重溫經典 巧學復數

■河南省羅山高中老校區 王國棟

《數系的擴充與復數的引入》這一章共有2小節，主要內容有數系的擴充和復數的概念、復數代數形式的四則運算。復數的引入是中學階段數系的又一次擴充，這不僅可以使我們對數的概念有一個初步的、完整的認識，也為我們進一步學習數學打下基礎。高考考試大綱的要求是：(1)復數的概念：①理解復數的基本概念，②理解復數相等的充要條件，③了解復數的代數表示法及其幾何意義。(2)復數的四則運算：①會進行復數代數形式的四則運算，②了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義。其中一共有六個考點，能力層次要求基本上是了解與理解。

從最近三年高考全國卷看，每一年每一張試卷對本章都有考查，而且試題很好地貫徹了考試大綱的要求。

從三年試卷我們可以看到，高考對這部分知識的考查完全按照考試大綱的要求，對復數的概念、復數相等、復數運算等進行重點考查。尤其是復數四則運算更是考查熱點。值得一提的是，突出了復數相等、復數的模運算，這一點可以提高我們對復數的概念的認識，它與實數還是有很大的不同的。關于四則運算方面的考查，我們要特別注重乘法和除法的訓練，近三年都有考查。在學習四則運算時，對加法運算和減法運算要注意它們的幾何意義，并能證明它們的運算律，對乘法和除法運算要注意運算法則的定義和運算律，這對我們的學習無疑是有幫助的。請看2017年全國Ⅰ卷理科第3題：

設有下面四個命題：

p1：若復數z滿足∈R，則z∈R；

p2：若復數z滿足z2∈R，則z∈R；

p3：若復數z1，z2滿足z1z2∈R，則z1=；

p4：若復數z∈R，則∈R。

其中的真命題為( )。

A.p1，p3B.p1，p4

C.p2，p3D.p2，p4

本題從多角度考查了復數的概念與運算，旨在考查我們在學習復數的時候能否跳出實數這個小圈子，理解和運用復數的有關概念，這里一定要運用類比方法，結合復數的運算律認真對比、掌握。結合最近三年的高考試題，舉例說明如下。

一、復數的概念

例1(2016年文科Ⅰ卷第2題)設(1+2 i)(a+i)的實部與虛部相等，其中a為實數，則a=( )。

A.-3 B.-2 C.2 D.3

試題分析：(1+2 i)(a+i)=a-2+(1+2a)i，由已知，得a-2=1+2a，解得a=-3，應選A。

例2(2017年文科Ⅰ卷第3題)下列各式的運算結果為純虛數的是( )。

A.i(1+i)2B.i2(1-i)

C.(1+i)2D.i(1+i)

【答案】C

【考點定位】本考點需要我們了解復數單位i的引入，復數的代數形式z=a+bi(a，b∈R)，復數的分類，特別是z為實數、純虛數等的充要條件。

【考查意圖】主要考查同學們對概念的理解和運用能力，運算能力。

【錯因分析】導致同學們出錯的主要原因是對復數代數形式z=a+bi(a，b∈R)沒有掌握好，搞不清楚實部、虛部的概念，還有的同學對虛數單位i的定義掌握不好。

【同類題型】

1.若復數z滿足(3-4 i)z=|4+3 i|，則z的虛部為( )。

【解析】由(3-4 i)z=|4+3 i|，由z=得z的虛部為故選D。

二、復數的幾何意義

例3(2016年理科Ⅱ卷第1題)已知z=(m+3)+(m-1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是( )。

A.(-3，1) B.(-1，3)

C.(1，+∞) D.(-∞，-3)

試題分析：要使復數z對應的點在第四象限，應滿足解得 ，故-3＜m＜1選A。

例4(2017年文科Ⅲ卷第2題)復平面內表示復數z=i(-2+i)的點位于( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【答案】C

【考點定位】本考點需要同學們了解復平面的概念，建立復數與復平面上的點的一一對應關系，以及復數與復平面內以原點為始點的平面向量的一一對應關系，理解復數的模的幾何意義，發現兩點間的距離公式的復數形式，樹立數形結合思想，運用數形結合方法解決問題。

【考查意圖】主要考查同學們對概念的理解能力、運算能力和數形結合思想。

【錯因分析】由于有些同學對復平面的概念不清楚，不注意和平面直角坐標系區別開，所以很容易犯概念性錯誤，特別要注意復數的實部和虛部都是實數這一重要規定。

【同類題型】

2.復數z=i(1+i)(i為虛數單位)在復平面上對應的點位于( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】由z=i(1+i)得z=-1+i，所以復數z在復平面上對應的點位于第二象限，故選B。

三、復數相等與復數的模

例5(2016年理科Ⅰ卷第2題)設(1+i)x=1+yi，其中x，y是 實數，則=( )。

試題分析：因為(1+i)x=1+yi，所以x+xi=1+yi，所以x=1，y=x=1，故|x+故選B。

例6(2017年理科Ⅲ卷第2題)設復數z滿足(1+i)z=2 i，則|z|=( )。

【答案】C

例7(2018年理科Ⅰ卷第1題，2018年文科Ⅰ卷第2題)設則( )。

【答案】C

【考點定位】本考點涉及兩個重要概念，復數相等與復數的模，歸根結底還是復數代數形式的具體運用。

【考查意圖】主要考查同學們的運算能力和方程思想。

【錯因分析】容易出錯的原因一是在利用復數相等的條件之前沒有能夠把復數化成代數形式，對實部和虛部分辨不清，二是在利用復數的模的運算性質方面出錯，該開方時不開方，該平方時不平方。

【同類題型】

3.i是虛數單位，若R)，則a+b的值是( )。

【答案】C

4.|(3+2 i)-(1+i)|表示( )。

A.點(3，2)與點(1，1)之間的距離

B.點(3，2)與點(-1，-1)之間的距離

C.點(3，2)到原點的距離

D.以上都不對

【答案】A

四、共軛復數

例8(2016年文科Ⅱ卷第2題)設復數z滿足z+i=3-i，則=( )。

A.-1+2 i B.1-2 i

C.3+2 i D.3-2 i

試題分析：由z+i=3-i得z=3-2 i，所以=3+2 i，故選C。

例9(2016年理科Ⅲ卷第2題)若z=1+2 i，則

A.1 B.-1 C.i D.-i

試題分析：易知故故選C。

【考點定位】本考點為共軛復數，包括共軛復數的定義，共軛復數的性質及幾何意義，共軛復數的模運算等。

【考查意圖】主要考查共軛復數的定義、幾何意義和模運算性質，考查同學們的應變能力和運算能力。

【錯因分析】出錯主要原因是有些同學理解偏差或者是對定義模糊，運算時漏掉虛部互為相反數這一重要條件，還有些同學搞不清楚實數的共軛復數是其本身，導致錯誤。

【同類題型】

5.若復數z滿足(z-3)(2-i)=5(i為虛數單位)，則z的共軛復數為( )。

A.2+i B.2-i

C.5+i D.5-i

【解析】由(z-3)(2-i)=5得z=3+故z的共軛復數為5-i，故選D。

6.已知復數z1=a+2 i，z2=a+(a+3)i且z1z2＞0，則實數a的值為( )。

A.0 B.0或-5

C.-5 D.以上均不對

【答案】C

五、復數運算

例10(2017年理科Ⅱ卷第1題)=( )。

A.1+2 i B.1-2 i

C.2+i D.2-i

【答案】D

例11(2017年文科Ⅱ卷第2題)(1+i)(2+i)=( )。

A.1-i B.1+3 i

C.3+i D.3+3 i

【答案】B

例12(2018年理科Ⅱ卷第1題)( )。

【答案】D

【考點定位】本考點是高考考查的重點、熱點，主要包括復數的加法、減法、乘法、除法四則運算，加法與減法運算的幾何意義即平行四邊形法則、三角形法則，乘法與除法運算基本和多項式運算方法相同。

【考查意圖】主要考查同學們的運算能力。

【錯因分析】錯誤主要出現在除法運算方面，不少同學在對分母進行實數化時出錯。注意互為共軛復數的兩個復數的乘積是它們的模的平方，以免出錯。

【同類題型】

7.設z=1+i(i是虛數單位)，則=( )。

A.1+i B.-1+i

C.1-i D.-1-i

【答案】A

【學習建議】解決復數問題，通常是運用代數形式把它轉化為實數問題去解決，或者運用向量及其幾何形式把它轉化為平面幾何問題或解析幾何問題去解決，有時需要運用復數本身一些特有形式，如共軛運算、模運算等。復數溝通了代數、三角、幾何之間的聯系，因而復數問題的解法往往綜合性強且構思巧妙，方法靈活。復數運算中，求值是最常見的，復數的運算種類雖多，但各種運算方式間有聯系，最本質的運算方式是代數形式的運算。在處理數據關系時，同學們要學會根據法則、公式正確地進行運算，而且能根據題目尋求合理、簡捷的運算途徑，以培養思維能力和運算技能。