船舶靜水中拖錨淌航距離數值模擬

富志禹， 于 洋， 祝貴兵

(大連海事大學 航海學院， 遼寧 大連 116026)

船舶在狹窄水域航行需要停船時，通常將首錨拋下，讓錨在底床上拖動產生阻力而使船減速。中小型船舶靠碼頭無拖船協助時或遇緊急情況需要停船時，往往也利用拖錨來減速。[1-3]從拋錨到停船，船舶航行的距離即拖錨淌航距離，反映船舶拖錨的制動效果，也是確定落錨點的前提條件。

關于拖錨淌航距離的估算，巖井聰[4]采用動能定理，即拋錨時的船舶動能全部消耗在阻力做功上，提出拖錨淌航距離與船舶虛質量、船速、錨阻力、船體水阻力的關系式。由于拖錨制動中的船舶運動十分復雜，一般都假定船舶拖錨淌航時仍保持直線運動，并忽略船舶附加質量和水阻力，得到一個簡化的估算公式[5]。

為探討忽略船舶附加質量和船體阻力對拖錨淌航距離估算會產生多大影響，采用牛頓定律，將船舶附加質量和船體阻力均考慮進去，采用求解微分方程的方法來模擬拖錨淌航過程，給出船體阻力量值及其在總阻力中的占比，就船舶附加質量引起的附加慣性力大小做出分析，以及數值計算停船距離并與簡化公式結果作對比研究，由于動抓力系數的選取，本文只分析底質為一般泥沙時的拖錨情況。

1 基于能量法的拖錨淌航距離估算

巖井聰[4]用動能定理給出的關系式為

(1)

式(1)中：S為船舶拋錨后到停船所前進的距離，m；FH為船舶從拋錨到停船時的平均船體阻力，N；FA為從拋錨到停船的錨平均動抓力，N；M為船舶質量，kg；Ma為船舶附加質量，kg；V0為船舶拋錨時的速度，m/s。

忽略船體阻力和船舶附加質量，式(1)可簡化為

(2)

將式(2)中各物理量單位轉變為航海常用單位，則有

(3)

式(3)中：M單位為t；V0單位為kn；FA單位為t。

從式(2)和式(3)可知：該方法計算簡單，但估算過程中忽略船舶附加質量和船體阻力對淌航距離的影響。在航海實踐中，船舶附加質量和船體阻力對船舶航行的影響是不可忽略的。[6-7]本文著重從力學角度進行研究，運用牛頓定律，分析船體阻力、附加慣性力和錨阻力隨拖錨淌航距離變化的具體情況，體現船體阻力和附加慣性力在船舶拖錨淌航過程中的影響。

2 基于牛頓定律的拖錨淌航運動方程

假定船舶拋錨后仍沿著原來方向作直線運動，受到船體水阻力和拖錨阻力作用，見圖1，忽略錨鏈在水中的阻力,則由牛頓第2定律得船舶拖錨淌航運動方程為

(4)

式(4)中：V是船舶瞬時速度；t為時間；FH和FA不是平均值，而是與時間和船速有關的變量。

圖1 船舶拖錨淌航受力分析

淌航距離的微分式為

dS=Vdt

(5)

求解式(4)和式(5)時，有FH、FA和Ma3個物理量需要賦值，其中，附加質量Ma≈0.1M，余下的問題歸結為計算船體水阻力FH和錨阻力FA。

3 船體水阻力計算

船體阻力一般分為黏性阻力和興波阻力2部分。對拖錨淌航問題，船舶余速較小，Fr均低于0.1。因此,在估算船體阻力時，可忽略興波阻力。采用文獻[8]方法計算船體阻力。

(6)

式(6)中：ρw為水密度，kg/m3；AH為船體濕表面積，m2；CH為水阻力系數。

濕表面積AH計算式為

AH=1.7Ld+CbLB

(7)

式(7)中：L為船長，m；d為船舶吃水，m；B為船寬，m；Cb為方形系數。

水阻力系數計算式為

CH=0.046Re-0.134+b

(8)

式(8)中：b為系數；Re為雷諾數。

(9)

式(9)中：ν為水的運動黏性系數，其值與水溫有關。取15 ℃水溫的值：ν=1.14×10-4m2/s。系數b與船舶方形系數和寬度吃水比有關，見表1。中間值可插值求得。

表1 系數b的取值

4 錨阻力計算

從錨自備錨位置拋出開始計時，到船完全停止，整個過程按錨阻力的不同而劃為錨入水前、錨入水至著底、錨著底至錨鏈達到計劃出鏈長度和拖錨淌航至停船等4個階段。

4.1 錨入水前下落運動分析

錨入水前對船舶的阻力為零。此階段的分析主要是應用質點運動學公式計算錨自備錨位置到入水的速度和時間。于洋等[9]計算錨下落過程包含許多參數，考慮各種物理量的影響，但算式比較復雜。這里采用簡化算法。NAKAYAMA等[10]通過實船拋錨試驗，測得錨下落至水面的速度與自由落體速度的比值平均為0.6。由此得錨下落至水面的速度v1和平均加速度a的表達式為

(10)

式(10)中：h為備錨位置錨冠到水面高度；g為重力加速度。錨自備錨位置下落到水面所需時間為

(11)

忽略錨鏈重力，通過錨的力學方程可求出錨鏈張力T為

T=m(g-a)=0.64mg

(12)

式(12)中：m為錨質量，kg。

4.2 錨入水后至著底的運動分析

錨入水后、著底前，受到水平方向水阻力FA、鉛垂方向作用力W和錨鏈張力T的作用(見圖2)。其中鉛垂方向作用力是錨在水中重力與水阻力R的合力為

W=0.87mg-R

(13)

下面分別計算錨水平移動的水阻力FA和垂直下落的水阻力R。

4.2.1錨在水中水平移動的阻力

錨所受水阻力的水平分力FA為

(14)

式(14)中：C1為系數；Ap為錨懸掛狀態下水平移動的擋水面積。Ap的值并不方便獲取，為此，根據量綱分析，設Ap與錨體積的2/3次方成正比，即

Ap=C2(m/ρs)2/3

(15)

式(15)中：ρs為鑄鋼密度，取7 800 kg/m3。將式(15)代入式(14)，并令C=C1C2，得

(16)

參照王偉等[11]的霍爾錨水阻力試驗數據，取速度為0.3、0.5、0.8、1.1等4個檔的阻力值，運用最小二乘法得到水阻力無因次系數：C=4.342。這樣就避開錨擋水面積，只要給出錨的質量大小即可計算錨的水阻力。

4.2.2錨垂直下落時的水阻力

錨所受水阻力的垂直分力R為

(17)

式(17)中：C3為系數，由文獻[12]可知C3=1.2；Ac為錨垂直下落的阻水面積，近似取為錨冠長與寬的乘積；v⊥為錨垂向下落速度，m/s。錨在水中的運動不是垂直的，其下落過程可分解成錨在水平方向相對于船的速度v//和錨在鉛垂方向上下落的速度v⊥。因此，錨下落速度v可由v//與v⊥矢量合成，見圖3。

圖2 錨下落時的受力圖3 錨下落時的速度

錨的水平阻力和垂直阻力求出后，則由圖2得出

θ=arctan(FA/W)

(18)

根據牛頓定律建立錨的運動方程為

(19)

式(19)中：ma為錨的附加質量，近似取值為錨排開同體積水的質量。錨鏈長度變化量為

dLc=vdt

(20)

4.3 錨著底至計劃出鏈長度段分析

錨著底后，伴隨船舶淌航前行而在底床拖動，本文選取的底質為一般泥沙。錨的動抓力系數(動抓力與水中錨重的比值)見表2。[13]

表2 錨動抓力與鏈長水深比的關系

由于拖錨淌航過程中船舶余速一般屬于低速階段，錨著底時，水下鏈長通常較計劃出鏈長度短。在此階段，錨在底床上屬于靜止狀態還是被拖動狀態，這取決于出鏈速度和船舶速度，其情況相對較為復雜。為簡化計算，假設錨著底瞬間的阻力為錨受水阻力的水平分力，可由式(16)計算得到；繼續出鏈至計劃出鏈長度則按線性插值估算錨拖底阻力。出鏈速度仍按錨著底時的速度計算。

4.4 出鏈長度達到預定長度的分析

此階段的錨阻力FA按表2插值計算。若船舶淌航一段距離后拋下另一只錨，則該錨阻力重復前述過程計算。

5 船舶拖錨淌航運動數值求解

5.1 船舶淌航運動差分方程

將式(4)改寫為

Vi+1=Vi+α·Δt

(21)

式(21)中：Δt為時間步長，自行設定；初速度為船舶拋錨時余速V0；α為船舶加速度。

α=-(FH+FA)/(M+Ma)

(22)

式(22)中：Ma≈0.1M；FH按式(6)～式(9)計算；錨阻力按第4.1節～第4.4節的步驟計算。式(5)改寫為

Si+1=Si+Vi·Δt

(23)

其初始位置可設為零。

5.2 錨下落運動差分方程

錨自水面到著底這一過程由式(19)改寫為

vi+1=vi+β·Δt

(24)

式(24)中：初速度由式(10)求出。

(25)

式(25)中:FA可由式(16)計算求出；W可由式(13)和式(17)計算求出；T由式(12)計算求出；附加質量ma近取為錨排開同體積水的質量。

ma=m·ρw/ρs

(26)

出鏈長度由式(20)改寫為

Lcj+1=Lcj+vjΔt

(27)

按上述思路和式子編寫1個小程序，可在電腦上運行計算。

6 算例

某船船長118 m，船寬19 m，滿載吃水7.8 m，滿載排水量11 709 t，方形系數0.65，配霍爾錨每只4.6 t，備錨時錨冠距水面2 m。船舶余速3 kn時拋下1只錨，出鏈長度為1節水面，水深12 m。求：

1)船舶淌航距離。

2)船舶淌航45 m時拋另1只錨(出鏈長度同上)的總淌航距離。

解：將有關物理量單位改為標準單位(t→kg；kn→m/s)，給計算程序賦值后運行，結果見圖4～圖6。

圖4 船舶速度與淌航距離關系

由圖4可知：船舶拋單錨淌航距離是228 m，拋

圖5 船舶拖單錨淌航各外力沿程變化

圖6 船舶拖雙錨淌航各外力沿程變化

雙錨淌航距離是144 m。為與式(2)估算結果相對比，將M=11 709×103kg，鏈長水深比Lc/D=27.5/12=2.292，λ=1.417，FA=λ×0.87 mg，m=4 600 kg，g=9.8 m/s2，V0=3×0.514 4 m/s代入式(2)得：

S2≈148 m

由此可看出，與本文結果相比，拖單錨淌航時，根據式(2)計算的結果，大約多出1節鏈長的距離；拖雙錨淌航時，其結果大體相同,是因為拖單錨時船體阻力占總阻力的比例比較大，故式(2)忽略船體阻力后使計算結果偏大；而拖雙錨時，船體阻力占總阻力比例變小，所以計算結果差別不大。

另外，本文與式(2)的計算起點不同。前者是從拋錨開始，后者是從拖錨開始。文獻[1]和文獻[2]在使用式(2)或式(3)計算淌航距離時，還需再加上出鏈長度的水平投影作為實際淌航距離。若考慮這個因素，兩種算法的結果差別就更加明顯。

拖單錨淌航時各外力隨淌航距離的變化情況如圖5所示。由圖5可知:在初始階段，船體阻力大約是單錨阻力的1/2；隨著淌航前行，船體阻力大約呈直線下降。附加慣性力方向朝前，會助推船舶前行，但力的量值在整個運動過程中所占比重不大。另外，拋單錨時，附加慣性力最大僅為7 kN左右，而此時單錨阻力約為55.6 kN，附加慣性力約占單錨阻力的1/8。船舶淌航45 m后拋另1只錨的淌航情況如圖6所示，可知拋出雙錨后錨的阻力占絕對優勢。

由圖5和圖6可知：從備錨位置拋錨至達到計劃出鏈長度階段，錨的水平阻力相比船體阻力來說較小，其對船舶淌航狀態影響也很小。同樣，這階段的距離對整個拖錨淌航距離的影響也很小，說明所提出方法的計算起點并非是造成兩種方法拖錨淌航距離差的主要原因。

7 結束語

運用牛頓定律建立船舶拖錨淌航運動微分方程，分別計算拖單錨和拖雙錨的淌航距離，以及船舶速度、船體阻力、錨阻力和附加慣性阻力沿程變化情況，還給出霍爾錨垂直狀態下水平移動時的水阻力計算方法。本文算例結果表明:船舶淌航初始階段船體阻力約為單錨阻力的1/2，忽略該阻力會產生較大偏差。附加慣性力在整個淌航過程中所占比例均較小，最大值約為單錨阻力的1/8，附加慣性力的方向與船舶運動方向相同，會抵消一部分的船體阻力，兩者的合力至少能達到錨阻力的3/8，所以會使船舶拖錨淌航距離變小。

實際上，船舶拖錨淌航時一般不會沿直線前行，而且影響船舶拖錨淌航的距離的因素有很多，今后還需在船舶受力分析基礎上運用牛頓定律進行更深入的研究。