創意折疊桌的優化設計

張天周　王新蕊　于可欣

摘 要 本文運用了幾何空間坐標系和建立多目標優化模型等方法，在滿足穩固性、加工工藝簡便性和木料最省的條件下，使用matlab等軟件進行分析，得到折疊桌設計參數的最優解，更大程度上滿足了制造商和顧客的要求。

關鍵詞 折疊桌 多目標優化 邊緣線 動態模型

一、引言

欲生產一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上。

二、建立折疊桌空間坐標系

為滿足桌子的日常使用需求，需使桌高h=70cm，桌面直徑2R=80cm，我們將以桌面下表面的幾何中心為坐標原點建立空間坐標系，沿木條方向為X軸，垂直桌面長邊的方向為Y軸，垂直圓桌表面向下方向為Z軸，且以第三象限進行研究。

三、折疊桌最優設計加工參數的計算

本問題歸結為多目標優化問題：在滿足折疊桌結構穩定、受力平衡條件下，盡可能使折疊桌木槽總長度最小，木板總長度最短。由已知條件可知，桌高h=70cm，桌面直徑2R=80cm，根據經驗值，設桌子邊緣剩余長度為λ=6cm。當桌面高度一定時，木板總長度和桌腿的傾斜程度α有關。

（一）目標分析

1.折疊桌的用料最省。由于桌面的直徑為木板寬度，要使折疊桌用料最少，需要在滿足桌子高度的條件下最邊緣的桌腿最短，即：

2.加工工藝簡便。折疊桌的加工復雜程度主要受木槽長度的影響：

（2）

其中，k為鋼筋在第一根木條上的位置到桌面邊緣的距離與第一根木條總長度之比，di為折疊后鋼筋到桌面邊緣的距離。

（二）約束條件的選取

1.穩定性約束。木桌折疊后在一個狀態下保持穩定，不能再繼續彎折，在這個狀態下，桌子一側的最外側木條與另一側的最外側木條之間的距離應大于或等于桌面寬度a倍，則：

根據經驗可取λ=6，且此處a取值為1。

2.開槽長度和開槽位置的分析。圓形木桌桌腿在移動過程中，鋼筋由初始位置慢慢向下移動，木槽的位置既不能超過木板的最外側邊緣線，也不能超過桌面的半徑，最終開槽位置應該滿足如下不等式：

3.左右兩邊木條互不影響。在木板折疊后，最中間木條由最外側向中心位置移動，左側右側的木條不能接觸，左邊桌腳邊緣線從平鋪到折疊后始終在左半面內，即：

4.除最外側木條外桌腿的離地約束。除最邊上的4根木條落在地面起支撐作用外，其他木條均不能落地，即桌子折疊后其他桌腿的高度不能大于最外側木條高度：

（三）建立優化模型

基于以上對問題的分析，將以公式（2）、（3）為目標函數，（4）、（5）、（5）為約束條件，利用matlab求解，通過改變桌腿條數n，可得到桌腿條數的改變對k和α影響情況，通過綜合考慮，本文選擇n=10作為最優解，由此計算出木板總長度為170.91cm。

并由此得到折疊桌的加工參數。第一根到第十根分別為82.45、68.02、61.45、56.89、53.45、50.81、48.79、47.30、46.26、45.66（cm），初始開槽位置橫坐標為-45.03，且向X軸負方向開槽長度依次為0.00、8.92、14.67、19.38、23.29、26.52、29.10、31.09、32.49、33.32（cm）。

四、結語

本文在折疊桌高度、桌面直徑已知情況下，綜合考慮桌子多方面因素，總結出其目標函數以及約束條件，利用matlab求出了平板尺寸、鋼筋位置、各木條的開槽長度等參數。

（張天周單位為華北理工大學機械工程學院；王新蕊單位為華北理工大學冶金與能源學院；于可欣單位為華北理工大學理學院）

參考文獻

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