“用教材”

施俊進

[摘? 要] “學材再建構”體現的教材觀是“用教材”. “用教材”突顯“教為學服務”，在繼承中創新，所以必須充分發揮教師的主體創造性，即根據學情，設計的教學內容與教材必須有一定幅度的調整.

[關鍵詞] “用教材”;學生資源;教學調整;消枝強干

“學材再建構”體現的教材觀是“用教材”. “用教材”突顯“教為學服務”，在繼承中創新，所以必須充分發揮教師的主體創造性，即根據學情，設計的教學內容與教材必須有一定幅度的調整. 2019年2月28日，在《海門市初中“課堂革命”現場推進會暨83次校長俱樂部》活動中，筆者執教了“二元一次方程組（第1課時）”（人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊）一課. 現將課堂教學生成簡錄、反思建議，特別是依據學情和教學目標重組教學內容進行的“學材再建構”思考，整理成文，與各位同行交流.

課堂教學目標

1. 經歷分析實際問題中數量關系的過程，初步體會二元一次方程（組）是刻畫現實世界中含有兩個未知數的問題的數學模型，激發學生學習二元一次方程（組）的積極主動性.

2. 了解二元一次方程的意義、二元一次方程的解的意義和性質.

3. 通過對必須同時滿足兩個條件的具體問題的研究，建構二元一次方程、二元一次方程組的解的概念，滲透解二元一次方程組“消元”的思想與方法.

教學過程實錄（簡）

1. 環節一：師生互動，揭示本質

問題用30 cm長的細繩子打結后繃成一個長方形（打結所用的繩子長度不計）.

師提問：（1）長方形的形狀和大小能否確定（師演示變化著的長方形）？這樣的長方形有多少個？

（2）在這樣的變化過程中，有沒有不變的量或不變的關系？

【強調：繃成的各個長方形的長和寬不全相同，但周長不變，即“長+寬=15 cm”是不變的.】

（3）雖然“長+寬=15 cm”不變，但是“長”隨著“寬”的變化而變化（或者說“寬”隨著“長”的變化而變化），因此“長”和“寬”的值有多少對？

（4）當每給定“長”的值時，“寬”的值能否確定？有幾個值？

（5）當長分解為14 cm、12.5 cm、9 cm……寬的值能否確定？分別是多少？

【強調：由此可以看出，滿足“長+寬=15 cm”的長方形的“長”和“寬”的值不確定，有無數對. 但一旦給定“長”的值，“寬”的值隨之唯一確定，兩者是互相制約的.】

意圖通過師生對話，在“變化”中找“不變”，滲透函數概念的三要素：“在一個變化的過程中”“兩個變量”和“單值對應”，為后面有效實施函數概念的教學打下必要的基礎，同時為揭示二元一次方程的解的相關性和不定性做鋪墊.

師：為了深入研究的方便，我們設長方形的長為x cm，寬為y cm，于是可以得到怎樣的方程？

師追問：（1）這是什么方程？（眾生：二元一次方程）

（2）你是根據學什么知識的經驗來命名和定義的？為什么把方程x+y=15叫二元一次方程？什么樣的方程叫二元一次方程？

意圖引導學生分析新方程x+y=15的特點（并與一元一次方程作對比），揭示二元一次方程的本質：整式方程，含有2個未知數，未知數的次數都是1. （方式：生答師板書. 顯然，這樣的描述是不嚴密的，有待后面由學生自主調整）

師：二元一次方程與一元一次方程相比，只是多了一個未知數. 實際上，整式方程都是這樣命名和定義的. 根據已有的經驗，對于二元一次方程，我們還要研究它的什么內容？

意圖引導學生進行知識遷移，自主歸納二元一次方程的解的意義：能使二元一次方程左、右兩邊的值相等的未知數的值叫二元一次方程的解.

師：如何求二元一次方程x+y=15的解？

【方式：在學生獨立嘗試的基礎上，要求學生在小組里按下列要求進行交流：（1）說清楚你是怎么求的;（2）組長安排一位組員記錄，另一位組員準備全班匯報. （比一比哪個小組的思路最清晰，表達最清楚）】

組1：我們先給x取一個數值，然后計算出y的值，就得到了二元一次方程的解，結果發現二元一次方程的解有無數個.

組2：我們把方程x+y=15先化為y=15-x，然后發現當x=14時，y=1;當x=12.5時，y=2.5;當x=9時，y=6……

師：兩個小組的解法實際上都是把關于x，y的二元一次方程看作是關于y的一元一次方程. 即把x看作已知數，先給定一個x的值，再求相應的y的值，這一對x，y的值就是方程的一個解. 另外，由于x，y的值是相互制約的，所以記作x=14，

y=1;? x=12.5，

y=2.5;? x=9，

y=6 …

此處的省略號表示該二元一次方程有無數組解.

意圖通過與一元一次方程作比較，引導學生進行知識遷移，自覺地給新方程命名和定義（事實上，學生都能由學習一元一次方程的經驗，自覺命名新方程為“二元一次方程”）. 另外，通過自我比較和互相比較繃成的長方形的形狀，學生發現長與寬的和雖相同，但長與寬的值不全相同，有無數對滿足條件的長與寬的值. 這樣，學生既能自主地體會二元一次方程的意義，又能感悟二元一次方程的解的意義和性質，從而自主建構新知（二元一次方程）.

2. 環節二：設問激疑，自主建構

思考1若要使繃成的長方形的長比寬多3 cm，此時的長x和寬y又必須滿足什么條件？（生答：x-y=3）

師追問：（1）這是個二元一次方程嗎？為什么？

（2）說說這個方程的解是什么.

（生答，師板書：x=7，

y=4;x=9，

y=6;x=12，

y=9…）

思考2這兩個二元一次方程中的未知數x和y分別表示相同的量，也就是說，未知數x和y必須同時滿足這兩個二元一次方程. 我們把這兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組，寫成x+y=15，

x-y=3.

課堂練習下列方程組中，哪些是二元一次方程組？

（1）3x-4z=0，

x+y=7;（2）xy-y=5，

x+y=10;

（3）x=5，

2x+y=40.

生1：（1）不是二元一次方程組，因為它含有三個未知數，應該叫三元一次方程組.

師：非常正確！這位同學的知識遷移能力很強，由二元一次方程組聯想到了三元一次方程組.

生2：（2）也不是二元一次方程組，因為方程xy-y=5中的xy這一項的次數是2，所以方程xy-y=5應該叫二元二次方程.

師：這位同學的知識遷移能力也很強. 但是根據前面歸納二元一次方程的定義中“未知數的次數都是1”的要求，xy-y=5應該還是叫二元一次方程.

【生思考】

師提問：問題出在哪里？定義應該怎么改？

生3：將“未知數的次數都是1”改為“含未知數的項的次數都是1”.

……

師：大家對方程組（3）有爭議，但其實它是二元一次方程組. 那么什么是二元一次方程組？請大家用自己的語言來敘述.

師生共同小結：如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么它們就組成一個二元一次方程組. 如x=12，

y=9也是一個二元一次方程組.

師：你能猜想二元一次方程組x+y=15，

x-y=3 的解是什么嗎？為什么這么猜想？

練習下面三組數值中，哪一組是二元一次方程組2x-3y=-8，

x+2y=3 的解？

A. x=2

y=4 ? B. x=1

y=1 C. x=-1

y=2

師追問：你是怎么判斷的？什么叫二元一次方程組的解？

師生共同小結：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫這個二元一次方程組的解.

師：求二元一次方程組的解時，先分別求出各個方程的解，再找到公共解，這種方法叫列舉法. 這種方法顯然比較煩瑣，那能否找到簡捷而可靠的方法呢？

思考3以解方程組x+y=15①，

x-y=3② 為例，探究解二元一次方程組的簡便方法.

【在學生獨立探究的基礎上，小組交流，最后全班交流】

生4：由①+②可以得到一元一次方程2x=18，求得x的值后代入上述任意一個方程，便可求得y的值.

生5：由①得x=15-y，把它代入②可以得到一元一次方程15-y-y=3，從而求得y的值. 之后代入x=15-y便可求得x的值.

師追問：這樣做的依據是什么？

師：生1的方法是“加減消元法”，兩方程相加的依據是“等式性質”;生2的方法是“代入消元法”，依據是“等量代換”. 兩種方法的解題思想是一致的，即消元，轉化為一元一次方程來求解.

意圖將文章開頭所提的長方形問題適當延伸，通過一系列激疑的設問、追問，讓學生在有序的思考中感受，在感受的基礎上進行理性的概括和提升. 這樣不僅建構了相關概念和基本思想方法（二元一次方程組的意義、解的意義、解法思路和途徑），而且激發了學生的深度思維和參與活力.

3. 環節三：共同回顧，總結提升

引導學生圍繞問題思考與交流：（1）如何理解二元一次方程組的解的意義？（2）如何求二元一次方程（組）的解？（3）通過學習，積累了哪些重要的學習方法或經驗？

師生共同總結，完善板書如圖1.

意圖引導學生從知識、技能、方法、思想、情感等多方面進行自主反思與內化（不是“灌”給學生的，而是自然“長”成的），從整體上架起結構，形成“結構性板書”. 這種包含了知識研究的邏輯體系（或者研究知識的基本套路）和思想方法的“結構性板書”，突出了知識的生成過程和包含關系，學生看了便一目了然，有利于整體把握相關知識和方法，力求實現“智慧不是別的，而是一種組織得很好的知識結構（俄·教育家烏申斯基）”.

4. 環節四：課外鞏固，分層提高略.

教學反思

1. “用教材”——“學材再建構”的教材觀

本節課的教學內容與教材相比，有了大幅度的調整，這顯然不是“教教材”（“教教材”往往只是繼承，教師被動地教，學生也被動地學，學為教服務）. 教材分二元一次方程、二元一次方程組兩節進行教學，目的是分解教學難點（“實際問題—數學問題”的建模過程和二元一次方程組的解的意義）. 實際上，學生在學習“一元一次方程”時，就已經感受過“實際問題—數學問題”的建模過程，學習“求代數式的值”時，就已經在具體的探索過程中感受過變化的數量及其關系，初步感悟了函數思想，因此，將二元一次方程和二元一次方程組的有關內容有機融合在一起時，學生在知識和方法上都有一定的基礎. 學生在學習了一元一次方程的基礎上學習二元一次方程（組），就必須完成“一元”向“二元”的發展和“二元”向“一元”的轉化，這是教學的難點，也是重點. 具體地說，一元一次方程的解是唯一的，而且是一個未知數的值，而二元一次方程的解不唯一，且每個解都是互相制約的一對未知數的值. 為此，給學生繃一個周長（即長與寬的和）為定值的長方形，讓學生在自我比較和互相比較繃成的長方形的形狀中，發現長與寬的和雖相同，但長與寬的值不全相同，有無數對滿足條件的長與寬的值. 這樣，學生既能自主地體會二元一次方程的意義，又能感悟到二元一次方程的解的意義和性質，從而自主建構新知——二元一次方程. 在此基礎上，將實際問題數學化，分析求方程x+y=15的解的過程是將原方程變形為y=15-x（或x=15-y），把x（或y）看作已知數，先給定一個值，代入變形后的方程求出y（或x），實質上是將關于“x，y”的二元一次方程，轉化成關于“y”（或“x”）的一元一次方程來解決. 弄清楚二元一次方程的意義和解，以及解的特性和解法后，再將長方形問題延伸至構建二元一次方程組的模型，引導學生探究其意義、解的意義和解法思路與途徑，便是“水到渠成”了.

另外，“用教材”也體現在用好“學生資源”這種“教材”（準確地說應該是學生學習的“學材”）. 如為突破二元一次方程組的解這個教學難點，教學中，可引導學生先猜想二元一次方程組x+y=15，

x-y=3 的解是什么. 當學生有困難時，引導學生觀察已經得到的兩個方程的各個解，同時追問學生怎么猜想. 接著，讓學生練習（找二元一次方程組的解），再次追問“你是怎么判斷的”“什么叫二元一次方程組的解”，然后師生共同小結二元一次方程組的解的意義. 最后，讓學生感受到用列舉法求二元一次方程組的解的煩瑣，自然而然地激發學生自主探究簡捷而可靠的二元一次方程組的解法（學生自身潛在的豐富的認知力、情感力）.

2. “用教材”——“學材再建構”依據學情對“學材”進行“消枝強干”

對“學材”進行“消枝強干”，即對教學內容進行增刪、強化或弱化處理等. “消枝”，即刪除或減弱影響教學重點落實的“枝葉”（非重點內容）. 如二元一次方程及其解的意義不是本節課的重點教學內容，在得出二元一次方程及其解的意義后，沒有常規的練習鞏固和過多的糾纏，從而減弱其對教學重點的影響. “強干”，即增強教學重點內容的“主干”. 為了強化教學重點“二元一次方程組的解的意義、消元的思想方法”這一過程性目標的落實，應舍得花時間. 首先，應充分給予學生獨立思考、觀察和嘗試的時間與空間;其次，引導學生在小組內按要求自覺地進行探究，或通過系列化激疑的設問、追問，讓學生在有序的思考中感受，在感受的基礎上進行理性的概括和提升. 這樣不僅能自然而然地自主建構相關概念、基本思想方法，而且能激發學生的深度思維和參與活力.

3. “用教材”——“學材再建構”必須從三個“順應”入手

（1）必須順應學生原有的認知基礎

學習二元一次方程（組），必須要知道學生已有的認知基礎，引導學生在具體情境中自主建構二元一次方程（組）及其解的意義等;根據學生解一元一次方程的經驗，幫助學生自主探索求二元一次方程（組）的思想方法和理論依據.

（2）必須順應學生的最近發展區

根據學生已有的發展水平，引導學生利用知識和方法的遷移，自主猜想二元一次方程（組）及其解的意義，解二元一次方程組的基本思路是通過“消元”變形轉化為“x=a，

y=b ”的形式，從而實現學生自主探究，以舊引新，盡可能地達到潛在的發展水平（沒有外部傳遞和灌輸）.

（3）必須順應學生的學習興趣，激發參與熱情，激活思維

如“長方形的形狀和大小能否確定？這樣的長方形有多少個？在這樣的變化過程中，有沒有不變的量或關系”“你能猜想二元一次方程組x+y=15，

x-y=3的解是什么嗎？為什么這么猜想”等. 當學生對學習產生興趣時，自然會主動地想去學，從而逐漸學會，乃至會學;當學生會學時，自然會興趣盎然，學習興趣和積極性會進一步得到激發. 當然，如果通過努力，問題始終得不到解決，那興趣就不能保持，自主發展也就沒有了空間.

“用教材”和“教教材”的根本問題是教學理念的沖突，即如何處理繼承和創造的關系. “學材再建構”要求教師創造性地用好“教材”，引導學生自主接納新認知，并融入原有的認知結構，在生生之間、師生之間深度交流，以激發火花，啟迪思維，形成共識，產生創新成果. 顯然，“學材再建構”必須與學生的學習基礎和自學能力同步，與學生的知識體系、認知結構相匹配，與學生思維能力和思維品質的提升相呼應，與學生的學習興趣和價值認同相吻合等.