旋出等邊三角形和等腰直角三角形

趙瑩銀

一條線段繞端點旋轉90°，會得到一個等腰直角三角形，而繞端點旋轉60°，會得到一個等邊三角形。這樣得到的等腰直角三角形和等邊三角形，由于題目中沒有直接交代，一些同學在解題的時候往往容易忽略，找不到解題思路。

一、發現隱含的等邊三角形

例1 如圖1，在等邊△ABC中，AC=9，點O在AC上，且AO=3，點P是AB上的一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉60°得到線段OD，要使點D恰好落在BC上，求AP的長。

圖1

【解析】乍一看，這道題有兩個條件：

（1）一個等邊三角形——△ABC；（2）兩條相等的線段——OD=OP。

但單憑這兩個條件卻不容易解決問題。事實上，由于OD=OP，∠DOP=60°，我們可以得知△DOP也是等邊三角形，因此本題實際上是我們熟悉的一個特別簡單的圖形（如圖2）。

圖2

在圖2中，△COD≌△APO≌△BDP，這樣，問題就很容易解決了。

【點評】當一條線段繞著一個端點旋轉60°時，會得到一個等邊三角形。了解這一點，問題就會迎刃而解。

例2 如圖3，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF。則在點E運動過程中，DF的最小值是_______。

圖3

【解析】由例1可知，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC后，△CEF是等邊三角形，因此考慮連接EF，這就得到一個雙等邊三角形的模型。等邊△CEF與等邊△ABC具有公共頂點，由八年級全等的知識很容易證得△ACE與△BCF全等。

由于∠CAE的度數固定，是30°，根據全等三角形的對應角相等，可求得∠CBF=30°，所以點F始終在一條過點B，且與BC夾角為30°的直線上運動。這道題就轉化為點D到直線的最短距離問題，一般用垂線段最短和30°所對的直角邊是斜邊可解決問題。

【點評】本題中“△CEF是等邊三角形”是一個隱含的條件，發現這個隱含條件對于尋找本題的解題思路特別重要。

二、線段旋轉90°，得等腰直角三角形

例3 如圖4，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D為AC上一點，連接BD，將線段BD繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，DE與AB相交于點F，過點D作DG⊥AB，垂足為點G。若EF=5，CD=22，求△BDG的面積。

圖4

【解析】本題中已知一個等腰直角三角形（△ABC），還隱含著另一個等腰直角三角形，那就是線段BD繞點D順時針旋轉90°，得到線段DE后，得到的△BDE，如圖5。

圖5

由兩個等腰直角三角形，很容易證明△BCD與△BAE相似，即可求出AE=4。在Rt△AEF中，由于EF=5，根據勾股定理，可求得AF=3。然后利用△AEF∽△GDF，△AEF∽△DBF，設 GF=3k，可得 DF=5k，DG=4k，BD=k，由于DE=5k+5，所以k=5k+5，從而求出k的值，也就求出了DG和BG的長。利用三角形的面積公式可求出△BDG的面積。

【點評】解決本題要發現隱含的等腰直角△BDE，得到一個雙等腰直角三角形的相似模型，求出∠BAE=90°，然后證得△AEF∽△GDF，△AEF∽△DBF。因此，發現隱含的等腰直角三角形是解決本題的關鍵。