鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險折疊突變及控制機理研究*

黃文成，帥 斌，徐逸飛

(西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 611756)

0 引言

鐵路危險品運輸生產對安全要求極高，對鐵路危險品運輸系統風險進行分析具有重要意義。國內外學者在風險分析方面的研究主要采用靜態的事件數、事故樹、管理監督和風險樹、軟件-硬件-環境-生命件模型以及事故原因貢獻因素模型[1-7]。上述模型均以分析事故原因為基礎，屬于系統安全靜態分析方法；動態分析方法目前一般有馬爾可夫鏈、有限狀態機、Petri網、動態貝葉斯網絡等[4-7]，或從運輸風險的影響因素出發，分析風險要素來源及其之間的互動組合關系(或耦合關系)來建立相應的分析模型[1-3]。

鐵路危險品運輸系統可看作是由人(如鐵路相關運輸人員)、機(如鐵路運輸機車車輛)、物(如所裝載的危險品)、環(如運輸鐵路網絡、周邊環境等)、管(如鐵路危險品運輸管理系統)等5個子系統構成的具有不確定性特點的復雜系統[1-2]。各子系統存在引發安全事故的風險因素，系統安全取決于運輸相關人員、機車車輛、鐵路路網、周邊環境、管理等各要素與環節之間的耦合協調工作，子系統中任何微小的風險能量變化都可能打破子系統原有的有序性、平衡性并造成該子系統崩潰，風險能量進一步傳遞、擴散后可能導致整個鐵路危險品運輸系統的局部或整體崩潰，從而引發火災、爆炸、泄露等事故[1-4]。近年來，基于類比電場和磁場性質的方法，眾多學者也嘗試過采用風險場來分析鐵路危險品運輸系統耦合風險。如Wang等基于尖點突變模型[8-9]，從數學層面上首次證明了鐵路運輸系統在受到風險因素干擾后，將形成一種類似于電場的效應，稱為風險場(risk field)；王喆和蔡夢賢[10]建立了鐵路危險貨物運輸環境風險場強模型，并以此研究風險的變化情況，作者認為風險場的影響范圍即為可能產生事故的風險波及范圍，控制財產和人員處于風險場范圍外即可較大程度上控制風險帶來的影響。分析上述內容可知：鐵路危險品運輸系統安全狀態的變化屬于連續、動態過程，事故則可以理解為這一連續動態變化過程中突然出現的突變，即系統耦合風險突變為事故的過程。

為了保證鐵路危險品運輸系統的安全運行，有必要對耦合風險突變為事故的過程進行分析，并基于分析結果研究風險的控制機理。黃文成等[1]在利用N-K模型研究鐵路危險品運輸系統行車耦合風險的形成機理時，認為存在3類風險耦合形式：單因素、雙因素和多因素風險耦合。篇幅限制，本文擬采用折疊突變[6-8]對單因素耦合風險進行分析；基于分析結果，建立單因素耦合風險形成突變的杜芬震蕩模型，探索鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險的控制機理，旨在為我國鐵路危險品運輸的安全事故預防控制和安全生產提供一定理論支撐。

1 鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險折疊突變建模

突變理論由法國數學家雷內·托姆在1972年創立[8]，用以刻畫系統從一種穩定狀態躍遷到另一種穩定狀態的非連續變化現象。鐵路危險品運輸系統由安全狀態突變為事故的過程具有多種狀態，系統狀態變化具有突跳性，因此采用突變理論建模是合適的[7]。鐵路危險品運輸系統在任意時刻的風險狀態都可由給定n(n取值有限)個變量(x1,x2,…,xi,…,xn)確定[8]，稱xi為系統內部風險狀態變量；同時鐵路危險品運輸系統受m(m一般不大于5)個獨立變量(u1,u2,…,uj,…,um)控制[8]，稱uj為系統外部控制變量，本文認為人、機、物、環、管5個子系統的風險因素為5類獨立控制變量，獨立控制變量uj的值決定xi的值。鐵路危險品運輸系統安全狀態可寫成一組非線性方程組：

(1)

式中：X=(x1,x2,…,xi,…,xn)T是鐵路危險品運輸系統的內部風險狀態變量；F=(f1,f2,…,fi,…,fn)是鐵路危險品運輸系統內部風險狀態變量對于時間的變化率函數。對鐵路危險品運輸系統勢函數進行奇異性分析，得到平衡曲面M和奇點集S[8]：

M:DxF(X)=0

(2)

S:detDxF(X)=0

(3)

非線性方程組可用泰勒級數展開式近似表達，消去泰勒展開式的冪級數次高項，可將非線性系統轉化為突變勢函數的勢函數形式。對式(1)進行泰勒展開，并將其保留至二次項：

F(t)=a0+a1x+a2x2

(4)

令t=x-a1/2a2，則可得式(5)，其勢函數如式(6)所示，經過整理可得式(7)：

F(x)=a2x2+a0-a12/4a2

(5)

(6)

V(x)=x3+(3a0/a2-3a12/4a22)x

(7)

令3a0/a2-3a12/4a22=u，則可以得到折疊突變關于狀態變量x和控制變量u的標準勢函數為V(x)。折疊突變的相空間是二維的，其平衡曲面M和奇點集S分別如下：

V(x)=x3+ux

(8)

3x2+u=0

(9)

6x=0

(10)

奇點集屬于平衡曲面的一個子集，折疊突變的奇點集是一個點(0,0)。分岔集B是奇點集S在控制空間即直線x=0上的投影，也是一個點u=0。具體如圖1所示。

圖1 折疊突變曲線、風險狀態及平衡點Fig.1 Curve, risk state and equilibrium point of folding catastrophe

分岔集u=0把控制空間分成正u軸和負u軸：若u>0，則方程(9)無實數解，從而V(x)沒有臨界點，系統不能保持穩定；若u<0，則V(x)存在1個極大值點和1個極小值點，即1個不穩定平衡點和1個穩定平衡點；當u=0時，2個平衡點合并為1個拐點。鐵路危險品運輸系統的風險狀態由穩定平衡點，經由拐點發生突變后，進入不穩定平衡點，系統將進入風險狀態。為了進一步討論5種單因素耦合風險折疊突變對系統狀態產生的變化，可用第i種單因素(人、機、物、環、管)在第j年發生的鐵路危險品運輸事故概率刻畫控制變量uij，則第i種單因素耦合風險在第j年的系統折疊突變平衡曲面Mij為：

(11)

式中：aij為小于0的常數；nij為第i種單因素耦合風險在第j年造成的事故數(單位：件)。基于上式還可得到第i種單因素耦合風險的系統折疊突變平衡曲面Mi：

(12)

2 單因素耦合風險杜芬震蕩建模及風險控制機理

分析上述折疊突變平衡曲面可知：突變流形投影在平面上的分岔集B可確定鐵路危險品運輸系統的風險狀態發生突變的臨界值[8]，因此可采用分岔分析法，找出折疊突變的分岔點，只需將分岔集B加以控制，即可控制鐵路危險品運輸系統風險突變的發生。引入含有立方項的杜芬震蕩系統[8]，分析單因素耦合風險分叉導致的折疊突變過程，研究風險突變的控制機理。

(13)

k2φ2+(2φε-3aφ3/4)2=F2

(14)

(k-c)2φ2+(2φε-3aφ3/4)2=F2

(15)

此外，還可研究基于系統外部影響振幅調節的線性反饋突變控制法：引入幅值反饋控制器σ=ρ·f·coswt，其中ρ為小參數，f為外部影響因素幅值調節系數，將σ代入式(13)，同樣采用多尺度法[8]，得到含幅值控制系數f的分叉響應方程(證明過程略)：

k2φ2+(2φε-3aφ3/4)2=(F+f)2

(16)

當鐵路危險品運輸系統中分叉響應方程的參數k，a，F確定后，可通過控制系統內部風險防御阻尼系數c或外部影響幅值調節系數f，研究協調參數ε與振蕩幅值φ的關系，從內部阻尼控制、外部影響控制2方面研究鐵路危險品運輸系統風險的控制機理。

3 數據及仿真結果分析

按照引發事故的原因收集1985—2016年中國發生的鐵路危險品運輸安全事故件數，并計算相應的事故發生概率(1985—2008年數據來自文獻[1]～[2]，2008年以后由網上搜集)，具體見表1。算例中aij取值為-1；則1985—2016年每年我國鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險折疊突變結果如圖2所示，其中(a)～(e)分別表示人、機、物、環、管，具體見式(11)，(f)是我國鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險人、機、物、環、管折疊突變的總體情況，具體見式(12)。

分析表1及圖2，可以得出如下結論：1)人的單因素耦合風險突變對于鐵路危險品運輸系統的影響最大，是最有可能因為單因素突變導致事故的，其次是管、機、物。相比之下，環的單因素耦合風險突變對于鐵路危險品運輸系統的影響最小；2)鐵路危險品運輸系統風險狀態突變具有多模態性，滿足折疊突變的系統勢函數具有1個極小值和極大值，從而使鐵路危險品運輸系統出現2種不同的狀態；仿真結果可以看出，系統存在1個不穩定的平衡位置如拐點(0,0)，此平衡位置在數學上不可微，具體描述為鐵路危險品運輸系統在此點具有不可達性；單一外部風險控制變量穿越分岔集B時的微小變化將導致鐵路危險品運輸系統風險狀態從一個局部極大值臨界點跳躍到另一個局部極小值臨界點，這一現象可描述成折疊突變具有突跳性；鐵路危險品運輸系統的風險狀態還具備發散性，指的是單一外部風險控制變量數值的有限變化會導致系統內部風險狀態變量平衡位置數值的有限變化；此外鐵路危險品運輸系統內部風險狀態還具有滯后性，可描述為第1個風險狀態局部極小值躍向第2個局部極小值時的單一外部風險控制參數位置與由第2個局部極小值躍向第1個局部極小值時的單一外部風險控制參數的位置是不同的。

表1 1985—2016年我國發生鐵路危險品運輸事故數及概率Table 1 Number and probability of railway dangerous goods transportation accidents in china from 1985 to 2016 件

圖2 1985—2016年我國鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險折疊突變結果Fig.2 Single-factor coupled risk fold catastrophe of dangerous goods transportation system in china from 1985 to 2016

以協調參數ε為橫坐標，振蕩幅值φ為縱坐標，對方程(14)進行仿真研究，結果如圖3所示。其中(a)為鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險受到人為外力幅值F變化后的風險震蕩仿真結果(F分別取值0.111 29，0.081 29和0.051 29；a=0.04和k=-0.0583)，(b)為鐵路危險品運輸系統自帶的內部風險防御阻尼k變化后的單因素耦合風險震蕩仿真結果(k分別為0.03，0.05，0.07；a=-0.058 3，F=0.111 29)。結果顯示：1)當外力幅值F=0.111 29時，ε∈(-∞,-0.198)∪(-0.077,+∞)時，1個ε僅對應著1個振蕩幅值φ，此時系統是穩定的；當ε∈[-0.198,-0.077]時，1個ε就對應著2個振蕩幅值φ，振幅出現了跳躍現象，在這個區間內鐵路危險品運輸系統將發生單因素耦合風險的折疊突變，系統變得不穩定；2)隨著F取值的不斷減小，不穩定的區間在不斷減小，當F<0.05129后，系統將不再產生折疊突變；3)當k=0.03時，ε∈(-∞,-0.355)∪(-0.077,+∞)，1個ε僅對應著1個振蕩幅值φ，此時系統是穩定的；當ε∈[-0.355,-0.077]時，1個ε就對應著2個振蕩幅值φ，振幅出現了跳躍現象，在這個區間內鐵路危險品運輸系統將發生單因素耦合風險的折疊突變，系統變得不穩定；4)隨著k值的增大，不穩定區間在逐漸變小，當k>0.07后，系統將不再產生折疊突變。

基于圖3結果，研究含內部風險防御阻尼控制系數c(式15)和外部影響因素幅值調節系數f的分叉響應方程(式16)，仿真結果如圖4所示。其中k=0.03，a=-0.058 3，F=0.111 29。圖4(a)表示c=0和c=0.06時的鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險的杜芬震蕩情況；圖4(b)表示f=0和f=-0.09，c=0.06時的鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險的杜芬震蕩情況。結果顯示，隨著內部風險防御阻尼不斷增強(c數值變大)，亦或系統或子系統受到的外部影響幅值得到控制(f數值變小)，鐵路危險品運輸系統都將逐漸遠離折疊突變，振幅不會再發生跳躍現象，系統將變得更加穩定、安全。即相關鐵路危險品運輸企業、部門等應該從2個方面采取措施，降低單因素耦合風險的折疊突變、保證運輸安全：一是不斷提高鐵路危險品運輸系統或子系統內部的防御體系，加強監督管理，加強系統抗風險能力；二是盡可能控制或消除外部風險影響因素，如人的不安全狀態、物的不穩定狀態、機的不良好狀態、環的不可逆狀態、管的不完善狀態等，從根本上抑制鐵路危險品運輸狀態發生變化，控制系統的單因素風險耦合折疊突變，從而保證運輸安全。

圖3 F和k取值不同時系統的杜芬震蕩響應Fig.1 Duffing oscillation response of the system under different F and k

圖4 c和f取值不同時系統的杜芬震蕩響應Fig.4 Duffing oscillation response of the system under different c and f

4 結論

1)鐵路危險品運輸系統可受到人、機、物、環、管單因素耦合風險的影響。當耦合風險超過系統的安全閾值后，系統將突跳產生不可逆的安全事故。為分析這種突跳情況，建立了鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險的折疊突變模型，采用1985—2016年中國發生的鐵路危險品運輸安全事故統計數據分析折疊突變，其中人的單因素耦合風險突變對于鐵路危險品運輸系統的影響最大，是最有可能因為單因素突變導致事故的，其次是管、機、物、環單因素耦合風險突變。

2)基于仿真結果分析了折疊突變的多模態性、不可達性、突跳性、發散性和滯后性。基于折疊突變模型，分別建立了含系統內部風險防御阻尼控制系數和外部影響因素幅值調節系數的杜芬分叉響應方程，研究鐵路危險品運輸系統單因素耦合風險的控制機理并對其進行仿真。結果顯示：隨著系統內部風險防御阻尼不斷增強，或是外部影響幅值得到控制，鐵路危險品運輸系統都將逐漸遠離折疊突變，振幅不會再發生跳躍現象，系統將變得更加穩定、安全。

3)相關鐵路危險品運輸企業、部門等應該不斷提高鐵路危險品運輸系統或子系統內部的防御體系，加強監督管理，加強系統抗風險能力；同時盡可能控制或消除外部風險影響因素，從根本上抑制鐵路危險品運輸狀態發生變化，控制系統的單因素風險耦合折疊突變，保證運輸安全。另外還需要進一步基于突變原理，建立鐵路危險品運輸雙因素耦合風險的尖點突變模型、三因素耦合風險的燕尾突變模型、四因素耦合風險的蝴蝶突變模型、五因素耦合風險印第安人茅屋突變模型，完善鐵路危險品運輸耦合風險突變成事故的機理，同時還需基于杜芬震蕩模型分析各類模型的控制機理。