淺談含絕對值不等式解題技巧

賀敬

【摘要】含絕對值不等式的題型是高考物理中比較常見的一類題型，這類題型由于難度不高，屬于送分題型，需要確保解題的準確率以及保證一定的解題速度，這需要學生掌握一定的解題方法以及特定的解題技巧.本文簡單地闡述了常見絕對值不等式的一些解題技巧，希望能給廣大學生的學習帶來幫助.

【關鍵詞】絕對值不等式;幾何法;定義法;分類討論法

一、有關定義法求解絕對值不等式

分析：利用定義法求解含有絕對值的不等式，即利用|a|=a（a>0），0（a=0），-a（a<0）， 出發點是將絕對值先去掉后再進行求解.

例1 解關于含有x的絕對值不等式|ax-2|<4，其中a∈R.

解 |ax-2|<4屬于|x|0）型，

∴-4

當a>0時，-2a

當a<0時，-2a>x>6a，

當a=0時，不等式實際轉化為-2<6，顯然x∈R.

因此，a>0時不等式解集是x-2a

點評 利用定義法求解含有絕對值的不等式實際是根據不等式右邊常數是正數、零還是負數，將不等式左邊的絕對值去掉，然而求解不含有絕對值的不等式，再進行求解.但是，要注意分類討論時千萬別漏掉一些情況.

二、有關幾何法求解絕對值不等式

分析：幾何法求解含有絕對值的不等式，又稱為數軸法或者圖像法求解含有絕對值的不等式.

例2 求解含有絕對值不等式|x-1|+|x+1|≥5的解集為.

解 利用數軸法定義：從幾何意義方面去考慮|x-1|表示的幾何意義是x到1的距離，|x+1|表示的幾何意義為x到-1的距離，原不等式的幾何意義是求x到1的距離及到-1的距離之和大于等于5，觀察數軸：

當x位于-1與1之間時，x與1的距離及與-1的距離之和為2，即|x-1|+|x+1|=2;當x在1的右邊時，取x=2.5，有x到1的距離及到-1的距離之和為5，即|x-1|+|x+1|=5，因此，當x≥2.5時，有|x-1|+|x+1|≥5.同理，當x在-1的左邊時，取x=-2.5，有x到1的距離及到-1的距離之和為5，即|x-1|+|x+1|=5，因此，當x≤-3時，有|x-1|+|x+1|≥5.

綜合以上可得x∈（-∞，-2.5]∪[2.5，+∞）為所求解.

點評 利用數軸法的解決含有絕對值不等式的關鍵是將分界點找出，然后利用距離的思想找出符合題意的方法，數軸法解題的速度是最快的，但應用范圍較窄，一般僅限于含有兩個絕對值不等式的求解.

三、有關分類討論法求解絕對值不等式

分析：通過合理的分類來將不等式中的所有絕對值去掉，從而有效方便地求解不等式.|x-a|+|x-b|≤c型絕對值不等式的解題步驟是：

（1）假設每個具有絕對值的等式代數和為零，并求出相對應的解;

（2）將這些所有的解按從小到大排序，并把這些解分為若干個區間（類似于幾何法）;

（3）由所分區間去掉絕對值符號后，所組成若干個不等式，解這些不等式，求出所有可能的解;

（4）取各個不等式解集的并集求得原不等式的解集.

例3 不等式|x+3|-|2x-1|

解 ① 當x<-3時，原不等式化為-（x+3）-（1-2x）

② 當-3≤x<12時，原不等式化為（x+3）-（1-2x）

③ 當x≥12時，原不等式化為（x+3）-（2x-1）2，∴x>2.

因此，絕對值不等式的解集為xx<-25或x>2.

點評 分類討論法解決絕對值不等式是一種通用的方法，所有的絕對值不等式都可以用此類方法進行求解.分類討論時要將所有的臨界點都分析清楚，要全不能漏掉，將臨界點考慮清楚后可以將絕對值符號全部去掉，從而化簡為一般的不等式，最后將所有的解都求解出.

四、結束語

含有絕對值的不等式是高中數學一個較為常見的知識點，也是高考數學的一個送分題，需要好好把握.本文主要闡述了定義法、幾何法以及分類討論法求解含有絕對值的不等式，其所有方法的核心思想是將絕對值符號去掉，轉化為不含有絕對值的不等式，再進行求解即可.