建立數學模型，輕松解決初中數學實際問題

蔡振華

[摘? 要] 數學模型在初中數學的學習過程中，不僅是一種模型，更是一種思想，對于學生而言，它不僅是一種數學方法，更是一種數學素養，所以學生應熟悉數學模型的建立與應用，深刻感悟模型建立與應用的一般步驟.

[關鍵詞] 數學模型;實際問題;數學教學

數學模型是連接數學知識與實際應用的橋梁，隨著時代的發展與教育改革的不斷深入，如今的數學教學更加重視與生活的聯系及學生應用能力的發展，實際問題在數學問題中的比重逐漸增大已成為一種趨勢. 在實際問題的解決中，建立數學模型，發現實際問題中隱含的數學知識是解決數學問題的關鍵. 建立數學模型的基本思路就是根據實際問題抽象出數學問題，建立數學模型，用數學邏輯和數學方法來求解模型，再根據結果確定實際問題的解. 下文筆者結合實例，簡要談談初中數學中常見模型思想的種類及建立數學模型解決實際問題的方法，供各位參考.

方程（組）模型

方程（組）模型是應用題中最為常見的模型，即我們常說的“列方程解應用題”. 建立方程（組）模型的一般思路是：分析已知量、未知量，將實際問題抽象成數學問題→找出等量關系→構建方程（組）模型→求出方程（組）的解→確定實際問題的解.

例1? 學校組織學生去春游，公園里共有大小兩種規格的游船48艘，共可容納520人，其中小船每艘可坐8人，大船每艘可坐12人，問大船和小船各有多少艘？

第一步：分析已知條件和未知數的個數.

由已知條件可知，題中設計了兩個未知量，共有兩個等量關系.

第二步：設未知數，找等量關系.

設大船共x艘，小船y艘. 等量關系為：①大船的數量+小船的數量=48，②大船可容納的總人數+小船可容納的總人數=520.

第三步：列方程、解方程.

列出方程x+y=48，

12x+8y=520， 解得x=34，

y=14.

第四步：確定實際問題的解.

大船34艘，小船14艘.

在初中數學階段，常見的方程（組）模型有：“人員調配”“增長率”“銷售利潤”“工程問題”“行程問題”等，在解題過程中，找準等量關系，正確構建方程（組）模型是解決問題的關鍵.

不等式（組）模型

在實際問題中，應用較為廣泛的另一種模型便是不等式（組）模型. 在不等關系中，可以構建“不等式（組）”模型，其基本步驟和構建方程（組）模型相似，即審題，分析已知和未知→找不等關系→設未知數→建立不等式模型→解不等式→根據實際問題寫出答案.

例2? 學期末，為了獎勵進步顯著的20名學生，李老師讓班長用不超過200元的班費購買20份獎品，小明到了文具店后發現筆記本5元一本，筆袋16元一個，班長想盡可能多購買筆袋，你覺得他最多能買幾個筆袋呢？

第一步：分析題中的已知條件和未知量.

已知條件：獎品總數20，總價不超過200;未知量：筆記本的數量、筆袋的數量.

第二步：找出不等關系.

筆記本的價錢+筆袋的價錢≤200.

第三步：列不等式、解不等式.

設購買x個筆袋，5（20-x）+16x≤200，解得x≤.

第四步：確定實際問題的解.

因為x為正整數，所以最大值為9，即最多買9個筆袋.

常見的不等式（組）模型有“最佳購買方案問題”“最省資金調配問題”等，找準不等關系確立不等式是主要任務，讀透題目、找到題中的關鍵詞是找不等關系的突破口.

概率模型

概率模型是最貼近生活的模型，概率通俗來說就是事件發生的可能性，它充盈在生活的每一個角落，“明天下雨的可能性有多大”“拋擲一枚一元硬幣，正面朝上的概率有多大”“買一瓶綠茶，喝到‘再來一瓶的可能性有多大”等. 建立概率模型，用數學語言刻畫上述事件發生的可能性，會使其更加具有說服力. 其基本方法是將實際問題抽象成為數學問題→建立概率模型→用概率描述事件發生的可能性大小.

例3? 如圖1，某商場為了吸引顧客，設立了可以自由轉動的轉盤，并規定：顧客每購買200元的商品就能獲得一次轉轉盤的機會. 轉盤停止后，指針正好對準紅色、黃色、綠色區域，那么顧客就可以分別獲得200元、100元、50元的購物券，如果對準其余區域則無法獲得購物券. 如果顧客不愿意轉轉盤，可以選擇直接獲得30元購物券. 你認為轉轉盤和直接獲得購物券哪種方式對顧客更合算？

將此問題抽象成為數學問題即為：選擇轉轉盤的顧客平均獲得的購物券價值和直接獲得的30元哪個更大？

建立概率模型討論：P（指針指在紅色區域）=，P（指針指在黃色區域）=，P（指針指在綠色區域）=. 所以客戶轉動轉盤平均能獲得的優惠券價值為：200×+100×+50×=40（元），大于直接獲得30元優惠券. 因此轉動轉盤對顧客來說更合算.

常見的概率模型有“彩票獲獎概率”“比賽的公平性”等，還有一些古典概型. 看清問題的本質，準確建立概率模型，是用概率的大小描述事件可能性的中心環節[1].

函數模型

函數是整個初中數學的重點內容，用函數模型解決實際問題是函數學習內容中的重點，以二次函數的模型最為常見. 其基本思路是：發現函數關系→建立函數模型→求解函數模型→確定實際問題的解.

例4? 小梅在數學學科社會實踐中對某商場某種進價為30元的商品售價與銷量進行了為期3個月（按90天來計）的跟蹤調查，最后整理成了表1.

[時間 （天） 1≤x<50 50≤x<90 售價（元/件） x+40 90 每天銷量（件） 200-2x ][表1]

（1）你能根據表格推算出哪一天的銷售利潤最大嗎？最大利潤是多少？

（2）已知銷售員在銷售這種商品時，只有當每天利潤不低于4800元時才能得到獎金. 請你計算一下這3個月中銷售員可以獲得獎金的天數.

第一步：發現函數模型.

該種商品每天的利潤為時間x的函數.

第二步：建立函數模型.

設每天的利潤為y，則當1≤x<50時，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000，當50≤x<90時，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000. 可見y是關于x的分段函數.

第三步：求解問題.

（1）當1≤x<50時，函數為y=-2x2+180x+2000=-2（x-45）2+6050，是開口向下的二次函數，所以當x=45時，y=6050. 當50≤x<90時，y隨x的增大而減小，所以當x=50時，y=6000. 綜上所述，該商品在第45天時利潤最大，最大為6050元.

（2）根據函數圖像，當20≤x≤60時，函數值大于4800，所以共41天可以拿到獎金.

在實際問題中，“用料最省”“成本最低”“利潤最大”等關鍵詞都是函數模型的“提示語”，我們要用發現的眼光看待這些問題，準確建立函數模型.

幾何模型

說到幾何模型，我們最先想到的可能是全等、相似、面積及“半角模型”“一線三等角模型”等常見的幾何模型，這些均是較為明顯的模型，直接存在于幾何圖形中，在此不再贅述. 細心觀察，在實際問題中也存在著“隱性”的幾何模型，如“雙循環賽”“單循環賽”常常使學生們混淆不清，如果換一種角度思考，將代數轉化為幾何，問題將迎刃而解[2].

例5? 校籃球賽，學校共有8支球隊參賽，如果采用單循環制，需要比賽幾場？如果是雙循環制呢？

將此問題中的8支球隊看成是平面中的8個點（其中任何三個點都不在同一條直線上），用兩點之間的連線刻畫“每兩個隊之間的比賽”，可以發現，從一個點出發可以作7條線段，即每個球隊要比賽7場，總場數即為7×8=56場，單循環賽即每兩點之間的線段只需算一次，所以總場次為×（7×8）=28.

常見的用幾何模型來解決的代數問題除了循環賽問題還有送禮問題、握手擁抱等. 建立幾何模型能讓抽象的問題變得直觀，讓深奧的問題更易于理解. 是“數形結合”思想的重要體現.

在初中數學中，模型思想是重要的數學思想之一，數學教學中，滲透模型思想有利于學生更好地體悟數學與生活的聯系，也能增強學生用數學知識解決實際問題的能力，對學生數學素養的發展有著積極的作用. 而在滲透模型思想的教學中，教師的關注點應放在如何引導學生發現問題中的模型和建立模型上，讓其能正確建立模型，輕松解決數學問題. 學生會在應用中提升數學思想的感悟度、理解度、應用度，從而在實實在在地訓練與實踐，全面提升數學的學科素養，提升學生自我的核心素養，促進學生在學習與生活上的可持續發展.

參考文獻：

[1]錢德春. 試題編制，一門遺憾的藝術——2014年泰州中考數學第25題的分析與反思[J].? 中學數學雜志，2014（8）：50-52.

[2]王美蘭. 如何編制初中數學開放性試題[J]. 中學數學，2012（14）：92-93.