數(shù)學教材“拓展欄目”：價值挖掘與實現(xiàn)策略
——基于人教A版“數(shù)列”章節(jié)的分析

張定強，梁會芳

（西北師范大學教育學院，甘肅 蘭州 730070）

教材作為教育教學權威、穩(wěn)定、直接、系統(tǒng)的課程資源，是教師和學生之間的紐帶，鉆研教材、吃透教材、把握教材、運用教材是教育教學有效運行的基本保障。為了貫徹《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》所提出的“通過在高中階段數(shù)學文化的學習，學生將體會數(shù)學的科學價值、應用價值、人文價值，尋求數(shù)學進步的歷史軌跡，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領會數(shù)學的美學價值”[1]這一理念，人教A版普通高中課程標準實驗教科書在編制的過程中，富有創(chuàng)意地設置了“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術的應用”等多種“拓展欄目”，這些拓展欄目是教材的重要組成部分，是對教材正文的進一步補充與延伸，從而建構了完整的教材體系。本文將結合人教A版“數(shù)列”章節(jié)，挖掘“拓展欄目”所蘊含的價值，并探討其實現(xiàn)策略。

一、“拓展欄目”的價值挖掘

（一）“拓展欄目”的基本認知

“拓展”一詞在《現(xiàn)代漢語詞典》解釋如下：“拓”有開辟、擴充之意；“展”為張開、擴大的意思；“拓展”意指開拓、發(fā)展。由以上的解釋不難看出，“拓展”就是在原有的基礎上，增加新的東西，使原有的內涵不斷豐富。因此，數(shù)學教材中的“拓展欄目”就是不斷增潤正文部分的內涵與外延，以開拓學生知識視野與認知視域，激發(fā)學生學習興趣，喚醒數(shù)學學習熱情，發(fā)展數(shù)學思維方式，增強數(shù)學實踐能力，豐富應用意識以及提升數(shù)學綜合素質等。

高中數(shù)學人教A版教材在“數(shù)列”這一章節(jié)中，所設置的拓展欄目基本概況如表1所示。[2]

表1 “數(shù)列”章節(jié)“拓展欄目”概況

不難看出，“數(shù)列”章節(jié)當中“拓展欄目”均選用與數(shù)列強相關的素材，并將這些拓展性課程資源嵌套在數(shù)列章節(jié)中，以增強數(shù)列知識的趣味性、吸引力和應用性，豐富數(shù)列知識的內涵。從正文與拓展欄目的分布情況來看，全章節(jié)共44個頁面，其中拓展欄目有7個頁面，占比近16%。從與正文的關聯(lián)來看，“斐波那契數(shù)列”是對“章頭圖”“章引言”所蘊含知識的具體化例說；“九連環(huán)”“購房中的數(shù)學”是借助于中國古老智力游戲與現(xiàn)實生活中的問題來豐富等比數(shù)列的前n項和一節(jié)內容；“估計的值”是從數(shù)學史上的第一次數(shù)學危機出發(fā)來構造特殊的數(shù)列，運用迭代和算法思想來關聯(lián)數(shù)列的非等差、等比類型。

（二）“拓展欄目”蘊藏的價值分析

數(shù)學教材作為教與學的有效課程資源，承載著人類數(shù)學知識的精華。[3]而“拓展欄目”作為數(shù)學教材當中傳遞數(shù)學知識的重要資源，在教育教學的過程中，充分挖掘其價值，能夠使數(shù)學教學達到事半功倍的效果。

1.文化價值

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確提出，通過高中數(shù)學課程的學習，應使學生認識數(shù)學的文化價值。[4]數(shù)學作為人類文化的重要組成部分，承載著開發(fā)學生思維、培養(yǎng)學生人文情懷與審美意識的重要功能。而“拓展欄目”作為數(shù)學教材當中數(shù)學文化的一個有效載體，通過數(shù)學概念、命題、定理等的拓展，開拓學生的知識視野，加深學生對數(shù)學知識的理解與掌握。通過介紹數(shù)學文化（如展示數(shù)學家所經(jīng)歷的艱苦漫長的探究過程，像數(shù)學的第一次危機等），使學生充分體會和把握數(shù)學文化的形成過程，感悟其中所蘊含的思想方法，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，感受數(shù)學的魅力，增強學習數(shù)學的信心。

如“數(shù)列”中的“閱讀與思考”中的斐波那契數(shù)列，是以斐波那契在《算盤全書》中所提出的兔子繁殖問題為導向，利用表格的形式將兔子對數(shù)羅列出來，讓學生從中發(fā)現(xiàn)所蘊藏的數(shù)學規(guī)律，得到斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…并通過觀察、比較、分析，得出其遞推公式，感悟數(shù)學家在探究知識過程中的思維方式以及大自然當中所蘊藏的美妙規(guī)律，有助于培養(yǎng)學生的探究能力與文化素養(yǎng)。另外，斐波那契數(shù)列還有著廣泛的應用價值，好多自然現(xiàn)象如花朵、向日葵、樹枝等呈現(xiàn)類似規(guī)律，在這些規(guī)律的探索中可以讓學生發(fā)現(xiàn)黃金分割、“魔術師的地毯”、楊輝三角、尾數(shù)循環(huán)、數(shù)字謎題等與斐波那契數(shù)列密切聯(lián)系的數(shù)學規(guī)律。[5]還有“的探索”，是數(shù)學史上最經(jīng)典的數(shù)學案例，啟發(fā)學生對有理數(shù)與無理數(shù)辯證關系的反思，通過對這些與之相關的數(shù)學史料的教材呈現(xiàn)，促使學生感知數(shù)學文化的博大精深，體會和理解數(shù)學的魅力，從而提高學生對于數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的審美意識與人文情懷。

2.育人價值

通過高中階段的數(shù)學教育，應當使學生“會用數(shù)學的眼光觀察世界；會用數(shù)學的思維思考世界；會用數(shù)學的語言表達世界”，這“三會”的培養(yǎng)目標與數(shù)學學科核心素養(yǎng)可以說是等價的。[6]為了有效地將數(shù)學核心素養(yǎng)融入數(shù)學教育的過程當中，新課標在制定的過程中，將“三會”目標具體化，形成了六大數(shù)學核心素養(yǎng)，并指出情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思是體現(xiàn)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的四個方面。[7]教材作為這四個方面的具體化，通過創(chuàng)設情境設置精妙問題將知識與技能、思維與表達、反思與交流融為一體，讓學生通過對問題的觀察、分析與解決來提高數(shù)學素養(yǎng)。因此教材中的問題情境創(chuàng)設要能調動學生學習的熱情與積極性，適合學生的認知水平和已有經(jīng)驗，那么選擇適合學生最近發(fā)展區(qū)的材料，運用適切的語言表達方式來呈現(xiàn)就是實現(xiàn)育人目標的重要舉措。“拓展欄目”作為數(shù)學教材當中的有效資源，主要通過數(shù)學史、知識拓展、數(shù)學探究、數(shù)學建模等方面的素材，補充、完善、拓展正文中的選材，給學生“三會”留下更廣闊的思維空間，引導學生深度介入數(shù)學的源與流、數(shù)學的道與術，并通過自主探索、動手實踐、合作交流等方式探究、感悟與之相關的數(shù)學知識。

如“數(shù)列”章節(jié)中的“購房中的數(shù)學”，以現(xiàn)實生活中居民在購房時所遇到的困惑為出發(fā)點，要求學生根據(jù)所學數(shù)列知識，在考慮該居民家庭經(jīng)濟狀況的前提下，結合貸款評估員所提供的信息與建議，為其選擇購房的最佳方案。通過解決這一現(xiàn)實問題，讓學生充分意識到數(shù)學不僅是訓練思維的重要工具，也是解決現(xiàn)實問題的有效手段，是“三會”目標的具體體現(xiàn)。通過這個現(xiàn)實問題的解決，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算以及數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng)。

3.發(fā)展價值

發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教育目標的具體化，隨著時代的發(fā)展，信息技術正在逐漸滲透到教育教學當中，這對教師的教以及學生的學產生著深刻的影響，也影響著數(shù)學核心素養(yǎng)養(yǎng)成的路徑與方式。信息技術與數(shù)學課程的有機融合已成為時代發(fā)展的必然趨勢，未來教育形態(tài)將是與信息技術全面融合的教育體系。因此，教師必須以信息技術為抓手，根據(jù)時代發(fā)展的要求，發(fā)展學生的數(shù)學實踐創(chuàng)新能力。[8]“信息技術應用”這一拓展欄目就是信息技術融入課程領域的表征，信息技術作為環(huán)境、手段、內容、思想已深深地嵌入到數(shù)學教材中，在“拓展欄目”中信息技術類型在人教A 版中占比37.5%，在正文中比例也不小，隨著新課標頒布以及新的數(shù)學教材編寫，信息技術將會以新的態(tài)勢融入其中，不僅變革教材中數(shù)學知識技能、思維表達、交流反思的方式方法，而且變革教與學的生態(tài)環(huán)境，將更加充分地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力、批判性思維能力以及合作與交流、自主發(fā)展和信息素養(yǎng)等。[9]

二、“拓展欄目”的實現(xiàn)策略

“拓展欄目”的設置，豐富了課程資源，增加了教材的彈性，是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效資源。但由于該欄目是作為一種選學內容，課標并未對其提出明確的實現(xiàn)要求，致使其價值旁落，在實際數(shù)學教育教學過程中往往處于一種“邊緣化”的狀態(tài)。因此，在解讀與運用“拓展欄目”素材時，要在理念上高度重視，在行為上傾心投入，在評價上抓鐵有痕。

（一）在理念上高度重視，把“拓展欄目”作為數(shù)學課程不可或缺的組成部分

理念是行動的先導。“拓展欄目”之所以在實際的教學過程中淪為一種“擺設”，在很大程度上是因為師生對于其價值與作用的認識不到位，致使師生對“拓展欄目”的教與學持消極的態(tài)度。如“數(shù)列”章節(jié)中的“九連環(huán)”這一拓展欄目，在以往的教學過程中，由于師生對于其蘊含的思維方式認識不到位，認為該內容比較抽象，理解難度大，并且與教材正文的相關性“看似”不明顯，升學考試也未對其提出明確的要求，故往往將其棄之，導致其教育價值得不到發(fā)揮。因此，在實際教學的過程中，作為教學組織者與引導者的教師應將“拓展欄目”視為數(shù)學教育體系不可或缺的重要組成部分，在認真學習、研究、理解和掌握“拓展欄目”內容的基礎上，準確分析其在教材中的地位與作用，高度重視“拓展欄目”所扮演的角色，切不可喧賓奪主，亦不可放任自流，應積極引導學生深入挖掘其文化價值、育人價值、發(fā)展價值。學生作為學習的主體，應轉變數(shù)學學習功利性的態(tài)度，注重自身的個性發(fā)展以及未來人生規(guī)劃的思考，重視“拓展欄目”的學習，認真品味其中所蘊含的思想和方法，通過拓展欄目的學習培養(yǎng)主動探索數(shù)學的興趣。

（二）在行為上傾心投入，把“拓展欄目”作為教學設計、實施、反思的重要任務

學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最終要落在具體的教學過程當中，教材“拓展欄目”的設置，為其提供了有效的路徑。如“數(shù)列”章節(jié)的“章引言”“數(shù)列的概念與簡單的表示法”的教學設計與實施中，切不可遺失對“閱讀與思考”欄目中“斐波那契數(shù)列”的設計與實施，在分析數(shù)列概念及表示法的過程中也要把斐波那契數(shù)列作為教學過程中的孕育點與生長點，引導學生閱讀并啟發(fā)學生觀察自然現(xiàn)象中的斐波那契規(guī)律。再如對值的探索，教師可以根據(jù)學生的認知水平以及實際經(jīng)驗，結合本節(jié)數(shù)列概念的設計，在構造無窮數(shù)列中探索的值究竟是多少，將此問題融入實際教學過程當中，并結合數(shù)學史中的第一次數(shù)學危機的故事，使數(shù)學教學設計與實施充滿趣味性與故事性，也使數(shù)學教學富有生命形態(tài)和生活氣息，增潤課堂氛圍；同時引導學生交流和反思到底如何認知，就此也可以開展專題講座，深度挖掘其中所蘊藏的價值，從而拓展學生的知識視野，培養(yǎng)學生的人文素養(yǎng)。拓展欄目的教學設計與實施路徑很多，可以留作課后閱讀并以數(shù)學建模和數(shù)學探究活動的方式開展，有問題與任務驅動，有精心的準備與具體的任務清單，有翔實的活動流程與檢測手段，充分發(fā)揮學生學習的主動性與積極性；也可利用拓展欄目的類型與素材精巧地設計教學活動，如利用數(shù)學文化類素材讓學生大量地查閱數(shù)學史料，強化對數(shù)學源與流的認知，如利用生活應用類素材緊扣日常生活現(xiàn)實，開展研究性學習，撰寫數(shù)學作文，引導學生利用所學知識解決實際問題，體會學以致用，強化數(shù)學應用意識；如利用知識拓展類素材鼓勵學生想象、聯(lián)想，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，如從的近似值求解聯(lián)想到的近似值求解等，運用信息技術開展數(shù)學建模或數(shù)學探究活動，提高學生的數(shù)學思維與綜合素質。

（三）在評價上抓鐵有痕，把“拓展欄目”作為學業(yè)質量的監(jiān)測內容

學業(yè)質量是數(shù)學學科核心素養(yǎng)應達成的目標，是數(shù)學學科核心素養(yǎng)與課程內容的有機結合，是學生自主學習與評價、教師教學活動與評價、教材編寫的指導性要求，也是相應考試命題的依據(jù)。[10]將“拓展欄目”作為學業(yè)質量監(jiān)測的內容之一是時代發(fā)展的需要，這種監(jiān)測主要體現(xiàn)在過程性評價中，評價的方式可以是課堂觀察、口頭測驗、開放式活動、研究性作業(yè)等。其目的是為優(yōu)化教材的呈現(xiàn)方式、為富有特色地建設數(shù)學教材與有效教學提供依據(jù)，最重要的是通過監(jiān)測促使“拓展欄目”的價值得以實現(xiàn)。由于“拓展欄目”的特殊性以及教學效果的非顯性，因此，在評價中應注重觀察學生在學習過程中所發(fā)生的潛在變化，分析學生學習過程中在知識掌握、數(shù)學表達、思維方式等方面發(fā)生的細微變化，通過過程性評價留下學生學習興趣、動機、熱情、態(tài)度、習慣等發(fā)生變化的痕跡，做到抓鐵有痕，并透過“拓展欄目”的教學評價，反思教學過程，改進教學設計。“拓展欄目”雖為教材的補充與延伸，但蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，如何采取更加科學合理的方式建構拓展欄目也是一個重大的教材編寫命題，包括素材選取的適切性、信息指向的一致性、關聯(lián)結構的有效性等，需要在繼承的基礎上創(chuàng)新，以提高數(shù)學教材拓展欄目的建構質量。▲