基于混沌粒子群優(yōu)化算法的相機(jī)參數(shù)標(biāo)定方法

王琳霞，陳廣鋒

（東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海201620）

近年來隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)視覺技術(shù)領(lǐng)域的研究越來越深入，圖像由二維轉(zhuǎn)向三維重建是未來圖像的發(fā)展趨勢(shì)，三維重建目前一般使用雙目立體視覺系統(tǒng)。 雙目立體視覺可以看作是一個(gè)仿生的成像模式，主要模仿的是人類視覺系統(tǒng)。 它實(shí)現(xiàn)了人類可以從圖片中直觀認(rèn)識(shí)三維事物，即從2D圖像中分析并重建出3D 信息的方法。 而雙目攝像機(jī)的標(biāo)定是后續(xù)視覺處理的基礎(chǔ)以及二維投影圖像坐標(biāo)與三維物體的世界坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵步驟[1]。

相機(jī)標(biāo)定的方法有傳統(tǒng)標(biāo)定方法（強(qiáng)標(biāo)定）、自標(biāo)定方法（弱標(biāo)定）以及主動(dòng)視覺標(biāo)定方法[2-3]。 傳統(tǒng)標(biāo)定方法精度高，可以標(biāo)定任何相機(jī)模型，但是計(jì)算過程復(fù)雜，需要標(biāo)定塊。 自標(biāo)定方法不需要標(biāo)定塊，但是標(biāo)定精度沒有傳統(tǒng)標(biāo)定方法精度高。 主動(dòng)視覺標(biāo)定方法[4-6]通常可以線性求解，魯棒性較強(qiáng)，但是不能應(yīng)用于相機(jī)運(yùn)動(dòng)無法控制的情況。 但是在標(biāo)定精度要求較高的場(chǎng)合中一般都使用傳統(tǒng)標(biāo)定方法，目前常用的標(biāo)定方法有Abdel-Aziz[7]提出的線性標(biāo)定法、Tsai 兩步法[8]、張正友標(biāo)定法[9]等。 張正友標(biāo)定法脫離了傳統(tǒng)的在高精度標(biāo)定臺(tái)上進(jìn)行標(biāo)定圖像采樣的做法，可以通過拍攝各個(gè)方位的標(biāo)定板來實(shí)現(xiàn)對(duì)攝像頭內(nèi)外參數(shù)的求解。 但是在張正友標(biāo)定算法中的非線性優(yōu)化算法很容易陷入局部最優(yōu)解，降低了標(biāo)定精度。

本文在研究相機(jī)成像模型的基礎(chǔ)上，對(duì)相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)進(jìn)行求解。 先利用張正友標(biāo)定法對(duì)單目攝像頭進(jìn)行標(biāo)定，分析了張正友標(biāo)定法在求解過程中存在的不足，進(jìn)而提出了基于混沌粒子群算法對(duì)相機(jī)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化， 利用該算法提高了標(biāo)定的精度。最后得出雙目相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，并且基本消除了相機(jī)的徑向畸變。

1 相機(jī)成像模型

視覺系統(tǒng)獲取圖像是一個(gè)比較復(fù)雜的過程，在描述獲取圖像與攝像頭之間的關(guān)系時(shí)，一般在視覺系統(tǒng)中主要使用4 種坐標(biāo)系[10]，各個(gè)坐標(biāo)系均滿足右手法則，下面以圖1 為例來說明這4 種坐標(biāo)系之間的關(guān)系。 圖1 中的Ow-XwYwZw表示世界坐標(biāo)系，用來表示實(shí)際中物體位置點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)；Oc-XcYcZc表示相機(jī)坐標(biāo)系， 其中Oc表示相機(jī)的光心，Zc軸和相機(jī)的光軸重合；O0-uv 表示圖像像素坐標(biāo)系，其中O0表示圖像平面的原點(diǎn)， 位于CCD 圖像平面的左上角， 坐標(biāo)軸u 軸和v 軸分別表示向右和向下。 投影坐標(biāo)使用（u，v）來表示，表示圖像像素具體位置，即行列數(shù)。O1-xy 表示圖像物理坐標(biāo)系，O1是光軸與成像平面的交點(diǎn)。 圖像物理坐標(biāo)系是連續(xù)的，具有實(shí)際的長(zhǎng)度單位，解決了像素坐標(biāo)系只能離散地表示像素位置的問題，便于后續(xù)坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換。

圖1 相機(jī)成像模型Fig.1 Camera imaging model

理想的相機(jī)成像模型是針孔成像模型， 依據(jù)該模型圖1 中各個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如式（1）所示：

式中：kx=f/dx，ky=f/dy表示圖像像素坐標(biāo)系中u 軸和v 軸的尺度因子；M 是3×4 的矩陣， 稱為投影矩陣[3]；矩陣M1代表了攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)，包括kx、ky、ks、u0、v0，完全由相機(jī)本身決定；矩陣M2代表了攝像機(jī)外參數(shù)，分別由旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量所決定。 由此，通過式（1）表示了圖像像素坐標(biāo)與世界坐標(biāo)系之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

實(shí)際應(yīng)用過程中因制造、安裝等因素，相機(jī)勢(shì)必會(huì)有各種畸變[3]。 為了描述畸變成像的規(guī)律，就引入了非線性的成像模型。 所以實(shí)際的鏡頭成像都存在偏差，在實(shí)際求解內(nèi)外參數(shù)的過程中需要考慮這些偏差部分，設(shè)實(shí)際圖像點(diǎn)的坐標(biāo)為（ud，vd），理想的坐標(biāo)為（uu，vu），則考慮畸變的影響后，對(duì)應(yīng)的關(guān)系如式（2）所示：

通常只考慮徑向畸變也能實(shí)現(xiàn)較高的精度，滿足應(yīng)用要求。

因此式（2）可以轉(zhuǎn)換為式（3）的形式：

式中：k1、k2、k3為畸變參數(shù)，表示在水平和垂直方向的2 階、4 階和6 階的畸變參數(shù)。

2 確定相機(jī)內(nèi)參初始值

在張正友標(biāo)定法中首先把標(biāo)定板選作為世界坐標(biāo)系的平面， 所以在標(biāo)定板上的特征點(diǎn)（xwi，ywi，zwi）中的zwi的值為零，同時(shí)也設(shè)定該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相機(jī)坐標(biāo)值為（xci，yci，zci），圖像像素坐標(biāo)值為（ui，vi），對(duì)應(yīng)關(guān)系為式（4）：

因?yàn)閱挝幌蛄縩 與o 是正交的，通過式H=M［n o p］=［h1h2 h3］于是得到下面的約束：

通過式（5）可以求解出M 值，可以求解相機(jī)參數(shù)。 觀察式（5）可得，約束式的兩個(gè)等式均含有一個(gè)相同的因式M-TM-1，而且M 為3×3 矩陣，所以為了簡(jiǎn)化計(jì)算，在這里令一個(gè)3×3 的矩陣B=M-TM-1，如式（6）：

式中：B 是一個(gè)對(duì)稱矩陣，將這6 個(gè)未知數(shù)定義為一個(gè)向量b：

所以將矩陣B 和向量b 的關(guān)系可以寫為

若有n 副平面模板圖， 就能夠獲得n 個(gè)式（8）所示等式，將其寫成為

式中：V 是2n×6 的矩陣。

若采集的圖像n≥3 時(shí)，V 的最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量即為b， 根據(jù)上述推導(dǎo)過程就可以計(jì)算出相機(jī)的5 個(gè)內(nèi)參如式（10）所示：

3 基于混沌粒子群優(yōu)化算法對(duì)相機(jī)參數(shù)的優(yōu)化

在上述張正友相機(jī)標(biāo)定中，是通過假設(shè)攝像機(jī)為線性模型得到相機(jī)的初值， 并通過LM 法對(duì)初值進(jìn)行優(yōu)化，求解出單應(yīng)性矩陣的初始值。 但是張正友標(biāo)定法是基于相機(jī)的線性模型估計(jì)畸變參數(shù)，而且像LM 這種傳統(tǒng)的優(yōu)化策略容易陷入局部最優(yōu)的情況，在標(biāo)定精度上會(huì)有所降低。 為了提高相機(jī)的標(biāo)定參數(shù)精度， 本文提出將混沌粒子群優(yōu)化算法（CPSO）用在相機(jī)的標(biāo)定對(duì)內(nèi)外參數(shù)的優(yōu)化過程中，以便使得相機(jī)參數(shù)解可以大概率的收斂于全局最優(yōu)解，得到精度更高的標(biāo)定參數(shù)。

粒子群優(yōu)化算法（PSO）[11]是通過研究鳥群捕食行為演化得出的。 該算法的主要邏輯是在系統(tǒng)初始化一組隨機(jī)解的基礎(chǔ)上迭代尋優(yōu)。 該算法在組合優(yōu)化、非線性連續(xù)優(yōu)化等方面應(yīng)用十分廣泛。

該算法的思想是：首先使得PSO 初始化為一群隨機(jī)粒子，在之后的每一次迭代，粒子跟隨兩“極值”來更新自身。 這里涉及到兩個(gè)極值點(diǎn)：個(gè)體極值點(diǎn)和全局極值點(diǎn)。 前者是通過自身尋找的最優(yōu)解，位置使用pbest表示； 后者是是基于整個(gè)種群尋找的最優(yōu)解，位置用gbest表示。 在PSO 中粒子通過位置收斂、更新速度來獲取最優(yōu)的解，根據(jù)式（11）和式（12）所示：

式中：itermax為最大進(jìn)化代數(shù)；wmin和wmax為wk取值的范圍。

可以得到，PSO 不論在初始化還是在進(jìn)化過程中都具有隨機(jī)性，對(duì)個(gè)體質(zhì)量不能保證，容易影響進(jìn)化過程的收斂，以及進(jìn)化過程容易過早地收斂到局部最優(yōu)點(diǎn)，導(dǎo)致精度不高。 所以針對(duì)這些不足，為了更好地提高在空間中的搜索能力，并且根據(jù)混沌變量具有的遍歷性等優(yōu)點(diǎn)，在本課題中利用基于混沌優(yōu)化思想的混沌粒子群優(yōu)化算法來對(duì)相機(jī)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

CPSO 是把混沌變量從混沌空間映射到解空間，再利用混沌變量具有遍歷性、隨機(jī)性等特點(diǎn)來搜索。 混沌優(yōu)化算法具有不對(duì)初值敏感、易跳出局部極小、搜索速度快、計(jì)算精度高、全局漸近收斂的特點(diǎn)[11]。

Logistics 方程是一個(gè)典型的混沌系統(tǒng)， 該方程與相比其他混沌系統(tǒng)來說計(jì)算量較小，所以本文采用此方程來構(gòu)造混沌序列。 Logistics 方程為

式中：μ 為控制參數(shù)。 當(dāng)初值z(mì)0的取值在0～1 之間時(shí)，該系統(tǒng)完全處于混沌狀態(tài)中，那么由此可迭代出時(shí)間序列z1，z2……。 在本文中選取μ 的值為4，具體混沌粒子群優(yōu)化算法（CPOS）的搜索過程如圖2所示。

圖2 混沌粒子群優(yōu)化算法（CPOS）的搜索過程Fig.2 Search process of chaotic particle swarm optimization algorithm（CPOS）

4 測(cè)試與分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性及準(zhǔn)確性。 在本實(shí)驗(yàn)中，選用焦距為6 mm 的定焦工業(yè)鏡頭，標(biāo)定板為棋盤格，X 方向的數(shù)目為7，Y 方向的數(shù)目為9，方格尺寸為30 mm×30 mm， 拍攝了12 幅不同方向的圖像。

首先通過Matlab 標(biāo)定工具箱求出相機(jī)內(nèi)參的初始值，設(shè)置粒子數(shù)目為M=100，搜索空間的維數(shù)D=28。 根據(jù)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造左右攝像機(jī)二維重投影平均誤差函數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)， 如式（15）：

式中：Pi（xi，yi，zi）是空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)；n 代表標(biāo)定點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

實(shí)驗(yàn)中，在同一個(gè)標(biāo)定的數(shù)據(jù)下，分別進(jìn)行標(biāo)定，并得出相機(jī)的重投影誤差圖。 如圖3 表示使用張正友LM 算法重投影的誤差結(jié)果； 圖4 表示基于混沌粒子群算法得到的重投影的誤差結(jié)果。 表1 是基于兩種方法的誤差對(duì)比，可以看出混沌粒子群算法優(yōu)化了相機(jī)參數(shù)，使得重投影誤差更小。 表2 為兩種實(shí)驗(yàn)方法得到的內(nèi)參數(shù)值的結(jié)果。 通過與張正友標(biāo)定結(jié)果相比，該方法具有可行性并且結(jié)果更為精確。

圖3 張正友標(biāo)定法投影誤差圖Fig.3 Projection error diagram of Zhang Zhengyou calibration method

圖4 基于混沌粒子群算法的投影誤差圖Fig.4 Projection error diagram based on chaoticparticle swarm optimization algorithm

表1 平均誤差對(duì)比Tab.1 Comparison of average errors

5 結(jié)語

相機(jī)的標(biāo)定是獲得目標(biāo)點(diǎn)三維坐標(biāo)值的關(guān)鍵步驟，本文在充分考慮了相機(jī)成像模型和張正友優(yōu)化方法局限性的基礎(chǔ)上，并且考慮到混沌粒子群算法在求解局部最優(yōu)值的優(yōu)勢(shì)，提出一種基于混沌粒子群優(yōu)化算法的相機(jī)參數(shù)標(biāo)定方法。 先利用張正友標(biāo)定法對(duì)攝像頭進(jìn)行標(biāo)定，分析了張正友標(biāo)定法在求解過程中存在的不足，提出基于混沌粒子群算法對(duì)相機(jī)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化， 通過最終的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)證明，基于混沌粒子群算法提高了標(biāo)定的精度，得到了更為精確的實(shí)際三維坐標(biāo)點(diǎn)和圖像坐標(biāo)點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

表2 兩種實(shí)驗(yàn)方法得到的內(nèi)參數(shù)值Tab.2 Internal parameter values obtained by two experimental methods