原來輔助線還可以這樣作

江蘇省海安市墩頭鎮仇湖初級中學九（1）班 余天澤

在前幾天的作業中，有這樣一道題：如圖1，點P是△ABC的邊BC上一點，PC=2PB，∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的度數。

圖1

圖2

在解這道題目的時候，我首先想到作輔助線。考慮到45°和60°是兩個特殊角，我就想過點A作AD⊥BC于點D，將45°角和60°角放在直角三角形中，構造一個等腰直角三角形和一個含30°角的直角三角形，然而并沒有解決這道問題。我又考慮取特殊值，令BP=1，求得AD=，發現∠ACB的大小根本不是30°、45°、60°，感覺沒有任何思路。于是，我又想延長BC，過點A來作AB的垂線，同樣將45°角和60°角放在直角三角形中，還是沒能解決問題。

第二天上午，我向數學老師請教。老師首先表揚了我，因為我看到45°、60°這些特殊角，能夠想到構造直角三角形。然后老師又說，在解決數學問題的時候，當一條路走不通時，要換思路來解決。老師引導我做了一個基本圖形，讓我明白75°可以拆成30°和45°。有了老師的提示，我仔細想了想，然后過點C作AP的垂線段，∠PCD正好是30°，而∠ACB果真是75°。

圖3

解答過程：過點C作CD⊥DP于點D，連接BD。∵∠APC=60°，CD⊥AP，∴CP=2DP，∵PC=2PB，∴DP=PB。∴∠DBP=∠BDP=30°，∴∠ABC=45°，∴∠ABD=15°，∵∠APC=60°，∠ABC=45°，∴∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DPC+∠DCB=90°，∴∠DBP=∠DCP=30°。∴BD=CD，∴AD=CD，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=75°。

通過這道題的解答，我明白了在解答數學題目的時候，如果多次嘗試一種方法仍舊不能解決問題，就要及時調整思路。另外，要畫出基本圖形，學會猜想，猜想之后再驗證自己的猜想是否正確。

教師點評

通過本文可以看出小作者平時善于思考和總結規律。當我們遇到問題時，能想到一些基本模型是好事兒，但模型不是萬能的，如果頭腦中的模型不能解決問題，要馬上換種思路來思考。小作者得出的這個小感悟對解決數學問題確實非常有用。