剖析尺規(guī)作圖，探討破題啟示

符學(xué)建

[摘? 要] 尺規(guī)作圖是初中數(shù)學(xué)較為重要的內(nèi)容，中考對尺規(guī)作圖的考查涉及多種形式，有直接考查作圖設(shè)計(jì)的，也有依托尺規(guī)作圖考查幾何問題的，而理解基本的幾何原理，了解作圖的基本過程，能夠從中提煉出幾何性質(zhì)是突破考題的關(guān)鍵. 文章探析了中考尺規(guī)作圖題的基本類型，并展開相應(yīng)的學(xué)習(xí)思考.

[關(guān)鍵詞] 尺規(guī)作圖;幾何;設(shè)計(jì);思考啟示

尺規(guī)作圖指的是，在僅使用圓規(guī)和無刻度直尺的情況下進(jìn)行相應(yīng)的作圖操作. 尺規(guī)作圖，不僅可以歸納一些性質(zhì)和定理，還可以鍛煉學(xué)生的實(shí)踐操作能力. 近幾年，中考常將尺規(guī)作圖融入考題，用以考查學(xué)生的幾何知識(shí)和實(shí)踐分析能力，下面筆者將對尺規(guī)作圖題進(jìn)行探析[1].

類型探究，破題評析

1. 尺規(guī)作圖與幾何計(jì)算

例1? （2018年淮安中考）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)分別為P，Q，過P，Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D，則CD的長是______.

分析上述呈現(xiàn)了垂直平分線的作圖過程，即PQ為線段AB的垂直平分線. 要求線段CD的長，需要充分利用垂直平分線的性質(zhì). 連接AD后，由垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD. 若設(shè)AD=x，則CD=BC-DB=5-x. 在Rt△ACD中由勾股定理可得AD2=AC2+CD2，從而可構(gòu)建關(guān)于x的方程，解方程后即可求得CD的長.

解答連接AD，如圖2，因?yàn)镻Q為線段AB的垂直平分線，所以AD=DB. 設(shè)AD=x，則CD=BC-DB=5-x. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得x2=32+（5-x）2，解得x=，所以CD=.

評析? 本題將尺規(guī)作圖與線段求值相結(jié)合，考查學(xué)生垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí). 考題在設(shè)計(jì)上摒棄了傳統(tǒng)的幾何特征敘述的方式，采用的方式是作圖過程描述，解題的關(guān)鍵是理解垂直平分線的作圖方法，然后構(gòu)建求解線段長的幾何模型. 考題構(gòu)思巧妙，可見學(xué)習(xí)作圖過程的規(guī)范語言對解題極為重要.

2. 尺規(guī)作圖與證明猜想

例2（2018年深圳中考節(jié)選）已知菱形的一個(gè)角與三角形的一個(gè)角重合，然后它的對角頂點(diǎn)在這個(gè)重合角的對邊上，這個(gè)菱形稱為這個(gè)三角形的親密菱形. 如圖3，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以點(diǎn)C為圓心，以任意長為半徑作弧AD，再分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，以大于AD的長為半徑作弧，交EF于點(diǎn)B，AB∥CD. 求證：四邊形ACDB為△FEC的親密菱形.

分析要解決此題，首先需要理解新定義，并從中提煉滿足定義的條件，即菱形的一個(gè)角與三角形融合，且對角頂點(diǎn)在三角形上;然后分析尺規(guī)作圖的過程，提取其中的幾何信息. 具體證明思路可以是，先證明四邊形ACDB為菱形，再結(jié)合定義條件證明其為△FEC的親密菱形.

證明上述呈現(xiàn)的是角平分線的尺規(guī)作圖過程，即CB為∠ACD的平分線，于是有∠ACB=∠DCB，AC=CD. 因?yàn)锳B∥CD，所以∠ABC=∠DCB. 所以∠ACB=∠ABC. 所以CD=AC=AB. 所以四邊形ACDB為菱形. 因?yàn)椤螦CD與△CFE中的∠FCE重合，且對角頂點(diǎn)B在EF邊上，所以四邊形ACDB為△FEC的親密菱形.

評析本題將尺規(guī)作圖與新定義題的證明進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，用作圖過程替換了其中的幾何條件，在增強(qiáng)應(yīng)用性的基礎(chǔ)上考查了學(xué)生的演繹推理能力. 解答問題時(shí)需注意兩點(diǎn)：一是提取作圖過程中形成的幾何性質(zhì);二是嚴(yán)格按照幾何證明的邏輯進(jìn)行推理，由已知探未知，用推理證猜想.

3. 尺規(guī)作圖與方案設(shè)計(jì)

例3（2018年天門中考）圖4和圖5都是由邊長為1的小菱形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn). 點(diǎn)O，M，N，A，B均在格點(diǎn)上，請僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖.

（1）在圖4中畫出∠MON的平分線OP;

（2）在圖5中畫一個(gè)Rt△ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上.

分析第（1）問要求在網(wǎng)格中作出∠MON的平分線，考慮到全等三角形的對應(yīng)角相等，于是可以作出共頂點(diǎn)O和P的兩個(gè)全等的三角形，如△MOP≌△NOP，在網(wǎng)格中可以利用單元菱形的性質(zhì)來確定等長. 第（2）問是作Rt△ABC，條件有兩個(gè)：一是有直角，二是點(diǎn)C在格點(diǎn)上. 由于單元圖形為菱形，而菱形的兩條對角線互相垂直，于是可以借助其特性，通過連線、作平行線的方式來實(shí)現(xiàn).

解答（1）具體作圖如圖6，確保△MOP與△NOP全等即可.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)B為單元菱形的一個(gè)頂點(diǎn)，所以可以連接該單元菱形的對角線，分別命名為EF和BC，連接AC即可，此時(shí)AC∥EF，而EF⊥BC，所以BC⊥AC. 所以△ABC是以∠ACB=90°的直角三角形，如圖7.

評析上述考題要求在網(wǎng)格內(nèi)作圖，屬于尺規(guī)作圖的方案設(shè)計(jì)題. 解決尺規(guī)設(shè)計(jì)題需要把握兩點(diǎn)：一是設(shè)計(jì)的原理，即根據(jù)幾何定理和性質(zhì)確定方案;二是按照特定的程序和順序開展設(shè)計(jì)，即在繪圖時(shí)基于原理以一定的順序進(jìn)行連線. 因此，以尺規(guī)作圖為載體的方案設(shè)計(jì)題是對學(xué)生幾何理解和數(shù)學(xué)探究能力的綜合考查，可見培養(yǎng)實(shí)踐技能對于該類問題的解答十分重要.

4. 尺規(guī)作圖與實(shí)際應(yīng)用

例4? （2018年濟(jì)寧中考）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，某數(shù)學(xué)小組探究求環(huán)形花壇面積的方法，現(xiàn)有以下工具（如圖8）：①卷尺;②直棒EF;③T形尺（CD所在的直線垂直平分線段AB）.

[卷尺][B][D][C][E][A][F][直棒][T形尺][圖8]

（1）在圖9中，請你畫出用T形尺找大圓圓心的示意圖（保留畫圖痕跡，不寫畫法）;

（2）如圖10，小華說：“我只用一根直棒和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積，具體做法如下：將直棒放置到與小圓相切，用卷尺量出此時(shí)直棒與大圓兩交點(diǎn)M，N之間的距離，就可以求出環(huán)形花壇的面積. 如果測得MN=10 m，請你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面積.

[圖10][O][E][F][M][N]

分析上述為應(yīng)用尺規(guī)作圖求解實(shí)際問題的案例. 第（1）問利用T形尺找圓心，首先需要理解T形尺的兩條邊的關(guān)系，即長邊是短邊的垂直平分線. 如果將T形尺放入圓內(nèi)任意位置，則由其性質(zhì)可知T形尺的長邊必過圓心，于是可以利用兩線交點(diǎn)確定一點(diǎn)來達(dá)到找圓心的目的. 第（2）問同樣是尺規(guī)作圖的生活化實(shí)踐，首先需要結(jié)合圓環(huán)的求解公式分析所需的線段參數(shù)，然后構(gòu)建模型.

解答? （1）將T形尺的短邊沿圓內(nèi)壁任意位置擺放，記長邊為CD，然后換個(gè)位置再記長邊為C′D′，則CD與C′D′的交點(diǎn)就是圓心O，如圖11所示.

（2）如圖12所示，過圓心O作MN的垂線，垂足為點(diǎn)Q，連接OM. 由于MN為內(nèi)圓的切線，所以S=π·OM2-π·OQ2=π·（OM2-OQ2）. 結(jié)合Rt△MOQ中的勾股定理可得OM2-OQ2=MQ2，于是S=π·MQ2. 又MQ=MN=5 m，所以S環(huán)形=25π m2.

評析本題通過探究的方式將尺規(guī)作圖融入生活實(shí)際問題中，用實(shí)物量具取代數(shù)學(xué)尺規(guī)工具，可以充分考查學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解與應(yīng)用. 同時(shí)，這種生活化的作圖氛圍也是對“知識(shí)源于生活，又服務(wù)于生活”理念的體現(xiàn). 求解時(shí)，需要充分利用所學(xué)思考問題解決的措施，并結(jié)合具體的幾何定理來構(gòu)建問題分析模型.

作圖思考，學(xué)習(xí)啟示

1. 強(qiáng)化幾何原理

尺規(guī)作圖雖然屬于實(shí)踐操作類問題，但操作的過程是基于對應(yīng)的幾何原理，因此本質(zhì)上尺規(guī)作圖是知識(shí)與操作綜合應(yīng)用的過程. 理解幾何的基本性質(zhì)和定理是進(jìn)行尺規(guī)作圖的前提，依據(jù)科學(xué)理論進(jìn)行操作才是有意義的[2]. 尺規(guī)作圖最為常用的幾何原理有角平分線性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)和三角形全等定理等，對于上述內(nèi)容的學(xué)習(xí)，不僅需要理解具體的含義，還需要掌握具體的應(yīng)用過程，能夠使用對應(yīng)的性質(zhì)、定理進(jìn)行問題的分析，具體學(xué)習(xí)時(shí)可以多關(guān)注教材的實(shí)踐活動(dòng)，拓展應(yīng)用視野.

2. 理解數(shù)學(xué)語言

一類尺規(guī)作圖題常以文字?jǐn)⑹龅男问絹沓尸F(xiàn)作圖過程，要求結(jié)合作圖過程解決相應(yīng)的問題，如上述考題關(guān)于角平分線和垂直平分線的作圖問題，其中最為顯著的特點(diǎn)是呈現(xiàn)過程，隱含性質(zhì)，因此理解過程、準(zhǔn)確地提取性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵. 教材中對相關(guān)作圖操作進(jìn)行描述時(shí)使用的是對應(yīng)的數(shù)學(xué)語言，即綜合符號(hào)、字母和文字，因此學(xué)習(xí)時(shí)特別需要注重?cái)?shù)學(xué)語言與幾何作圖的對應(yīng)轉(zhuǎn)化. 如學(xué)習(xí)角平分線的性質(zhì)時(shí)，不僅要掌握角平分線的作圖過程和性質(zhì)，還需要理解作圖語言[3]. 掌握數(shù)學(xué)語言的定理描述，實(shí)現(xiàn)幾何的規(guī)范化操作，是提升尺規(guī)作圖能力的必要條件.

3. 提升數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)的解題過程是多種思維活動(dòng)的過程，作圖時(shí)需要掌握對應(yīng)的方法流程和幾何原理，所以解決尺規(guī)作圖題時(shí)，需要結(jié)合相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行推理，包括合情推理和演繹推理. 尤其是對于較為復(fù)雜的作圖題，需要進(jìn)行嚴(yán)格的分析和論證，必要時(shí)還需要結(jié)合對應(yīng)的思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、等效轉(zhuǎn)化思想等. 以思想方法為指引，以基本知識(shí)為依托，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的推理活動(dòng)，這才是科學(xué)的尺規(guī)作圖. 因此，提升尺規(guī)作圖能力時(shí)，首先要提升數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)自身綜合素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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