基于分形市場理論的創業板市場有效性分析

（中國海洋大學經濟學院 山東 青島 266100）

創業板旨在給新興創新公司進行資本運作，特別是為高科技公司提供一個更加便捷的融資渠道。相對于主板市場，創業板進入門檻更低。有潛力的中小企業達不到主板上市條件，可通過創業板尋得一個融資機會。創業板市場是我國證券市場的重要組成部分，其有效運行對我國經濟增長和產業發展發揮著重要作用。因此，研究創業板市場有效性具有重要意義。

1 分形市場理論

EdgarE.Peters（1991）首次提出了分形市場假說，英文簡寫FMH。他認為不同投資者對信息的理解程度存在差異，不同投資的時間起點也會不同，因此市場行為之間會存在差異，所有的資本市場均存在分形結構[1]。

在分形市場理論中，用于計算市場分形維度的Hurst指數具有重要的作用。當Hurst指數大于0.5時，市場價格變化表現出明顯的長記憶性；當Hurst指數小于0.5時，表現為統計意義上的趨勢反轉，可稱之為逆長程相關性；只有當Hurst指數等于0.5時，市場價格變化表現出無記憶性，此時可認為股票市場是有效的。因此，可通過Hurst指數對0.5的偏離程度來衡量股票市場有效性。

2 有效性測度方法

主要介紹重標極差法（簡記為R/S）和多重分形消除趨勢分析（簡記為MF-DFA）兩種測算Hurst指數的方法。

2.1 R/S測度方法

重標極差法（R/S）是由英國水文學家Hurst（1951)提出的，用于研究時間序列的單分形分析[2]。重標極差法（R/S）計算Hurst指數的步驟如下：

（3）計算τ區間內累計離差的極差：R(τ)=maxd(i,τ)-mind(i,τ),1≤i≤τ。

（5）計算 R/S 統計量：Q=R(τ)/S(τ) 。

（7）存在冪律關系：E(R/S)τ=(aτ)H。

（8）兩端取對數：logE(R/S)τ=Hlogτ+A,2≤τ≤N，運用最小二乘法估計的H即為Hurst指數H值。

2.2 MF-DFA測度法

MF-DFA是基于DFA方法的推廣，由Kantelhardt等人（2002）提出，用于分析時間序列數據是否具有多重分形的特征[3]。設{xt}是一個長度為N的時間序列，則MF-DFA方法步驟如下：

（1）通過對時間序列{xt,t=1,2,L,N}進行變換得到一個新的歸并序列{yk}。

（2）將新的時間序列{yk,k=1,2,L,N}分割成長度為s的Ns=int(N/s)個互不重疊的等長區間。此時，當N不是s的整數倍時，時間序列{yk}末尾會有剩余數據。為了避免這部分數據流失，將時間序列{yk}從數據末尾開始重復這一個分割過程，則互不重疊的等長區間一共有2Ns個，記每一個子區間為yv,(v=1,2,L,2Ns)。

（3）最小二乘法擬合子區間yv,(v=1,2,L,2Ns)，記子區間的趨勢函數為Pv(j),j=1,2,L,s，計算其殘差序列Zv(j)，Zv(j)=yv(j)-pv(j),j=1,2,L,s，對于每個殘差序列，計算平方和均值。

（4）計算整個時間序列的q階波動函數，計算公式如下。

將所有的時間標度s重復（2）至（4）步驟，則會形成序列 Fq(s),4≤s≤int(N/4)。

（5）對于每一個q值，為了確定時間序列數據的q階波動函數標度指數，可通過分析Fq(s)與s的雙對數關系，從而確定標度指數h(q)。

若時間序列數據{xt}長程相關，則Fq(s)與s的關系如下：Fq(s):sh(q)，h(q)可通過最小二乘法確定。

當q=2時，h(2)為平穩的時間序列單分形Hurst指數，近似于傳統DFA方法估計Hurst指數。

若h(q)取值為一個常數，與q無關,表明此時時間序列為單分形，否則，序列為多重分形。

3 實證分析

3.1 數據選擇和處理

選取創業板指數為研究對象。相比于長期信息，短期信息包含的敏感市場信息更多。為了更有效地反映創業板市場有效性，以高頻分鐘數據，即創業板指的分鐘收盤價為樣本。

樣本區間為2017年8月14日—2019年3月18日，共387個股票交易日，樣本容量為93 267（387×241），數據來源于同花順。

當測算Hurst指數時，需要進行線性分析。鑒于價格序列不適合直接進行線性分析，因此構造價格對數差收益率序列測算Hurst指數，即rt=1n(pt)-1n(pt-1)，Pt為第t期的收盤價，Pt-1為t期上期的收盤價。

圖1 創業板指分鐘收益率序列

圖1描繪了創業板指數的分鐘收益率變化圖，通過對創業板指的收益率序列進行ADF單位根檢驗，P值遠小于0.01，表明創業板指分鐘收益率序列是平穩序列。

3.2 實證分析結果

3.2.1 基于 R/S的分析結果

計算創業板指整個收益率時間序列的Hurst指數。作為對比，計算上證50指數的Hurst指數。上證50指數成分股能綜合反映滬市最具影響力的一批龍頭股的整體狀況。此外，隨機打亂創業板指分鐘收益率序列，作為有效市場參考。

圖2描繪了創業板指、上證50和創業板指打亂序列E(R/S)τ與τ的雙對數圖，圖中顯示三序列的E(R/S)τ與τ呈現明顯的冪律關系。

運用MATLB計算創業板指、上證50、打亂序列的 Hurst指數，分別為 0.5638、0.5404、0.5294。

根據分形市場理論，Hurst指數越接近于0.5，表示市場越有效。因此，創業板指偏離有效市場，且有效性低于上證50代表的大盤藍籌股市場。基于R/S計算的創業板指Hurst指數大于0.5，說明創業板市場呈現出長程相關性（持續性、長記憶性）的特征，市場表現出非有效狀態。

圖2 E(R/S)τ與τ的雙對數圖

上述是以創業板指的整個區間分鐘數據為樣本計算的Hurst指數，度量的是整個時間區間內創業板指的平均有效性，無法刻畫創業板指有效性的動態變化。為了更準確分析創業板市場有效性，以分鐘收益率為樣本，測算創業板指每日的Hurst指數。

圖3 基于R/S的創業板指每日H urst指數

圖3刻畫了基于R/S計算的創業板指每日的Hurst指數。圖中顯示了創業板指多數時間的Hurst指數顯著大于0.5，表明我國創業板市場呈現長程相關性的特征。今天的信息會持續影響著未來，各時期股價波動間具有相關性，創業板市場非有效。

3.2.2 基于MF-DFA的分析結果

運用MF-DFA計算整個區間的Hurst指數。

圖4描繪了創業板指和上證50的Fq(s)與s的雙對數圖，圖中表明創業板指和上證50的波動函數Fq(s)與s之間存在冪律關系。

圖5描繪了兩指數h(q)隨q的變化圖，兩指數的h(q)均隨著q的增大而減小，顯著不為常數，表明二者均具有多重分形特征。

對于負的或較小的正q，小幅波動占主導地位，h(q)描述了小幅波動的標度行為。當q≤2時，創業板指和上證50的h(q)均大于0.5，且創業板指的h(q)大于上證50，表明創業板指小幅波動的持續性比上證50強。

圖4 M F-D FA方法Fq(s)與s的雙對數圖

圖5 創業板指、上證50的h(q)～q變化圖

對于較大的正q，h(q)描述了大幅波動的標度行為，當q≥5時，兩指數的h(q)均小于0.5，且創業板指的h(q)小于上證50，表明創業板指大幅波動的反持續性亦強于上證50。

綜上可說明，創業板指市場效率低于上證50，但兩市場均呈現出長記憶性或反長記憶性的特征。因此，兩市均屬于非有效市場，創業板市場非有效特征更明顯。

圖6描繪了基于MF-DFA的創業板指每日分鐘序列的Hurst指數，價格對數差收益率序列均為平穩序列。圖中的Hurst指數描繪的是h(2)，表示平穩時間序列的單分形Hurst指數。圖中結果表明，在樣本區間前半程，創業板指的Hurst指數多數時期大于0.5，表明創業板市場具有長程相關性的特征；樣本區間后半程，創業板指的Hurst指數在0.5上下偏倚，雖然較前期偏倚幅度減小，但多數時期仍顯著偏離0.5，創業板市場總體明顯偏離有效市場，表現出持續性或反持續性的特征。綜上，創業板市場非有效，仍需提高信息披露的幅度和速度。

圖6 基于M F-D FA的創業板指每日H urst指數

4 結束語

基于分形市場理論探究了我國創業板市場的有效性，基于R/S或MF-DFA測度創業板市場有效性，表明創業板市場顯著偏離有效市場，且創業板市場有效程度低于上證50指數代表的大盤藍籌股市場。創業板市場發展潛力較大，為了保證創業板市場有效穩定運行，應持續改善市場準入機制，提高創新型上市公司披露信息質量，規范投資者投資行為，避免莊家操縱市場和羊群行為的發生。