響，因此，它已屬于冗余支鏈。

由式(1)可得

Mb1=MHSOC1=M(A-B)∪MD=

HSOC2末端的POC集為

由式(2)可得機構的POC集為

因此，當靜平臺0上的4個轉動副R11、R21和R31、R41為主動副時，動平臺1即產生3個移動和1個轉動(繞轉動副R13的軸線)的輸出運動。

1.2.2自由度

并聯機構全周DOF一般公式[12]為

(4)

(5)

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副的自由度

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數

dim.——方位特征集的維數

Mb(j+1)——第j+1條支鏈末端構件的POC集

由支鏈A、B組成的第1個回路，即RPa(4S)3R由式(5)知其獨立位移方程數為

由第1回路組成的第1個子并聯機構Sub-PM的DOF和POC集，由式(4)可得

F(A-B)=∑f-ξL1=(5+3)-6=2

由式(3)可得

如圖2所示，因球副S32和S42間的距離是變化的，故在球副S32和S42間設想存在一個虛擬的移動副P(此時，可把球副S32、S42、S43的組成體，視為一個整體三角形構件)。這樣，由{R31-S32-P-S42-R41}構成第2個回路，其中，繞球副S32和S42連線的轉動自由度，對第2回路的運動位置沒有影響，但對第3回路的運動位置有影響，故應將其放入第3回路中考慮。由式(5)易知，第2回路的獨立位移方程數為

圖2 第2、3回路的構成Fig.2 Composition of the second and third loops

由式(4)可得第2回路組成的第2個子并聯機構Sub-PM的DOF為

FL2=∑f-ξL2=(9-1)-6=2

因球副S32、S42、S43組成的整體三角形構件繞球副S32和S42連線的轉動，等效為一個轉動副R′，所以第3回路的組成為{R12-R13-S33-R′}，由式(5)可得

由式(4)可得整個并聯機構的DOF為

1.2.3機構耦合度

由基于單開鏈(SOC)單元的機構組成原理[15-16]可知，任一機構可分解為一系列單開鏈，第j個單開鏈(SOCj)的約束度為

(6)

式中mj——第j個SOCj的運動副數

Ij——第j個SOCj的驅動副數

一組有序的v個SOC可構成一個獨立回路數為v的基本運動鏈(Basic kinematics chain，BKC)，對一個BKC則有

因此，耦合度為

κ揭示了機構基本回路變量之間的關聯、依賴程度；κ值越大，機構的運動學、動力學分析越復雜。

前文已計算了上述3個回路的獨立位移方程數分別為ξL1=ξL2=ξL3=6，因此，3個回路的約束度均可由式(6)求得：Δ1=8-2-6=0，Δ2=(9-1)-2-6=0，Δ3=6-0-6=0。

上述3個回路均獨立構成一個BKC，因此，該機構包含3個BKC，即BKC1、BKC2、BKC3，它們的耦合度分別為κ1=κ2=κ3=0；整個機構的運動位置正解，可依次通過BKC1、BKC2、BKC3直接求出其解析解。

2 位置分析

2.1 基于序單開鏈的機構位置正解求解原理

由文獻[16,20]知，因任一機構可分解為若干個BKC，而每個BKC又可分解出約束度為正值、零、負值3種形式的單開鏈，因此，機構位置正解的求解，可轉換為3種單開鏈的位置求解，而這3種單開鏈的約束特性及其建模方法為：

2.2 參數標注

建立圖1機構的運動模型，如圖3a所示，因冗余支鏈正常情況下處于隨動狀態，對機構正常工作不起作用，因此，機構運動學分析時，可不考慮圖3a中的冗余支鏈(即A5-B5-C5支鏈)；同時，為了計算方便，將圖1 中的β定為180°，即點B3、C4、C3在一條直線上。

圖3 3T1R并聯機構的運動建模Fig.3 Kinematic modeling of 3T1R parallel mechanism

設該機構靜平臺0為矩形，A1、A2、A3、A4分別表示位于靜平臺0上的轉動副R11、R21、R31和R41的位置。

在靜平臺上建立Oxyz坐標系，坐標系原點O位于A3和A4連線的中點，x軸過A1點，y軸與A3A4重合，z軸由右手法則確定；在動平臺1上建立puvw坐標系，原點p位于F點(即動平臺1與轉動副R13的相連處)，u軸平行于FC3連線，w軸與z軸平行，v軸由右手法則確定。

設θ1、θ2、θ3、θ4分別為轉動副R11、R21、R31、R41的輸入角(θ1為x軸正向與桿2的夾角，θ2、θ3、θ4分別為y軸正向與桿6、10、12的夾角)，如圖3a所示；動平臺1的姿態角α為u軸正向與x軸正向之間的夾角，如圖3b所示。

該機構結構參數為：動平臺長為FC3=l3，主動桿A1B1=A2B2=A3B3=A4B4=l4(

2.3 位置正解求解

已知主動輸入角θ1、θ2、θ3、θ4,求動平臺1上p點的位置(x，y，z)及姿態角α。

2.3.1BKC1的位置求解

求得點B1、B2的坐標分別為：(2l1+l4cosθ1，0，l4sinθ1)、(l1，l2+l4cosθ2，l4sinθ2)。因BKC1的κ1=0，因此，輸出桿5上C1點的位置計算如下：

由式(3)可知，輸出桿5的輸出運動為兩平移(2T)且始終平行于yOz平面，因此，xC1=l1，即C2的坐標為(l1,yC1+2l6,zC1)。

由桿長B1C1=B2C2=l5可得約束方程

(7)

并整理得

HyC1+MzC1=N

其中

H=2(yB2-2l6)M=2(zB2-zB1)

若H=M=0，則N=-(xB1-l1)2=0，但由于l4l1，因此，H、M不能同時為零。

(1)當H=0時

(2)當H≠0時

其中

2.3.2BKC2的位置求解

在BKC2中，球副S32和S42連線上的任意一點均可作為整個回路的末端點，故只需這兩個球副的坐標即可求解連線上任意一點的坐標。

根據主動臂的桿長和輸入角θ3、θ4即可求出點B3、B4的坐標分別為(0，l2+l4cosθ3，l4sinθ3)、(0，-l2+l4cosθ4，l4sinθ4)。

2.3.3BKC3的位置求解

在三角形B4C4B3中，由桿長約束B3C4=B4C4=l9可得

(8)

解方程組可得

由于B3、C4、C3在同一桿上，可根據桿長比例求得C3點的坐標為

在E-F-C3中，由桿長約束FC3=l3和EF=l7可得

(9)

解方程組可得

(10)

其中

至此，動平臺末端點p的坐標已求得，而轉角α可由動平臺上p與C3兩點的坐標求得，計算公式為

(11)

由式(10)、(11)可知，x=φ(θ1,θ2,θ3,θ4)、y=f(θ1,θ2,θ3,θ4)、z=φ(θ1,θ2)、α=η(θ1,θ2,θ3,θ4)，因此，該機構具有輸入-輸出(I-O)部分運動解耦性。

2.4 位置逆解求解

已知動平臺p的坐標(x，y，z)和姿態角α，求輸入角θ1、θ2、θ3、θ4。

而C2、C4的坐標分別根據C1、C3的坐標可得

C2=(l1,yC1+2l6,zC1)

由桿長約束B1C1=B2C2=B3C3=l5,B4C4=l9有

(12)

由此可得

(13)

綜上，C1點坐標有兩組解，且輸入角θ1、θ2、θ3、θ4均有兩組解，故該機構位置逆解共有32組解。

2.5 位置正逆解的實例驗算

2.5.1正解算例

設并聯機構結構參數為l1=300 mm,l2=300 mm,l3=150 mm,l4=250 mm,l5=800 mm,l6=100 mm,l7=200 mm,l8=25 mm,l9=700 mm。

設4個輸入角分別為：θ1=51.45°、θ2=31.81°、θ3=76.61°、θ4=124.57°。

根據位置正解式(10)、(11)求得4組實數正解，如表1所示。

表1 位置正解數值Tab.1 Numerical values of direct kinematics

2.5.2逆解算例

3 工作空間和轉動能力

3.1 工作空間

并聯機構的工作空間，是指在考慮運動副轉角范圍(球副轉角為±30°)、無奇異及桿長不干涉等約束條件下，末端執行器的工作區域。本文采用極限邊界搜索法對該并聯機構工作空間進行分析，首先，根據桿長設定工作空間的搜索范圍，然后，基于位置逆解式(12)求得該并聯機構的工作空間。

圖4 工作空間三維圖Fig.4 Three dimensional diagram of workspace

確定空間三維搜索范圍：600 mm≤z≤1 000 mm，-π≤θ≤π，0≤ρ≤800 mm(略大于桿件的活動范圍即可)。通過Matlab軟件編程，得到該并聯機構的三維工作空間如圖4所示；取不同z值時的x-y截面圖，如圖5所示。

圖5 工作空間的x-y截面圖Fig.5 x-y sections of workspace

由圖4、5可得，在z∈[600 mm,950 mm]范圍內，工作空間截面連續，且隨著z增加，截面面積逐漸縮小。由于桿5的運動始終垂直于x軸且位于支鏈B、C所組成的平面內，故動平臺上的p點在x方向上的極限位置，只與桿8的桿長l7有關，故工作空間僅在x∈[100 mm,300 mm]上存在。

圖6 z=600 mm時x-y截面各點動平臺轉角的分布Fig.6 Distributions of rotation angles of PM at z=600 mm

3.2 轉動能力

轉動能力是指動平臺(末端執行器)在工作區域內的轉角范圍，是衡量并聯機構輸出轉動靈活性的重要指標。本文采用與求解工作空間一樣的極限邊界搜索法，基于逆解式(12)分析某一固定z值處平面內各點的轉動能力。現取z=600 mm，通過Matlab，求得該高度z上x-y截面內的轉角α的范圍，如圖6所示。

由圖6可知，動平臺在z=600 mm時，轉角α的范圍很大，能達到[-180°,180°]的區域面積為0.23 m2,約占總區域面積(0.33 m2)的70%，表明在該平面內，動平臺具有較大的轉動能力；在z=700、800 mm的截面內，其對應的數值分別為66%和54%，因此，當動、靜平臺的距離變大時，動平臺的轉動能力會逐漸削弱。

4 奇異位置分析

當機構處于奇異位置時，運動會出現分岔現象，此時，機構的運動不具有確定性。因此，在并聯機構設計時，有必要對其可能存在的奇異位置進行分析。本文通過對位置逆解公式的求導，得出并分析雅可比矩陣，進一步得到該并聯機構可能存在的奇異位置。

4.1 雅可比矩陣求解

JpV=Jqω

(14)

其中

圖7 輸入奇異位置Fig.7 Input singularity position

4.2 奇異位置求解

當雅可比矩陣Jp和Jq中，只要有一個矩陣的行列式為零，該機構就會出現奇異位置。據此，可將并聯機構的奇異位置分為兩類：輸入奇異、輸出奇異。

4.2.1輸入奇異

當det(Jq)=0時，機構發生輸入奇異，此時機構的執行構件將失去某個方向的運動能力。一般此時的位形情況是一個運動鏈達到了工作空間的邊界。

由det(Jq)=0得Jq矩陣的行列式解的集合為

W={W1∪W2∪W3∪W4}

當W1=(zB1-zC1)l4cosθ1-(xB1-xC1)l4sinθ1=0，即桿2和平行四邊形短邊中點連線在Oxz面上的投影共線，如圖7a所示。

當W2=(zB2-zC2)l4cosθ2-(yB2-yC2)l4sinθ2=0，即桿6和桿7在Oyz面上的投影共線，在當前的桿長條件下不會出現這種情況。

當W3=(zB3-zC3)l4cosθ3-(yB3-yC3)l4sinθ3=0，即桿10和桿9在Oyz面上的投影共線，如圖7b所示。

當W4=(zB4-zC4)l4cosθ4-(yB4-yC4)l4sinθ4=0，即桿12和桿11在Oyz面上的投影共線，如圖7c所示。

4.2.2輸出奇異

當det(Jp)=0，機構發生輸出奇異，此時當所有的主動件鎖住時，執行構件依舊可以產生局部運動，從而使輸出產生不確定性。

將矩陣Jp看作4個列向量，即

為使det(Jp)=0，有以下3種情況：

(1)兩個向量線性相關

設ke1=e3(即e1、e3線性相關)，此情形可導出3種奇異條件，由式(10)可得:

平行四邊形短邊中點連線和桿9在Oyz平面上的投影平行，如圖8a所示。

當kf11=f31，即

桿9和桿8在Oxy平面上的投影平行，如圖8b所示。

當kf14=f34，即

桿9和FC3連線在Oxy平面上的投影平行，如圖8b所示。

圖8 輸出奇異位置(1)Fig.8 Output singularity (1)

兩向量線性相關的其他組合分析與此類似，不再一一贅述。

(2)3個向量線性相關

設e3=k1e1+k2e2(k1k2≠0)，則有：

平行四邊形短邊中點連線、桿7和桿9在Oyz平面上的投影不平行，如圖9a所示。

當k1f11+k2f21=f31，即

桿9和桿8在Oxy平面上的投影平行，如圖9b所示。

當k1f14+k2f24=f34，即

桿9和FC3連線在Oxy平面上的投影平行，如圖9b所示。

圖9 輸出奇異位置(2)Fig.9 Output singularity (2)

其余情況分析過程類似，不再一一贅述。

(3)4個向量線性相關

設e2=k1e1+k2e3+k3e4(k1k2k3≠0)，結合前面兩種情況的分析，此時，k1、k2、k3的值無法解出，此種情況不存在。

5 速度與加速度

5.1 速度公式

由式(12)的4個方程，可表示成唯一形式f(x，y，z，α)=0，全微分后可得

(15)

對式(15)兩邊同時除以dt得

(16)

當機構不存在奇異位置時，Jp可逆，則

(17)

式(17)即為動平臺原點p的速度正解公式。

5.2 加速度公式

取式(15)對時間t求導，可得

(18)

當機構不存在奇異位置時，Jp可逆，則

(19)

式(19)即為動平臺原點p的加速度求解公式。

5.3 算例與仿真

通過Matlab編程計算，得到動平臺1的速度與加速度，分別如表2、3所示。

表2 動平臺速度Tab.2 Velocity of moving platform

表3 動平臺加速度Tab.3 Acceleration of moving platform

同時，將該并聯機構的三維模型，通過Solid-Works導入到ADAMS軟件中進行仿真，得到動平臺的速度與加速度曲線，分別如圖10、11所示。

通過對比表2和圖10及表3和圖11可以得到，運用Matlab對式(15)～(19)進行編程計算得到的數值，與運用ADAMS仿真得到的曲線圖基本一致，其相對誤差僅為0.1%，例：表2中t=2 s時的數據與圖10中對應的4個數值(-15.800，-31.890，-66.215，-24.608)基本一致，從而驗證了所推導的速度與加速度公式的正確性。該機構動平臺的速度、加速度曲線,變化連續平穩、無突變峰值，具有較好的運動穩定性。

圖10 動平臺的速度曲線Fig.10 Velocity curves of moving platform

圖11 動平臺的加速度曲線Fig.11 Acceleration curves of moving platform

6 結論

(1)揭示了該機構的POC、自由度、耦合度、運動耦合性等重要拓撲結構特征，為簡化其運動學分析奠定了基礎。

(2)根據提出的基于序單開鏈的運動學建模原理，建立了該機構位置正解的求解模型，求解出了位置正解的解析解。

(3)基于導出的位置逆解公式，對該機構的工作空間和轉動能力進行了分析，發現其工作空間連續且轉動能力良好。

(4)分析了該機構可能存在的奇異位置及其出現的幾何條件，并通過雅可比矩陣推導出該機構動平臺的速度、加速度變化規律。